廣東省深圳市龍城高級中學2023年高一上數學期末學業質量監測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知集合，則（）A. B.C. D.2．已知直線過，兩點，則直線的斜率為A. B.C. D.3．設，，，則（）A. B.C. D.4．已知函數的部分圖象如圖所示，點，是該圖象與軸的交點，過點作直線交該圖象于兩點，點是的圖象的最高點在軸上的射影，則的值是A B.C.1 D.25．已知，若，則A.1 B.2C.3 D.46．如圖，一質點在半徑為1的圓O上以點為起點，按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為，5s時到達點，則（）A.-1 B.C. D.7．設f(x)為偶函數，且在區間(－∞，0)上是增函數，，則xf(x)＜0解集為（）A.(－1，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(0，2)C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)8．下列函數中與函數是同一個函數的是（）A. B.C. D.9．已知集合，a=3．則下列關系式成立的是A.aAB.aAC.{a}AD.{a}∈A10．若正實數，滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．已知函數，若時，恒成立，則實數k的取值范圍是_____.12．某醫藥研究所研發一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（時）之間近似滿足如圖所示的關系.若每毫升血液中含藥量不低于0.5微克時，治療疾病有效，則服藥一次治療疾病的有效時間為___________小時.13．直三棱柱ABC-A1B1C1，內接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，則球O的表面積______14．若，則___________15．已知是偶函數，則實數a的值為___________.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.17．通過研究學生的學習行為，專家發現，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，設f（t）表示學生注意力隨時間t（分鐘）的變化規律（f（t）越大，表明學生注意力越集中）經過實驗分析得知：（1）講課開始后第5分鐘與講課開始后第25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？（2）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？（3）一道比較難的數學題，需要講解25分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？18．已知函數的最小正周期為（1）求當為偶函數時的值；（2）若的圖象過點，求的單調遞增區間19．已知定義域為的函數是奇函數（1）求實數，的值；（2）判斷的單調性，并用單調性的定義證明；（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍20．已知為奇函數，為偶函數，且.（1）求及的解析式及定義域；（2）如果函數，若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.21．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點、在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上．若，（）求向量，夾角的正切值（）問點在什么位置時，向量，夾角最大？

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】求出集合A，再求A與B的交集即可.【詳解】∵，∴.故選：D.2、C【解析】由斜率的計算公式計算即可【詳解】因為直線過，兩點，所以直線的斜率為.【點睛】本題考查已知兩點坐標求直線斜率問題，屬于基礎題3、A【解析】先計算得到，，再利用展開得到答案.詳解】，，；，；故選：【點睛】本題考查了三角函數值的計算，變換是解題的關鍵.4、B【解析】分析：由圖象得到函數的周期，進而求得．又由條件得點D,E關于點B對稱，可得，然后根據數量積的定義求解可得結果詳解：由圖象得，∴，∴又由圖象可得點B為函數圖象的對稱中心，∴點D,E關于點B對稱，∴，∴故選B點睛：本題巧妙地將三角函數的圖象、性質和向量數量積的運算綜合在一起，考查學生分析問題和解決問題的能力．解題的關鍵是讀懂題意，通過圖象求得參數；另外，根據函數圖象的對稱中心將向量進行化簡，從而達到能求向量數量積的目的5、A【解析】構造函數，則為奇函數，根據可求得，進而可得到【詳解】令，則為奇函數，且，由題意得，∴，∴，∴.故選A【點睛】本題考查運用奇函數的性質求函數值，解題的關鍵是根據題意構造函數，體現了轉化思想在解題中的應用，同時也考查觀察、構造的能力，屬于基礎題6、C【解析】由正弦、余弦函數的定義以及誘導公式得出.【詳解】設單位圓與軸正半軸的交點為，則，所以，，故.故選：C7、C【解析】結合函數的性質，得到，畫出函數的圖象，結合圖象，即可求解.【詳解】根據題意，偶函數f(x)在(－∞，0)上為增函數，又，則函數f(x)在(0，＋∞)上為減函數，且，函數f(x)的草圖如圖，又由，可得或，由圖可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集為(－2，0)∪(2，＋∞).故選：C.本題主要考查了函數的奇偶性與單調性的應用，其中解答中熟記函數的奇偶性與單調性，結合函數的圖象求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.8、B【解析】根據同一函數的概念，結合函數的定義域與對應法則，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數的定義為，因為函數的定義域為，所以兩函數的定義域不同，不是同一函數；對于B中，函數與函數的定義域和對應法則都相同，所以是同一函數；對于C中，函數與函數的對應法則不同，不是同一函數；對于D中，函數的定義域為，因為函數的定義域為，所以兩函數的定義域不同，不是同一函數.故選：B.9、C【解析】集合，，所以{a}A故選C.10、B【解析】由基本不等式有，令，將已知等式轉化為關于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.【詳解】解：由題意，正實數滿足，則，令，可得，即，解得，或(舍去)，所以當且僅當時，取得最小值2，故選：B.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】當時，，當時，，又，如圖所示：當時，在處取得最大值，且，令，則數列是以1為首項，以為公比的等比數列，∴，∴，若時，恒成立，只需，當上，均有恒成立，結合圖形知：，∴，∴，令，，當時，，∴，∴，當時，，，∴，∴最大，∴，∴.考點：1.函數圖像；2.恒成立問題；3.數列的最值.12、【解析】根據圖象求出函數的解析式，然后由已知構造不等式，解不等式即可得解.【詳解】當時，函數圖象是一個線段，由于過原點與點，故其解析式為，當時，函數的解析式為，因為在曲線上，所以，解得，所以函數的解析式為，綜上，，由題意有或，解得，所以，所以服藥一次治療疾病有效時間為個小時，故答案為：13、【解析】利用三線垂直聯想長方體，而長方體外接球直徑為其體對角線長，容易得到球半徑，得解【詳解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1兩兩垂直，可知其為長方體的一部分，利用長方體外接球直徑為其體對角線長，可知其直徑為，∴=41π，故答案為41π【點睛】本題主要考查了三棱柱的外接球和球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象能力.14、【解析】只需對分子分母同時除以，將原式轉化成關于的表達式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得結論【詳解】解：，即，故答案為：【點睛】本題考查同角三角函數的關系，考查二倍角的正切公式，正確運用公式是關鍵，屬于基礎題15、【解析】根據偶函數定義求解【詳解】由題意恒成立，即，恒成立，所以故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、(1)（2）3(3)1【解析】（1）根據實數指數冪的運算法則化簡即可；（2）根據對數的運算法則和性質化簡求值；（3）利用誘導公式化簡求值即可.試題解析：(1)原式＝-10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.（2）原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝17、（1）講課開始25分鐘時，學生的注意力比講課開始后5分鐘更集中（2）講課開始10分鐘，學生的注意力最集中，能持續10分鐘（3）不能【解析】（1）分別求出比較即可；（2）由單調性得出最大值，從而得出學生的注意力最集中所持續的時間；（3）由的解，結合的單調性求解即可.【小問1詳解】因為，所以講課開始25分鐘時，學生的注意力比講課開始后5分鐘更集中【小問2詳解】當時，是増函數，且當時，是減函數，且所以講課開始10分鐘，學生的注意力最集中，能持續10分鐘【小問3詳解】當時，令，則當時，令，則則學生注意力在180以上所持續的時間為所以老師不能在學生達到所需要的狀態下講授完這道題18、（1）；（2）.【解析】（1）由為偶函數，求出的值，結合的范圍，即可求解；（2）由函數的周期求出值，將點代入解析式，結合的范圍，求出，根據正弦函數的單調遞增區間，整體代換，即可求出結論.【詳解】（1）當為偶函數時，，；（2）函數的最小正周期為，，當時，，將點代入得，，，單調遞增需滿足，，，所以單調遞增是；當時，，將點代入得，，的值不存在，綜上，的單調遞增區間.【點睛】本題考查函數的性質，利用三角函數值求角，要注意角的范圍，考查計算求解能力，不要忽略的正負分類討論，是本題的易錯點，屬于中檔題.19、（1），（2）在上單調遞增，證明見解析（3）的取值范圍為.【解析】（1）根據得到，根據計算得到，得到答案.（2）化簡得到，，計算，得到是增函數.（3）化簡得到，參數分離，求函數的最大值得到答案.【詳解】（1）因為在定義域R上是奇函數.所以，即，所以．又由，即，所以，檢驗知，當，時，原函數是奇函數.（2）在上單調遞增.證明：由（1）知，任取，則，因為函數在上是增函數，且，所以，又，所以，即，所以函數R上單調遞增.（3）因為是奇函數，從而不等式等價于，因為在上是增函數，由上式推得，即對一切有恒成立，設，令，則有，，所以，所以，即的取值范圍為.20、（1），（2）【解析】（1）根據是奇函數，是偶函數，結合，以取代入上式得到，聯立求解；（2）易得，，設，轉化為，，根據時，與有兩個交點，轉化為函數，在有一個零點求解.【小問1詳解】解：因為是奇函數，是偶函數，所以，，∵，①∴令取代入上式得，即，②聯立①②可得，，【小問2詳解】，，，可得，∴，.設，∴，，∵當時，與有兩個交點，要使函數有兩個零點，即使得函數，在有一個零點，（時，只有一個零點）即方程在內只有一個實根，∵，令，則使即可，∴或.∴的取值范圍.21、（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析：（）設向量與軸的正半軸所成的角分別為，則向量所成的夾角為，由兩角差的正切公式可得向量夾角的正切值為；（）由（1）知，利用基本不等式即可的結果.詳解：（1）由題意知，A的坐標為A（0，6），B的坐標為B（0，4），C（x，0），x＞0設向量，與x軸的正半軸所成的角分別為α，β，則向量，所成的夾角為|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函數的定義知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夾角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夾角的正切值為tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值