第二章統計方法

一、基本概念二、統計方法11/27/20231《質量管理學》－第二章一、基本概念

質量特性:產品所具有的滿足用戶需要的自然屬性。2.數據的分類3.抽樣術語4.幾個重要的統計特性值11/27/20232《質量管理學》－第二章1.質量特性（1）質量特性的定義：根據ISO9000，對質量特性的定義是：“產品、過程或體系與要求有關的固有特性。”或者是“產品所具有的滿足用戶需要的自然屬性”。a、“固有”的就是指在某事或某物中本來就有的，尤其是那種永久性的特性；b、賦予產品、過程或體系的特征(如：產品的價格、產品的所有者等)不是他們的質量特性。11/27/20233《質量管理學》－第二章（2）質量特性參數：定量表示的質量特性，通常稱之為質量特性參數，或質量實用性參數。在質量形成全過程的各個環節，應從保證使用質量的要求出發，提出定量的要求，以便明確質量責任，確保產品的使用質量。11/27/20234《質量管理學》－第二章（3）實際質量特性與代用質量特性實際質量特性是用戶所要求使用的質量特性。但有時企業為了便于生產，往往將其轉化為生產中用以衡量產品的標準或規格。由產品標準所反映質量特性稱為代用質量特征。由于人們的認識水平與科技水平的制約，再加上用戶需求的復雜性與易變性，企業所制定的質量標準與實際使用質量要求之間一定存在著既相互適應又相互矛盾的地方，企業必須適時地對其制定的標準進行修改。11/27/20235《質量管理學》－第二章（4）產品質量的形成過程產品質量有一個產生、形成、實現、使用和衰亡的過程。對于質量的形成過程，質量專家稱之為“質量螺旋”，意思是指產品質量從市場調查研究開始到形成、實現后直至交付使用，在使用中又會產生新的想法，構成新的動力再開始新的質量過程。因此，產品質量水平呈螺旋式上升的趨勢。11/27/20236《質量管理學》－第二章a、朱蘭質量螺旋曲線11/27/20237《質量管理學》－第二章b、質量環質量形成的另一種表達方式是“質量環”。質量環包括12個環節這種質量環不是簡單的重復循環，它與質量螺旋有相同意義。產品壽命周期①②③④⑤⑥⑧⑦⑨⑩111211/27/20238《質量管理學》－第二章說明營銷與市場調研；產品設計與研發；過程策劃與開發；采購；生產或服務提供；驗證；包裝與儲存；銷售與分發；安裝與投入運營；技術支持與服務；售后服務；使用壽命結束時的處置與再生利用。11/27/20239《質量管理學》－第二章（5）質量特性的分類：簡單地說，質量特性就是我們要考察的產品的適用性要素,各種產品由于要求不同,質量特性可能有一個或幾個，如電冰箱，其質量特性有保鮮時間、容量、耗電量及外觀等，根據產品的特性，質量特性可分為以下幾類：①結構性的，如長度、頻率等；②官能性的，如味道、外觀；③時間性的，如可靠性、可維修性等；④商業性的，如保修期等；⑤道德性的，如服務行業的禮貌、誠實等。11/27/202310《質量管理學》－第二章2、數據的分類計量型(MeasurementorVariableData):凡可連續取值的數據稱為計量型數據，如長度、容積、重量、溫度等等。(多屬正態分布或近似正態分布）計數型(AttributesorCountableData)：不能連續取值的數據稱為計數型數據，如廢品件數、不合格品數、疵點數等。(多屬二項分布或泊松分布)11/27/202311《質量管理學》－第二章3、幾個有關抽樣的術語（1）Population（總體）：是指研究對象的全體，一般以“N”來表示，如一批待檢產品。總體又可以分為有限總體與無限總體兩類。有限總體：總體中含有限可列個產品，如螺釘、鋼板等。

無限總體：總體中含有的產品無法數清，如液體、氣體、粉末產品等。11/27/202312《質量管理學》－第二章(1)Sample(子樣):亦稱樣本,即以隨機方式從總體中抽出來的一部分產品,以n表示。(2)Stochastic(Random)Sampling(隨機抽樣)：使總體中的每個產品以相同概率被抽取的抽樣方式。從理論上理解隨機抽樣是比較容易的，但實際上做起來卻并不容易。下面是幾種常用的隨機抽樣方法，這些方法只具有相對的隨機性，而不具備完全隨機性。

11/27/202313《質量管理學》－第二章a、單純隨機抽樣(SimpleSampling):先將抽樣的對象（如產品）按順序編號，然后用抽簽法或隨機數表決定抽樣的先后次序。b、機械隨機抽樣（MechanicalSampling）：按照固定的(時間)間隔（如每隔十分鐘）或按照固定的產品(空間)間隔（如每隔20個產品）抽取一個產品。11/27/202314《質量管理學》－第二章c、整群隨機抽樣(ProportionalSampling)：該種方法不是每次抽取單個產品，而是按一定的時間間隔，抽取一定比例的產品(例如每隔20小時抽取5%的產品等等)，將這些產品作為一個樣本看待，樣本的質量特性即為該群產品的質量特性值的平均值。由于機器性能的波動，原材料的差異等原因，質量的分布是不均勻的，因此，該種抽樣方法的誤差相對來說比較大。但操作較為方便。11/27/202315《質量管理學》－第二章d、分層隨機抽樣(ClassifiedSampling)在抽樣以前，先按產品加工的設備、操作者或其他情況將所有待檢產品分成幾組，然后按比例從各組中抽取樣品，將這些樣品放在一起組成一個樣本，這種隨機抽樣的方式可使樣本具有較好的代表性。以上四種抽樣方法都不是完全的隨機抽樣方法，與完全隨機抽樣相比，都存在誤差。11/27/202316《質量管理學》－第二章4、幾個重要的統計特征值

數學期望：E(X)=μ數據的概率平均值方差：D(X)＝σ2其開方表示數據的離散程度;下面是幾個用來估計總體數學期望E(X)和方差D(X)的統計特征值：

11/27/202317《質量管理學》－第二章(1)子樣的平均值

（AverageofSample）

上面用來估計總體的平均值（數學期望）μ

=(x1+x2+……+xn)/n11/27/202318《質量管理學》－第二章將樣本按大小順序排列，取中間位置的數為中位數，記為。當樣本數據個數為奇數時，處于正中位置的那個數即為中位數，當樣本數據個數為偶數時，取處于正中位置的那兩個數的平均值為。（2）樣本的中位值（MedianofSample）

11/27/202319《質量管理學》－第二章兩個例子例1、1.2，1.1，1.4，1.5，1.3；1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.3,例2、1.0,1.1,1.4,1.2,1.1,.0,1.2,1.3中位數的作用：在抽樣中，常用來估計總體的μ，雖然精度差些，但因其方便，所以在生產現場用得較多。11/27/202320《質量管理學》－第二章（3）樣本的方差

(VarianceofSample)

無偏估計（UnbiasedEstimation）極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）11/27/202321《質量管理學》－第二章第二個表達式不是無偏估計，因：上述二個表達式代表樣本的方差，它們都可用來估計總體的方差σ2，當樣本量比較小時,上述二個表達式得出的結果的差別可能比較大，但實踐證明當樣本量n>30時,上述二個表達式求出的結果的差異是很小的.11/27/202322《質量管理學》－第二章（4）極差（Range）以R表示

設樣本為，則R表示數據的分散程度,通過一定的變換，可以用來估計總體的σ

11/27/202323《質量管理學》－第二章（5）變異系數

隨機變量的量綱不同時標準差之間的比較，如稱中藥其單位為“克”，稱大米的單位為“千克”，度量布匹的單位是“米”等。11/27/202324《質量管理學》－第二章二、統計方法（StatisticalMethods）在本章主要介紹以下幾種方法：排列圖(ParetoDiagram)因果分析圖(Cause-and-EffectDiagram)分層法(ClassifiedMethod)統計表分析(statisticaltable)直方圖(Histogram)相關和回歸分析(RelatedandRegressiveAnalysis)控制圖法(第三章介紹)11/27/202325《質量管理學》－第二章1、排列圖（ParetoDiagram）意大利經濟學家Pareto和Lorenz在研究社會財富與人口的關系時，發現社會財富與人口的多少不是成正比關系而是近似對數關系，原因是在社會財富的分配中，少數富有者占有了社會財富的大部分，而多數人只占有其中的小部分，形成所謂“關鍵的少數，次要的多數。”美國的J.M.Juran將其引進QC中用以尋找關鍵因素。11/27/202326《質量管理學》－第二章作圖步驟1.

收集數據；2.將數據分層整理；3.計算各項目的頻率、累計頻率；4.

畫出兩個縱坐標和一個橫坐標；5.

依次在橫坐標上畫出直方塊；6.

找出各項目的累計百分點，并從原點開始連接各點，畫出帕累托曲線。11/27/202327《質量管理學》－第二章應用

分析項目主要缺陷；分析造成不合格品的主要工序原因；

分析產生不合格品的關鍵工序；

分析各種不合格品的主次地位；

分析經濟損失的主次因素；

用于對比采用措施前后的效果等。11/27/202328《質量管理學》－第二章排列圖例頻數累計頻率A類B類C類100%0ⅠⅡⅢⅣ11/27/202329《質量管理學》－第二章圖例說明A類因素：累計頻率在80%左右的因素——主要因素B類因素：累計頻率在80%~90%的因素——次要因素C類因素：累計頻率在90%~100%的因素——一般因素11/27/202330《質量管理學》－第二章例：某廠車床加工曲軸主軸頸的不合格品統計如表：

原因數量頻率%累計頻率%Ⅰ軸頸刀痕153件71.871.8Ⅱ開檔大29件13.685.4Ⅲ軸頸小25件11.897.2

Ⅳ彎曲6件2.8總計213件100100

11/27/202331《質量管理學》－第二章圖例頻數累計頻率85.471.897.2ABC100%2130ⅠⅡⅢⅣ11/27/202332《質量管理學》－第二章注意:

①一般情況下，主要原因的數量不宜過多，一般不超過3個以免分散注意力。②左側縱坐標可以是金額、件數、時間等,選擇的依據是,不良品件數要與價值成正比,亦即要把造成損失大的項目放在前面。③有時能找出很多影響產品質量的因素，這時可將那些相對不重要的因素歸并成一類，標以“其他”類。④通過畫排列圖，找出主要因素，解決以后，必然能將質量提高一大步，而后循此方法,最終能使質量達到十分完美的境界。11/27/202333《質量管理學》－第二章2、因果分析圖（Cause-and-EffectDiagram）

（1）來源：日本質量專家石川馨。（2）特點：以結果為特性，以原因為因素，用箭頭聯系起來，表示因果關系。（3）作圖步驟:Step1明確問題的結果(特性)，繪出主干線和魚刺圖；Step2明確4M1E因素，并繪出分支線；Step3分析、尋找影響質量的中原因、小原因等，并繪出分支線；Step4找出影響質量的關鍵因素。11/27/202334《質量管理學》－第二章因果分析圖示例

ExtrudedQuality導出質量結果MaterialMachineManEnvironmentMethods中原因小原因11/27/202335《質量管理學》－第二章說明實施方法：通過對生產現場人員(工人、技術員等)收集到的信息，按左面分類，同時必須將這些原因細化到可采取措施的程度。國內有人將因果圖與排列圖結合起來用，成為因果排列概率圖，可用定量方法來解決因素重要性的順序。

11/27/202336《質量管理學》－第二章例某復印機的復印質量未達到預定的標準，希望通過因果圖找出復印機復印不清楚的原因，以便采取針對性措施加以解決。解：1、畫出自左向右的大箭頭。2、找出可能的原因種類（中箭頭）。3、在每類原因中細分深層原因，…，逐類細分，并用長短不一，粗細各異的箭頭來表示。11/27/202337《質量管理學》－第二章例解：復印不清楚因果分析圖復印紙藥液原稿環境復印法操作人員使用時間感光度保管時間保管方法紙質量新舊度保管時間液量污染書寫強弱清晰度顏色深淺稿紙質量強度卷曲度透明度手不潔房間不潔干燥時間精神不集中壓稿方法交錯量操作速度燈泡亮度水平燈泡不潔復印機滾筒轉動不靈活11/27/202338《質量管理學》－第二章3、分層法(ClassifiedMethod)質量管理中的數據分層,就是將數據按照其使用的目的、性質、來源和影響等因素等進行分類,如把性質相同、在同一生產條件下收集到的質量特性數據歸并在一起。它經常與其它的方法一起使用。分層的目的是為有利于查找產生質量問題的原因。在分層時要注意：數據分層與收集數據的目的要緊密相聯。目的不同分層的方法與粗細程度也會不同。分層要合理，要按不同的層次進行組合分層，以便使問題暴露的更清楚。11/27/202339《質量管理學》－第二章質量特性數據常用的幾類分層方法按不同的時間分，如按班次；按操作人員分，如按人員的不同級別；按使用設備分，如不同的機器型號；按操作方法分,如按切削用量、溫度、壓力；按原材料分,如供料單位、進料時間、批次等;其他分層，如檢驗手段、使用條件、氣候條件等。11/27/202340《質量管理學》－第二章4、統計表分析(statisticaltable)統計分析表也叫調查表，是用于收集數據的規范化表格。即把產品可能出現的情況及其分類預先列成統計調查表，側檢查產品時只需要在相應的分類中進行統計，并從調查表中進行粗略的整理和簡單的原因分析，為下一步的統計分析與判斷質量狀況創造良好的條件，在設計統計調查表時要注意便于人工記錄,把文字部分盡量列入統計表中,統計者只需簡單的描點和打勾，以不影響操作為宜。11/27/202341《質量管理學》－第二章例不良品項目調查表交驗數合格數不良品不良品類型廢品數次品數返修品廢品類型次品類型返修品類型不良品率％項目數量日期年月日11/27/202342《質量管理學》－第二章例：某瓷廠的瓷檢報告表品號送檢總數合格品合格率瓷件損失原因分析廢品數榨泥成型上釉裝出窯燒窯鐵點雜質開裂尺寸不合變形釉損碰損釉損表面缺陷碰損炸裂起泡生燒報告日期

年

月

日11/27/202343《質量管理學》－第二章缺陷位置（區位）調查表很多產品中都會存在“疵點”、“外傷”、“臟污”這類外觀缺陷，一般采用缺陷位置調查表比較好。此種調查表多是畫成產品示意圖或展示圖。每當發生缺陷時，將其發生的位置標記在圖上。例如，電視機顯示管屏幕檢測就是以屏幕中心畫圓來劃分不同區域的。11/27/202344《質量管理學》－第二章圖示A區B區×××××缺陷符號：o為氣泡，×為污點；檢查員:

.品種:

.

序號:

.A：

.B：

.日期：.

11/27/202345《質量管理學》－第二章5、直方圖（Histogram）(1)概念；(2)作法（a）收集數據；（b）確定組數K；（c）確定組距h；（d）確定組界值；（e）計算組中值；（f）統計頻數；（g）列出頻數分布表；（h）計算平均值及標準偏差；（i）繪直方圖與分布密度正態曲線（擬合）。……….11/27/202346《質量管理學》－第二章（3）作用整理質量特性數據，從中找出其分布規律，預測工序能力，估計產品的不合格品率。例：

a、收集數據：至少取100個左右（為計算方便，一般將數據簡化，這里取尾數），找出其中的最大值La和最小值Sm。下面表格中的數據為螺栓尺寸實測值。11/27/202347《質量管理學》－第二章2230352218222519287.9251930302526312315287.9223122243030292723187.9293527252925232222207.9202720382022222024187.9301825302329232728257.9231525352625272526307.9252222303024272525307.9183818282530272513257.9302522292030232518307.93811/27/202348《質量管理學》－第二章b、數據分組

分組原則有：1、經驗分組法，參考下表，本例取K＝9；2、使用Sturges經驗公式:數據量（n）適當的分組數（k）<505~750~1006~10100~2507~12250以上10~2511/27/202349《質量管理學》－第二章c、計算組距步驟a中找出的最大值為7.938，最小值為7.913

注：h最好為奇數(其優點以后可見)

,11/27/202350《質量管理學》－第二章d、計算第一組的上下限計算公式為:

本例：11/27/202351《質量管理學》－第二章d’、計算其他各組的上下限

第二組的下限=第一組的上限第二組的上限=第二組的下限+h……11/27/202352《質量管理學》－第二章e、計算各組的中心值xi

計算公式為：

………………計算每一個分組內數字出現的頻數fi。11/27/202353《質量管理學》－第二章f、頻數表

10043151723181622

7.9377.9347.9317.9287.9257.9227.9197.9167.913中心值

7.9355-7.93857.9325-7.93557.9295-7.93257.9265-7.92957.9235-7.92657.9205-7.92357.9175-7.92057.9145-7.91757.9115-7.9145組距∑987654321組號頻數fi11/27/202354《質量管理學》－第二章零件尺寸頻數（件）252015105g、直方圖為了作圖方便，將橫坐標數據做變換：Xi=(組的上下限－7.9)×100001316192225283134375011/27/202355《質量管理學》－第二章h、計算簡化中心值ui

計算過程如下：將頻數fi最大的一欄的中心值記為a(取其他中心值為a亦可，但取頻數最大的一欄的中心值為a可簡化計算)計算ui的公式如下：

例：第一組的簡化中心值

11/27/202356《質量管理學》－第二章i、計算fiui和fiui2將所計算出的數據填入表中相應的位置，就得到了下面表格的內容：11/27/202357《質量管理學》－第二章30086416279603017170018-1864-3218-632-8fiui2fiui043210-1-2-3-4ui10043151723181622

7.9377.9347.9317.9287.9257.9227.9197.9167.913中心值

7.9355-7.93857.9325-7.93557.9295-7.93257.9265-7.92957.9235-7.92657.9205-7.92357.9175-7.92057.9145-7.91757.9115-7.9145組距∑987654321組號頻數fi11/27/202358《質量管理學》－第二章j、計算結合本例數據有下面的計算值11/27/202359《質量管理學》－第二章k、計算標準差s11/27/202360《質量管理學》－第二章直方圖與相對應的正態分布曲線為了作圖方便，將橫坐標數據做變換：Xi=(組的上下限－7.9)×1000零件尺寸頻數（件）252015105n=100=7.92545S=0.00519M=7.925=|7.925-7.92524|=0.00024013161922252831343750ε11/27/202361《質量管理學》－第二章(3)直方圖的分析a對稱型symmetrya、正常b折齒型Sawb、不正常b可能是由于測量方法或讀數的問題或是分組不當

11/27/202362《質量管理學》－第二章c、c、左、右陡壁型deviation不正常;雙側公差，全數檢驗，剔除不合格品；11/27/202363《質量管理學》－第二章d、孤島型（Island）d、不正常在生產過程中存在某種異常情況,如加工條件變動等.

d孤島型Island11/27/202364《質量管理學》－第二章e、雙峰型（Double-peak）

e不正常，可能是兩種不同的材料或兩種不同的加工條件的零件混在一起的結果

e、雙峰型Double-peak11/27/202365《質量管理學》－第二章f、扁平型（Flat-peak）f、不正常，往往是生產過程中某種緩慢的傾向在起作用，如工具的磨損，操作者的疲勞等等影響

。f、扁平型Flat-peak11/27/202366《質量管理學》－第二章（4）直方圖的用途

報告質量情況

質量分析

調查工序能力和設備能力

工序控制判斷總體質量分布情況11/27/202367《質量管理學》－第二章（5）直方圖與公差的比較a、與公差中心重合，實際尺寸分布與公差界限間有一定空隙這是：——理想狀態BT，公差平均值11/27/202368《質量管理學》－第二章b、分布在公差范圍內，分布寬度B也正常，但因分布中心偏向左邊，若工序稍有波動，隨時都有超差、出現不合格品的可能。TB11/27/202369《質量管理學》－第二章c、分布在公差范圍內，但分布寬度太大，極易出現超差現象,工序能力較差,應設法改進工序,縮小分布范圍。TB11/27/202370《質量管理學》－第二章d、對一般加工要求的產品來說,可考慮降低加工精度（如機床的精度）,對要求較高的產品可考慮縮小公差范圍。TB11/27/202371《質量管理學》－第二章e、分布寬度正常，但分布中心過于偏左，已有部分產品超過公差的范圍成了不合格品，應采取措施糾正工序中的異常因素。TB11/27/202372《質量管理學》－第二章f、分布中心無偏移,但分布范圍過大以致兩面超差,可用改變加工工藝或修改公差標準來糾正。TB11/27/202373《質量管理學》－第二章6、相關分析和回歸分析散布圖（相關圖）相關分析回歸方程相關系數及其檢驗符號檢驗法11/27/202374《質量管理學》－第二章(1）散布圖（相關圖）變量之間的關系分類：確定性關系：如電流、電阻、電壓之間的關系可寫成V=RI；矩形邊長與面積的關系等。不完全確定關系（相關關系）：如在一定的淬火范圍內，隨淬火溫度的提高，鋼的硬度增加，但由于影響淬火鋼硬度的隨機因素很多,使得硬度與溫度之間的關系不是很確定，即它們之間很難用一個函數關系來描述。11/27/202375《質量管理學》－第二章為了研究的方便，人們設法用函數關系來研究上述不完全確定的變量關系，這樣就會因選擇的函數不同而使求得的理論值有一定的誤差，這種研究變量之間函數關系及其誤差的方法稱回歸分析，研究變量之間的相關程度稱為相關分析。11/27/202376《質量管理學》－第二章散布圖的作法：a、收集數據。b、畫直角坐標。一般情況下，可以橫坐標表示原因，縱坐標表示結果。c、在直角坐標體系上打點：有二個重合的點可在該點上畫一個圈，有三個重合的點可在該點上畫二個圈，以此類推。11/27/202377《質量管理學》－第二章X（原因）Y（結果）·····有二個重合的點可在該點上打一個圈，有三個重合的點可在該點上打二個圈，以此類推。11/27/202378《質量管理學》－第二章(2)相關分析

A、Strongly-positiver=1·······B、Weakly-positive0<r<1·········11/27/202379《質量管理學》－第二章·d、Weakly-negative-1<r<0·······c、non-related········r=011/27/202380《質量管理學》－第二章e、Strongly-negativer=－1·f、nonlinear··················11/27/202381《質量管理學》－第二章散布圖的異常點處理:在散點圖上出現異常點,可能是由于測量,記錄錯誤.或外部條件發生變化所引起的,此時必須查明原因,去掉這些異常點后才能估計x與y之間的回歸關系,在原因不明的情況下,不要盲目去掉它們.···························xy11/27/202382《質量管理學》－第二章要注意分層觀察：如圖所示,從整體看似乎沒有相關性,若分層觀察時有明顯的相關性（如右上圖）。相反，從整體看似乎相關，但是分層后就不相關了（如右下圖）.☆●●●●●●●●★★★★★★★★★★★★★★☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆●●●●☆☆☆☆☆☆☆☆☆★★★★★★★★★★★★★★★●●●●●●●●●●xyxy11/27/202383《質量管理學》－第二章

（3）回歸方程

1）作圖法例：根據下表所列實測數據求出溫度與硬度之間的回歸直線與回歸方程。

附211/27/202384《質量管理學》－第二章No.溫度x0c硬度Y（HRC）No.溫度x0c硬度Y（HRC）18404516860542880481788055391057188905748604819840485850492082040685051218404678605022850448890522387049990053248805310910572586046119205826890541291059278705313920582889055148304429820431586050309004811/27/202385《質量管理學》－第二章步驟：（a）把數據點在坐標紙上畫出散布圖。（b）判斷變量x，y之間的相關情況。（c）散布圖上引中線使它左右的點子數相等。（d）畫中線,使右側的點子左右均分；畫中線,使左側的點子左右均分。以最靠近直線兩側點的中間點(中位數)定位。11/27/202386《質量管理學》－第二章（e）畫中線使得右側的點上下均分，與的交點u1(900,56)；畫中線，使得左側的點上下均分，與的交點u2（860,49.3）（f）過u1u2作一直線，即為回歸線。（g）設回歸方程為：將u1(900,56)，u2(860,49.3)代入上述方程解得：所求回歸方程為：11/27/202387《質量管理學》－第二章

860900u2（860，49.3）u1（900，56）5649.2511/27/202388《質量管理學》－第二章2）最小二乘法

Xδi(xi,)(xi,yi)yyi11/27/202389《質量管理學》－第二章用最小二乘法求回歸方程的系數用最小二乘法可以求所有的回歸方程的系數，下面以線性方程為例：

設回歸方程為其中a,b稱為回歸系數

令：11/27/202390《質量管理學》－第二章顯然，要使為最好的擬合直線，應使Q為最小，

11/27/202391《質量管理學》－第二章其中：11/27/202392《質量管理學》－第二章例：

某鋼廠某號平爐10爐鋼液含碳量和精煉時間記錄如下：

爐次12345678910含碳量x(%)0.91.01.21.41.51.61.71.81.92.0精練時間y(分)10010513014517017519019022023511/27/202393《質量管理學》－第二章作散布圖含碳量x％y精練時間(分)10020030021.91.81.71.61.51.41.31.21.110.90.80.7…0.20.10●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●11/27/202394《質量管理學》－第二章爐次含碳量x（%）精煉時間y(分)x2y2xy10.91000.81100009021.01051.001102510531.21301.441690015641.41451.962102520351.51702.252890025561.61752.563062528071.71902.893610032381.81903.243610034291.92203.6148400418102.02354.0055225470∑15.0166023.76294300264211/27/202395《質量管理學》－第二章11/27/202396《質量管理學》－第二章11/27/202397《質量管理學》－第二章回歸方程的應用另外，回歸方程還具有預測與控制的功能。回歸方程來自有限個樣本點，對于其它的未知樣本點可以進行預測（或控制）。在本例中，當含碳量要求為2.2％時，可以估計此時需要精練的時間是：Y=-15＋120.635x=-15+120.635×2.2=250(分)11/27/202398《質量管理學》－第二章回歸方程的應用反過來，還可以預測當精練時間為300分鐘時的含碳量為：x=(y+15)/120.635=315/120.635=2.6(%)11/27/202399《質量管理學》－第二章(4)相關系數及其檢驗

表示兩隨機變量相關程度的量可用相關系數表示，其表達式如下：

11/27/2023100《