2022年江西省吉安市文峰高級中學高三數(shù)學理期末試

題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

i.(理科做)定積分%8smx的值為()

A.23TB.2n

+1

C.-2nD.2n—1

參考答案：

A

2.函數(shù)/(x)*anx在區(qū)間上是增函數(shù)，且/(a)=-1J(b)=L則cos-,

()

在

A.1B.2C.-1D.0

參考答案：

A

略

3.已知集合人=收||x-B={x|x2-1<0},則AUB=()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(1,2)D.(0,1)

參考答案：

B

【考點】ID：并集及其運算.

【分析】求出A,B中不等式的解集確定出A,B,找出A與B的并集即可.

【解答】解：由A中不等式變形得：-IVx-lVl,

解得:0<x<2,B|JA=(0,2)

VB={x|x2-l<0}=(-1,1)

AAUB=(-1,2)

故選：B.

2x-3/(x)

4.已知八>2./⑶=-2.則輯

x-3的值是()

(A)-4(B)0(C)

8(D)不存在

參考答案：

C

略

5.

在大小相同的6個球中，有2個紅球，4個黃球.若從中任意選取3個，則所選的

3個球中至少有1個紅球的概率是

12

A.2B.3C

34

D.5

參考答案:

答案:D

解析:所選3個球中至少有1個紅球的選法有種，從6個球中任選

3個球的選法有C；=20種，故’-20-5.

6.某廠的某種產(chǎn)品的產(chǎn)量去年相對于前年的增長率為a,今年相對于去年的增長率

為R,且A>0,%>0,到+巧=尸.如果這種產(chǎn)品的產(chǎn)量在這兩年中的平均增長率為

x,則()

B.2C.2

2

D.2

參考答案：

A

設這種產(chǎn)品前年的產(chǎn)量為a,則今年的產(chǎn)量為K+AX1+巧)=4+?,得

(1+4.(1+R0.川4伊力°.叫處空匆.(1+守I+X41+與xS與

222,???2,???2?

x+]

7.已知集合A=[x￡Z|q&40},則集合A的子集的個數(shù)為()

A.7B.8C.15D.16

參考答案：

B

【考點】16：子集與真子集.

x+1

【分析】由X-2W0,可得(x+1)(x-2)WO,且xW2,解得x,根據(jù)x￡Z,可得x,

A.即可得出.

x+1

【解答】解：由X-2WO,可得(x+1)(x-2)<0,且xN2,解得-l〈xV2,

又x￡Z,可得x=-l,0,1,AA={-1,0,1).

???集合A的子集的個數(shù)為2二8.

故選：B.

8.把函數(shù)了=smx的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把所

n

得函數(shù)圖象向左平移4個單位長度，得到的函數(shù)圖象對應

的解析式是

A.y=oos2xB>y=-sin2x

y=sin(2x--)y=sin(2x+-)

C.4D.4

參考答案：

A

略

9.已知A、B、C是球0的球面上三點，三棱錐0-ABC的高為2我且/ABC=60°,AB=2,

BC=4,則球0的表面積為（）

A.24萬B.32開C.4阮D.19%

參考答案：

C

10.已知RH*卜2,*4-2.若則Id的取值范圍是

A.總B111]

C.2司D[1.3]

參考答案：

D

【點睛】考查平面向量的概念，平面向量的線性運算，平面向量的的數(shù)量積以及最大值

最小值的討論。解決此類問題，要多注意平面向量的性質(zhì)，做題一定要數(shù)行結(jié)合@

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

3

Cj-4*1S>0,b>0)Ca：^――=1

11.已知雙曲線Mb3與雙曲線416有相同的漸近

線，且-的右焦點為尸（為則4=b=

參考答案：

12

12.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱

軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，=2r3>0）,如圖一平行于x軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩

次反射后沿平行x軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4,則該拋物線的方程為

參考答案:

j?=4x

【分析】

先由題意得到尸2必過拋物線的焦點，設出直線尸2的方程，聯(lián)立直線尸2與拋物線方

程，表示出弦長，再根據(jù)兩平行線間的最小距離時，也最短，進而可得出結(jié)果.

2F(^.O)

【詳解】由拋物線的光學性質(zhì)可得：為0必過拋物線的焦點2

P

當直線及斜率存在時，設收的方程為‘一"A?式k池儀4M

，=2產(chǎn)得：，壯-口+7)-2”整理得4必7-(4吐+刎工+必/=0,

由

?._巧＞+2Pp?

所以r為MF4,

2P+2

所以園=%+/+'=丁廠＞北

當直線/斜率不存在時，易得國Rp；

綜上，當直線或與x軸垂直時，弦長最短，

又因為兩平行光線間的最小距離為4,尸2最小時，兩平行線間的距離最小;

@ltJJ^L=2^=4,所求方程為/=4K

故答案為/=4工

【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋

達定理、弦長公式等求解，屬于常考題型.

13.函數(shù)/(X)=(x-3)e’的單調(diào)遞增區(qū)間是

參考答案：

(2.-W0)

14.等比數(shù)列依)滿足與"=5,則。鬲%=—

參考答案：

1

aaa=

l354

七4?Oa；=-.a,aja5=心=

15.在平面直角坐標系中，0為坐標原點，A(1,0),B(0,3),C(3,0),動點D滿

足IS=1,則|0^+加+OD|的最小值是.

參考答案：

4

16.給出以下四個命題：

①命題PMe&，12nx=2；命題gVxe&X-x+120.則命題“p且q”是真命題;

八、fx2+2x-3.xSO

/(x)=(

②求函數(shù){-2+kix.x>0的零點個數(shù)為3；

③函數(shù)(4)0且q.l)與函數(shù),二】照4/(a)0且a.l)的定義域相同；

④函數(shù)y=1g(x+JX+D是奇函數(shù).

其中不正確的命題序號是(把你認為不正確的命題序號都填上).

參考答案：

②

略_

17.已知a|=V3,|b|=2,若(工E)±a,則W與E的夾角是.

參考答案:

150°

考點：平面向量數(shù)量積的運算.

專題：平面向量及應用.

分析：根據(jù)已知條件即可得到G+E)，W=o,所以根據(jù)Glj位，IE1=2進行數(shù)量積

……一近一

的運算即可得到3+2j3cos<a，b>=0,所以求出cos〈a,E>=2,從而便求出Z

與E的夾角.

解答：解：：(a+E)1a.

(a+b)*a=a+a"b=3+2V^cos<a,b>=0；

.cos<a，了>=-平

...a與b的夾角為150°.

故答案為：150°.

點評：考查兩非零向量垂直的充要條件，以及數(shù)量積的計算公式，向量夾角的范圍.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(12分)(2015秋?太原期末)己知等差數(shù)列｛①｝的前3項和為-6,前8項的和為

24.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

(2)設b?=(a?+6)q"(qWO),求數(shù)列｛b0｝的前n項和So.

參考答案：

【分析】(1)利用等差數(shù)列的前n項和公式、通項公式即可得出；

(2)利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”即可得出.

【解答】解：(1)設等差數(shù)列瓜｝的公差為d,其前n項和為Sn.

VS3=-6,Sk24.

C3X2」__C

3a#2d--6

［勺=-4

8X7<

8al吃，*24，解得ld=2

an=-4+2(n-1)=2n-6.

nn

(2)bn=(atl+6)q=2nq,

工數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn=2(q+2q，3q：'+…+nq"),

xn(n+l)

當q=l時，Sn=2(1+2+3+…+n)=2=n2+n.

234n+，

當qWl,0時，qSn=2(q+2q+3q+-+nq)，

…(星巨＜)-nq什1)

-3,en11!

/._Sn=2(q+q+q+*+q-nq)=2Q1

/.S?=q-1+2nq”’.

【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、”錯位相減

法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

19.(本小題滿分14分)

在三棱錐S-HJC中，AlAC.是邊長為2^5的正三角形，平面平面ZAC,

SA^SC=2,M,N分別為SB的中點。

(1)證明：4Cj_S?；

(2)求三棱錐s-CMW的體積.

N

參考答案:

證明：（1）如圖，取4C中點O,連結(jié)S。，BO...........1分

?.=SC,

/.SOA.jiC...................................3分

又???人必C是正三角形，

;.BOA.AC.......................................5分

SOriBO^O,

平面.................……6分

又?.?以￡：平面SCM,

9分

?.,平面$4Cj_平面ZAC,SOLAC,

：.SO_L平面

ASC

..................10分

又?.應=2,

：.SO=1,即點S到平面MC的距離為i.

?;N是總的中點，

二點N到平面AHC的距離為

1

2......................................12分

......14分

20.（本小題滿分13分）

-z?-r=X>b>6

已知橢圓/配。的左、右焦點分別為宿、Fz,短軸端點分別為A、B,且四

邊形F.AF.B是邊長為2的正方形。

（I）求橢圓的方程；

（H）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足麗麗=0,連結(jié)CM交橢圓

于P,證明詞而為定值（0為坐標原點）；

（HI）在（H）的條件下，試問在x軸上是否存在異于點C的定點Q,使以線段MP為直

徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出Q的坐標，若不存在，說明理由。

參考答案:

.1)如圖，由題知弱=%=訪b=c=Ra=2T+T=，

3分

⑵C(-2,0),D⑵0),則可設Q=，=6'與a(wd--?W1W:*：a，...5分

xy]

由,彳T=琳(1+源)/+/1+*-4=0

A(x+2)

、8*a-4\-4Jt1.,小1-4*3_,2-4P4爐、

M=3z+2)=詼尸"耳育.幣F

——n2-叱公繼4O+2V)

:.OMOP=2-------7+4k-----7=———J=4

1+2421*加1+/9分

（3）設。：（天期且專才々由題知盟2_LOP二。irw=°成立

由麗畫7=（2-%）.二+4b=0即3二%=0恒成立=%=0

1+2必1+2/1+2/

存至。（°，°）使得以MP為直徑的圓恒過DP、MQ的交點............13分

*=2CXK.

<

21.在直角坐標系燈中，曲線C的參數(shù)方程為1/='*伊（二為參數(shù)），以坐標原點

o為極點，/軸正半軸為極軸建立極坐標系.

_n_lx

，=-e=—

（1）在極坐標系下，設曲線C與射線3和射線3分別交于4,3兩點,求

2UOB的面積；

..V行2

*=1+—t

2

'一凡

（2）在直角坐標系下，直線I的參數(shù)方程為I2（￡為參數(shù)），直線I與曲線C

相交于M,N兩點，求⑷的值.

參考答案：

廠=2CXK伊

（1）因為曲線C的參數(shù)方程為了=畫1伊（夕為參數(shù)），

所以曲線C的極坐標方程為‘一3荷外1,

c開c2穿2216

0=-0——zx=外二—

分別代入3和3,可得點d,3對應的A,外，滿足：rn13

所以倒田力.

Z*?=—--lOJlIOjllsin/AOB^—

又333,所以MOb的面積為92y4113

-?/=1

(2)曲線°的直角坐標方程為4

將I的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得5r'+2伍-6=0.

3=也生」

設M,"兩點對應的參數(shù)為k貝廣、5,▼5,

所以網(wǎng)管考.

22.如圖，是一曲邊三角形地塊，其中曲邊AB是以A為頂點，AC為對稱軸的拋物線的一部

分，點B到邊AC的距離為2km,另外兩邊AC,BC的長度分別為8km,2泥km.現(xiàn)欲在此

地塊內(nèi)建一形狀為直角梯形DECF的科技園區(qū).