2021-2022學(xué)年福建省普通高中高二學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)

學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝嗎的=16,則4為4的值

A.16B.32C.48D.64

【答案】D

【分析】由已知，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得%=4且4為怎="；，即可求值.

【詳解】；｛4｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，

2

%%=a5=16,即％=4,

｝

a2-a5-ai=a5=64.

故選：D

2.下列說法正確的是（）

A.在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)較大的一組極差較大

B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差則反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小

C.方差的求法是求出各個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和

D.在記錄兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大說明射擊水平穩(wěn)定

【答案】B

【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差與方差的意義判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)A,在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)與極差沒有必然聯(lián)系，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)B,根據(jù)平均數(shù)與方差的性質(zhì)可知B正確；

對(duì)C,根據(jù)方差的公式可得，求和后還需再求平均數(shù)；

對(duì)D,方差大的表示射擊水平不穩(wěn)定，

故選：B.

3.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,

則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于

【答案】C

【分析】利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的

區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過相除的方法完成本題的解答.

【詳解】解：由幾何概型的計(jì)算方法，可以得出所求事件的概率為

S_1

p=ABE_0.5AB-BC

S的CD2

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型的辨別，考查學(xué)生通過比例的方法計(jì)算概率的問題,

考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查學(xué)生幾何圖形面積的計(jì)算方法，屬于基本題型.

TTTT

4.已知函數(shù)/(x)=4sin3x+e)3>0)在同一周期內(nèi)，當(dāng)》=工時(shí)取最大值，當(dāng)》=-；

63

時(shí)取最小值，則。的值可能為()

A.巴B-C.三D.衛(wèi)

12636

【答案】B

【分析】根據(jù)最值的位置可求得T='2乃="，從而得到。=2；將(77J,4)代入函數(shù)可求

CDO

得9的值.

【詳解】f{x}=^\n{a)x+(p\co>^

由題意可知：4==

2032

所以：T=—=7t,

co

解得：co=2

jrJT

則：/(-)=4sin(2x-+^)=4,

66

7T

即：e=—+2k兀(keZ)

6

jr

當(dāng)&=0時(shí)，(p=一,

6

此時(shí)，/(-§=Y滿足題意，

由此可知，9的一個(gè)可能值為：J

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式的問題，。的求解主要通過函數(shù)的

周期來確定，。則通過函數(shù)上的點(diǎn)代入函數(shù)方程的方式來進(jìn)行求解.

5.已知函數(shù)/(x)=2*的值域?yàn)锳,g(x)=lnx的定義域?yàn)锽,則()

A.AAB=(O,l)B.AU3=RC.BUAD.A=B

【答案】D

【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得集合A,B,然后由集合的運(yùn)算和關(guān)系判斷.

【詳解】由題意A={yly=2'}=(0,+<?),3={x|y=lnx}=(0,+<?),

所以A=B,選項(xiàng)ABC均錯(cuò)，只有選項(xiàng)D正確.

故選：D.

6.AB+BD-AC=

A.ACB.CDC.ABD.DB

【答案】B

【分析】根據(jù)向量減法和加法的運(yùn)算，求出運(yùn)算的結(jié)果.

【詳解】依題意通-正+麗=麗+麗=麗，故選B.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的減法運(yùn)算，考查向量的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.不等式的解集為

A.{x|-2<x<2}B.(x|x<-2glU>2}

C.{x|-2<x<2}D.{x|x(-2或r"}

【答案】B

【詳解】試題分析：X2>4<=>(X+2)(X-2)>0=>X>2S^<-2,故解集為B.

【解析】一元二次不等式.

8.已知兩條直線4：(，〃+3)x+4y+3w-5=。，/2:2x+(/n+5)y-8=0,/,///2,貝！］直線

的一個(gè)方向向量是()

A.B.(-1,-1)C.(1,-1)D.

【答案】B

(分析】先利用"生可得"，=-7，再求得直線的方向向量即可

【詳解】由題，因?yàn)椤啊?,所以胃=」7片網(wǎng)「，

2m+5-8

解得m=-7或機(jī)=-1(舍)

所以直線4為-4x+4y—26=0,即2x-2y+13=0,

則該直線的一個(gè)方向向量為(-1,T)

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查已知直線的位置關(guān)系求參數(shù),考查直線的方向向量

9.已知集合4={田丫=-/+1,》€(wěn)1<},B={y|y=log2x},則4仆8=()

A.(-oo,l]B.RC.0D.[1,-H?)

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域與對(duì)數(shù)函數(shù)的值域求解即可

【詳解】由題，A=(e,l],B=(y>,田)，故AC8=(Y?,1]

故選：A

10.如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若

A.17兀B.18兀C.20KD.28兀

【答案】A

【詳解】試題分析：由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示：

17

是一個(gè)球被切掉左上角的丁即該幾何體是丁個(gè)球，設(shè)球的半徑為R,則

OO

V=萬R3=學(xué)，解得R=2,所以它的表面積是一的球面面積和三個(gè)扇形面積之和,

o33o

73

即—xdjTxZ?+，x萬x2?=17%，故選A.

84

【解析】三視圖及球的表面積與體積

【名師點(diǎn)睛】由于三視圖能有效地考查學(xué)生的空間想象能力，所以以三視圖為載體的立

體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般與幾何體的表面積與體積

相結(jié)合.由三視圖還原出原幾何體是解決此類問題的關(guān)鍵.

x+4y>4

11.給定區(qū)域。：，x+y44,令點(diǎn)集T={&,%"￡)K，yoeZ,(々),%)是2=%+了

x>Q

在。上取得最大值或最小值的點(diǎn)},則T中的點(diǎn)共確定不同的直線的條數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】作出可行域，作直線x+y=o,平移直線x+y=o后可得最優(yōu)解，從而得出集

合T中點(diǎn)的個(gè)數(shù)及點(diǎn)的關(guān)系，然后可確定直線的條數(shù).

【詳解】作出可行域，如圖AABC內(nèi)部(含邊界)，作直線x+y=o,

在直線z=x+y中，Z是直線的縱截距，直線向上平移時(shí)縱截距增大，向下平移時(shí)縱截

距減小，因此平移直線x+y=O,當(dāng)它過A(O,1)時(shí)，Z=x+y最小，當(dāng)它與直線x+y=4

重合時(shí)，z=x+y最大，

所以集合T中有6個(gè)點(diǎn)，一個(gè)是40,1),還有5個(gè)是直線x+y=4上的點(diǎn)(0,4),(1,3),

(2,2),(3,1),(4,0),

它們能確定的直線的條數(shù)為5+1=6,

故選：C.

12.函數(shù)y=丁1_而2.+二^I1的值域是（）

A.{-53}B.{-3,-1,1}C.{-3,1}D.{1,3}

【答案】C

【分析】由同角間的三角函數(shù)關(guān)系變形后按x所在象限分類討論可得.

【詳解】

cosxVl-cos2xtanx

Vl-sin2xsinxJ11

Vcos2X

cosx|sinx|tanxcosx|sinx|tanx

+，，’——,=+----------

|cosx|---sin/1-cos2x|cosx\----sinx----|tanx|,

Vcos2x

當(dāng)工是第一象限角時(shí),y=l+l—1=1,

當(dāng)x是第二象限角時(shí),y=-l+l+l=l,

當(dāng)工是第三象限角時(shí),y=—1—1—1=—3,

當(dāng)工是第四象限角時(shí),y=l-14-l=l,

綜上,函數(shù)值域?yàn)閧-3,1}.

故選：C.

13.若存在xe（O,y）,使不等式or+3a-l<e-'成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.{a|0<a<1}2D.{a|a<1)

B.{a\a<-}C.{a\a<------}

e+1

【答案】B

【分析】作出函數(shù)，(x)=e-，和函數(shù)g(x)=or+3a-l的圖象,在y軸右側(cè)，g(x)的圖象

上存在點(diǎn)在/*)圖象下方，由此可得參數(shù)范圍.

【詳解】作出函數(shù)/")=e-'和函數(shù)g(x)=以+%-1的示意圖，其中g(shù)(x)的圖象是過點(diǎn)

尸(-3,-1)的直線，。是直線的斜率，f(x)的圖象與y軸交于點(diǎn)Q(O,D,

,_1-(-1)_2

2西各一1

題意說明在y軸右側(cè)，g(x)的圖象上存在點(diǎn)在/a)圖象下方,

2

由圖象可知只要即可滿足題意.

故選：B.

14.若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又"2)=(),則/(X)T(T)<0

X

的解集為()

A.(-2,O)U(O,2)B.(^,-2)U(O,2)

C.(9,—2)或2,田)D.(—2,0)U(2,y)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又"2)=0,判斷函數(shù)“X)

在R上的符號(hào)，根據(jù)奇函數(shù)把幺立二止立<0轉(zhuǎn)化為工區(qū)<0,根據(jù)積商符號(hào)法則及

XX

函數(shù)的單調(diào)性即可求得這二止?<0的解集.

X

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)“X)為奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，/(2)=0,

所以x>2或一2cx<0時(shí)，f(x)>0；xv—2或0vxv2時(shí)，/(x)<0；

〃x）T（r）<0,即犯<o,

xx

可知一2Vx<0或0<x<2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及解不等式，屬中檔題.

二、填空題

15.如圖，當(dāng)輸入的x值為3時(shí)，輸出y的結(jié)果是.

【答案】12

3+2x,x<3,

【詳解】試題分析：由程序框圖可知輸出值為函數(shù)丫=匕+^xz3的函數(shù)值，當(dāng)工=3時(shí)

y=12,所以輸出12

【解析】程序框圖

16.〃方=生坐的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______.

x-3

【答案】1

【分析】〃制=生2竺的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即即（x-1如=°且X-3H0,從而得出答案.

x-3

【詳解】y（x）=（x-l）產(chǎn)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程（XT）產(chǎn)=。的解的個(gè)數(shù),

x-3x-3

即（x-l）//ir=0且工一3。0；

解得，x=l；

故/（8）=任當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)的個(gè)數(shù)為1;

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

17.在AABC中，若”=4力=2,cosA=!，則，=

【答案】4

【分析】根據(jù)余弦定理求解即可

【詳解】由余弦定理可得42=22+C?-2X2CX；,即02—c-i2=0,（c、-4）（c+3）=0,

因?yàn)椤?gt;0故c=4

故答案為：4

18.已知￡=（X,2X）,S=（-3X,2）,如果[與口的夾角是鈍角，則人的取值范圍是

114

【答案】（一8,-§）u（-§,。）u（5，+°°）

【解析】￡與坂的夾角是鈍角，則7B<o,根據(jù)向量夾角公式列不等式，由此求得刀的取

值范圍.

【詳解】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為巴依題意可知。為鈍角，

,[cos0<01

則1’2，即COS6<0,xwO且X*—

[2x*-6x~3

a,b?4

由力<0n-3x-+4x<0得x<o或x>-,

\a\-\b\3

I1]4

由于XNO且XN-"所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是（7,-5）U（-§,O）U（§,+8）.

114

故答案為：（-（?,--）U（---o）u（-,+°°）

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)向量夾角求參數(shù)，注意利用7B<o時(shí)，要排除共線反向

情況，屬于中檔題.

19.過圓/+丁=4內(nèi)點(diǎn)M（1,0）作圓的兩條互相垂直的弦A8和8,貝lj4?+CD的最

大值為一.

【答案】2M

【分析】取A8中點(diǎn)E,CZ）中點(diǎn)F,由此得|0吁+|0斤=10叫2=3,

+\CD\=2（74-|OE|2+74-|OF|2）,然后應(yīng)用變形后的基本不等式可得最大值.

【詳解】取A8中點(diǎn)E,8中點(diǎn)F,如圖，則OEMF是矩形，|OE「+QF「=|OM『=3,

|4B|=2|A目=2,4TOff,同理|。。|=254-|0尸『,

注意至lJ00，b>0時(shí)，由42+6222必得2（〃2+/；2）*（4+6）2,從而a+w12（儲(chǔ)+62）,

當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)取等號(hào).

所以|+|CQ|=2（^4-10E|2+,4_|0汗）<272（4^。￡「+4-|。可）=2M，

當(dāng)且僅當(dāng)4-|0目2=4-|0肝，即|0同=|0曰=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

所以|AB|+|C0的最大值是2j訪.

故答案為：2M.

三、解答題

20.求C；黑+C圖+C甯+…+喏"的值.

【答案】124

【分析】根據(jù)給定組合式結(jié)合組合數(shù)的定義列出不等式求得”值，再利用組合數(shù)的性質(zhì)

計(jì)算即得.

13

n<—

3〃413+〃2

17

【詳解】依題意，17-〃42”，g|Jn>y,解得〃=6,

rt6N

I/JGN

所以，原式

=C；+C：；+C；+-+C：；=C；9+C；8+C；7+---+C；2=19+18+17+---+12=124.

21.某地區(qū)實(shí)施“光盤行動(dòng)'’以后，某自助啤酒吧也制定了自己的行動(dòng)計(jì)劃，進(jìn)店的每一位

客人需預(yù)交50元，啤酒根據(jù)需要自己用量杯量取,結(jié)賬時(shí)，根據(jù)每桌剩余酒量，按一定倍率

收費(fèi)（如下表），每桌剩余酒量不足1升的，按0升計(jì)算（如剩余1.7升，記為剩余1升）.例如:結(jié)

賬時(shí),某桌剩余酒量恰好為2升，則該桌的每位客人還應(yīng)付50x1.2-50=10元.統(tǒng)計(jì)表明

飲酒量與人數(shù)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的5組數(shù)據(jù)（x,y）（其中x表示飲

酒人數(shù),丫（升）表示飲酒量）：。。8）,（2,1.5）,（3,2,5）,（4,3.2）,（5,4.5）.

剩余酒量(單位:升)01234升以上(含4升)

結(jié)賬時(shí)的倍率0.911.21.52

(i)求由這5組數(shù)據(jù)得到的y關(guān)于*的回歸直線方程；

(2)小王約了5位朋友坐在一桌飲酒，小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒，這時(shí)，酒吧服

務(wù)生對(duì)小王說，根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn),小王和朋友量取的啤酒可能喝不完，可以考慮再邀請(qǐng)1位或

2位朋友一起來飲酒，會(huì)更劃算.試向小王是否該接受服務(wù)生的建議？

參考數(shù)據(jù):回歸直線的方程是q=鼠+3,其中

“__〃__

2七％-〃肛Z(x,-x)(y-y)

3=弓~=旦七Z，名=y-Bx.

<=I/=1

【答案】⑴y=0.9U-0.23;(2)接受

【解析】(1)計(jì)算出?結(jié)合所給數(shù)據(jù)，計(jì)算出九進(jìn)而求得小即可求得答案;

(2)小王和5位朋友共6人大約需要飲酒0.91x6-0.23=5.23升,若不再邀請(qǐng)人，則剩余酒

*8-5.23=2.77升,酒吧記為剩余2升,預(yù)計(jì)需要支付50*6X120%=360元，結(jié)合已知，即

可求得答案.

1+2+3+4+5_-0.8+1.5+2.5+3.2+4.5

【詳解】⑴x=3,y=-----------------=2.5,

5

5___

b=-------------==0.91,

V2J55-45

f=l

a=y-Bx=2.5-0.9x3=-0.23,

???回歸直線方程為y=0.9lx-0.23.

(2)小王和5位朋友共6人大約需要飲酒0.9lx6-0.23=5.23升，

若不再邀請(qǐng)人，則剩余酒量8-5.23=2.77升，酒吧記為剩余2升，

預(yù)計(jì)需要支付50x6xl20%=360元；

若再邀請(qǐng)1人，大約需飲酒0.91x7-0.23=6.14升，剩余酒量8-6.14=1.86升，

酒吧記為剩余1升，預(yù)計(jì)支付50x7x1=350元；

若再邀請(qǐng)2人，大約需飲酒0.91x8-0.23=7.()5升，剩余酒量8-7.05=0.95升,

酒吧記為剩余0升，預(yù)計(jì)支付50x8x90%=360元.

應(yīng)該接受建議，且再邀請(qǐng)1位朋友更劃算.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求回歸直線方程，解題關(guān)鍵是掌握求回歸直線方程的方法，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.如圖，在等腰梯形A8Q）中，AD〃BC,AD=AB=CD=2,BC=4,M,N,Q

分別為BC,CD,4c的中點(diǎn)，以AC為折痕將八48折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸位置（P/

平面ABC）.

（1）若H為直線QN上任意一點(diǎn)，證明：〃平面.；

（2）若直線A8與直線MN所成角為f,求二面角A-PC-B的余弦值.

4

【答案】（1）見解析（2）叵

7

【解析】（1）根據(jù)中位線證明平面“NQII平面即可證明MH〃平面/WP；（2）以

QM,QC,。尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算

二面角的余弦值.

【詳解】（1）證明：連接Q",

,：M,N,。分別為BC,CD,AC的中點(diǎn)，

QM//AB,

又平面RW,ABI平面％

QM〃平面PAB,

同理，QN〃平面Q45,

?.?。〃<=平面加。，”<=平面加M。，QM^}QN=Q,

平面MNQU平面上鉆，

："Hu平面MNQ,

二〃平面AfiP.

（2）連接PQ,在A45C和中，由余弦定理可得，

[AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC

IAC2=AD2+CD2-2ADCD-cosNAOC'

由NABC與/ADC互補(bǔ)，AD=AB=CD=2,BC=4,可解得4c=2后,

于是3c2=AB?+AC?,

AAB±AC,QM1AC,

■：QMHAB,直線AB與直線MN所成角為￡,

4

AQMN=-,又QM=QN=\,

4

冗

AZMQN=-f即QMJ_QN,

平面APC,

平面ABC1平面APC,

為AC中點(diǎn)，PQrAC,

：.PQJ■平面ABC,

如圖所示，分別以QM,QC,QP為X,yfz軸建立空間直角坐標(biāo)系，則8(2,-6,0),

C(O,G,O),P(o,o,l),而=(2,-0,-l),PC=(0,^3,-1).

設(shè)平面P8C的法向量為M=(x,y,z),

2x-y/3y-z=0

即

n-PC=0Gy-z=0

令y=l,則％=z=G，可得平面PBC的一個(gè)法向量為為=(行,1,6).

又平面APC的一個(gè)法向量為所=(1,0