2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末測(cè)試卷01

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的)

4+bi

1.已知復(fù)數(shù)2=---SeR)的實(shí)部為一1，則6=()

1-z

A.-5B.5C.6D.—6

【答案】C

【解析】

4+bi(4+Z>z)(l+z)-b以

利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解.復(fù)數(shù)2=7一='，〈=2-丁+2+-b

1-z(l-z)(l+z)2(2)

因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部為一1，

b

所以2--=-1,

2

解得b=6,

故選：c

2.平面向量Z與石的夾角為60。，a=(2-0),|^|=1,則|日+25|等于

A.73B.2石C.4D.12

【答案】B

【解析】

把11+28|平方后再開(kāi)方即可.因?yàn)椤?(2,0),|=1

所以|a|=2,a-b=2xlxcos60°=1

所以|a+|=+4a-b+4b~=

故選：B.

3.對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為“(〃22)的樣本，選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣兩種不同方法抽取樣

本，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率為P1,某個(gè)體第一次被抽中的概率為。2；在分層隨機(jī)抽

樣中，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為〃3則()

A.p2<p]<p3B.P\=P2=P3c.p2Vpi=P?D.，1，〃2,〃3，沒(méi)有關(guān)系

【答案】B

【解析】

根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的定義即可得到結(jié)論.根據(jù)抽樣調(diào)查的原理可得簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣都必須滿(mǎn)

足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，即Pl=P2=臼?

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的原理的理解，兩種抽樣都是等可能抽取，是一道容易題.

4.若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其中AC7/。？，A'C'1B'C',

AC=1,06=2,則原四邊形AQBC的面積為()

A.12B.6C.3拒D.

【答案】c

【解析】

根據(jù)圖像，由“斜二測(cè)畫(huà)法”可得，四邊形AQ5C水平放置的直觀圖為直角梯形，進(jìn)而利用相關(guān)的面積公式求解

即可根據(jù)圖像可得，四邊形A08C水平放置的直觀圖為直角梯形，

作則OA/=2—1=1,

由=得4。'=血，AO=2A'O'=20，

AC=A'C'=1,OB=O'B'=2,且AO_LO8,ACIIOB，所以，

原四邊形AQBC的面積為S=1(AC+OB)xAO=Lx(l+2)x20=3jL

22

故選：c

5.希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)，特別是與“月牙形''有關(guān)

的問(wèn)題.如圖所示，陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是△ABC的外接圓和以AB為直徑的圓的

2萬(wàn)一

一部分，若NACB=—,AC=BC=\,則該月牙形的周長(zhǎng)為()

3

n71

A.B.

63

3J3+2"3J3+4萬(wàn)

c.D.

63

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理，可求得A5長(zhǎng)，即可求得A6為直徑的圓的周長(zhǎng)，利用正弦定理，可求得的

外接圓半徑R，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，可求得劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角，代入公式即可求得弧長(zhǎng)，即可得答案.因?yàn)?/p>

2萬(wàn)

/ACB=—，AC=BC=1,

3

2乃1

所以AB2=AC2+BC2—2xACx8Cxcos』=l+l—2xlxlx(——)=3,所以=

32

所以月牙的長(zhǎng)弧對(duì)應(yīng)圓周長(zhǎng)的一半為叵，

故以AB為直徑的圓的周長(zhǎng)為島

2

設(shè)AAHC的外接圓的圓心為。，半徑為R,如圖所示,

=AB=2R

由正弦定理得sinNACB.2"，所以R=1，

sin——

3

所以四邊形0A8C為菱形，且44。3=/4。8=至

3

212萬(wàn)

所以劣弧AB的長(zhǎng)為——xl=——

33

所以該月牙形的周長(zhǎng)為2萬(wàn)?也?=(36+4)萬(wàn)

326

故選：A

6.若（Q+Z?+C）3+C-Q）=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么aABC是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

首先利用余弦定理求出A,再由sinA=2sin5cosc利用正弦定理將角化邊，以及余弦定理將角化邊可得

b=c,即可判斷三角形的形狀；解：???(Q+b+c)S+c-a)=3bc,

/.[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc,

(h+c)~—cr—3hc,

b2+2bc+c2-a2=3bc，

Z?2-hc+c2=。2，

根據(jù)余弦定理有a2=h2+c2-2hccosA，

b1-bc+c1=cr=tr-\-c1-2/?ccosA,

he=2Z?ccosA，

.1

cosA=—,

2

"=60°,

又由sinA=2sin6cosC,

?sinAa+b2-c2

則ra------2cosC,即一=2--------------,

sinBblab

化簡(jiǎn)可得，b2=c2.

即=

.?.△ABC是等邊三角形

故選：B.

7.如圖，在正方體ABCD—AB'CT/中，線(xiàn)段笈。'上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，若線(xiàn)段Eb長(zhǎng)度為一定值，則下

列結(jié)論中量送的是（）

A.ACLBE

B.3。_L平面ABE

C.￡：///平面ABC。

D.三棱錐5—A石F的體積為定值

【答案】B

【解析】

對(duì)A,連接BC,通過(guò)證明ACJ_平面可得；對(duì)B,通過(guò)NABO=45°可判斷；對(duì)C,通過(guò)平面ABC￡>〃

平面A'8'C'O'可判斷；對(duì)D,可判斷三棱錐的高和底面積為定值.對(duì)A,連接B。，1?底面ABC。是正方形，

:.AC±BD,又￡>Z）'_L平面ABC。，

面85'。'。，?.?B￡u平面故A正確，不符合題意；

對(duì)B,若80,平面/WE，「ABu平面A5E，.?.8r>_LAB，但顯然NABO=45°，所以80,平面？1BE不

成立，故B錯(cuò)誤，符合題意；

對(duì)C,正方體中，平面ABC?！ㄆ矫?3'C'。'，戶(hù)u平面AB'C'D,.?.EF〃平面ABC。，故C正確，不

符合題意;

對(duì)D,：點(diǎn)A到平面BEF的距離也是點(diǎn)A到平面BBDD的距離，等于AC的一半,即三棱錐高為定值,而"EF

的邊EF為定值，高為86'為定值，故體積為定值，故D正確，不符合題意.

故選：B.

3________.___.

8.在AABC中，/C=5,4?=6,cosA=一，點(diǎn)。滿(mǎn)足40底+50月+60d=。，若0P=xOB+yOC.

4

其中04%?1,04丁41,動(dòng)點(diǎn)。的軌跡所覆蓋的面積為（）

A.2幣B.告幣C.24D.12

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，不妨用坐標(biāo)法處理；建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求得點(diǎn)。坐標(biāo)，根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算的幾何意義,

求得動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形形狀以及范圍，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式，即可求得面積.根據(jù)題意，不妨過(guò)點(diǎn)。作

A3的垂線(xiàn)，垂足為“，

以”為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：

根據(jù)題意，可得坐標(biāo)如下:

4個(gè),0),"(0,0),哈o),c0,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（根,〃），由4方+5礪+6元=6

受一時(shí)力+5注時(shí)〃]+6,犯短二

=0,

可得:4）UJ4

故可得m=——,n=-^―.則點(diǎn)。坐標(biāo)為2當(dāng)

42

42IJ

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為匕），由詼=xOB+yOC>

由向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)可知，點(diǎn)P的軌跡是：

以O(shè)B,OC為一組鄰邊的平行四邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)，含邊界.

故可得儂=符=2?"|=J,+9x得=2,|因=假+25x\=4，

故可得cosZBOC=吟|?！该髁t…0V14

2|C>B||OC[4'''4

則以O(shè)B,OC為一組鄰邊的平行四邊形的面積

S=2S.OBC=2xgxsinZBOCx\OB\X|（9C|

=叵~義26.又2=2幣?

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面積公式的應(yīng)用；需要注意，本題中，也可以通

過(guò)幾何方法確定點(diǎn)P的軌跡圖形，解析法只是方法之一；屬綜合困難題.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全對(duì)得5分，少選得3分，多選、錯(cuò)選不得分）

9.已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,5,6,現(xiàn)

從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件8="抽取的兩個(gè)

小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（）

A.事件A發(fā)生的概率為!

2

B.事件AU8發(fā)生的概率為三

2

c.事件Ans發(fā)生的概率為彳

D.從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為工

5

【答案】BC

【解析】

根據(jù)題意，分別列舉出事件A和事件5所包含的基本事件，再逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.由題意，從甲罐、乙罐

中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共包含=20個(gè)基本事件；

“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”包含的基本事件有：（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,

（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,共11個(gè)基本事件;

“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”包含的基本事件有:（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,（4,3）,（4,5）,

（4,6）,共8個(gè)基本事件；

即事件B是事件A的子事件；

因此事件A發(fā)生的概率為□,故A錯(cuò)；

20

事件AU8包含的基本事件個(gè)數(shù)為11個(gè)，所以事件4UB發(fā)生的概率為年；故B正確；

o2

事件ACI8包含的基本事件個(gè)數(shù)為8個(gè)，所以事件AflB發(fā)生的概率為三=二，故C正確；

從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球，包含的基本事件為：（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,5）,（2,6）共5個(gè)基本事件,

故從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為1,即D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，屬于基礎(chǔ)題型.

JI乃、

（-y<<?<yI（其中i為虛數(shù)單位），則（）

A.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在第二象限B.z可能為實(shí)數(shù)

C.閆=2cos8D.，的實(shí)部為一一

11Z2

【答案】BC

【解析】

jr7T

由一一＜。（一可得一萬(wàn)＜26＜%，得0＜l+cos26W2,可判斷A選項(xiàng)，當(dāng)虛部sin28=0,

22

時(shí)，可判斷B選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的模計(jì)算和余弦的二倍角公式可判斷C選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得

1_l+cos26-isin261的實(shí)部是1+cos23jrTT

,可判斷D選項(xiàng).因?yàn)橐灰唬?。＜一，所?/p>

zl+2cos20Z2+2cos26222

-7i<20<7i所以一1vcos28Wl,所以0<l+cos2e42,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

71幾

當(dāng)sin28=(),。￡時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，故B選項(xiàng)正確;

|z|=E+cos20『+(sin201=，2+2cos26=2cos6，故C選項(xiàng)正確:

1_1_1+cos2^-zsin20_l+cos2。一isin2。［

zl+cos2^+/sin20(1+cos20+isin2^)(1+cos20-isin2^)l+2cos26'z

1+cos26

故D不正確.

2+2cos262

故選：BC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)模的計(jì)算，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C0為菱形，NDAB=60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD±

平面A3CD,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.在棱AO上存在點(diǎn)/，使4）_L平面

B.異面直線(xiàn)AO與PB所成的角為90。

C.二面角P—BC—A的大小為45。

D.BD_L平面PAC

【答案】ABC

【解析】

根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)定理一一驗(yàn)證可得.解：如圖，對(duì)于A，取AO的中點(diǎn)A/，連接尸?.?側(cè)面

24。為正三角形，

PM又底面ABC。是菱形，NDAB=6（）°，是等邊三角形，

:.AD±BM.又PMcBM=M，PM，BMu平面PA/6，

平面PBM，故A正確.

對(duì)于3，平面PBM，.?.ADJ_PB，即異面直線(xiàn)AO與PB所成的角為90。，故3正確.

對(duì)于C,???平面PBCD平面ABCD=3C，BC//AD,;.BC上平面PBM，:.BC上PBBC工BM,

.?.NP3M是二面角P—6C—A的平面角，設(shè)A6=l，則8M=立，PM.

22

PM

在RtZSPBM中，tan/P8M=——=1,即NP3M=45°，故二面角P—5C-A的大小為45。，故C正確.

BM

對(duì)于O,因?yàn)锽D與P4不垂直，所以8D與平面P4c不垂直，故。錯(cuò)誤.

故選；A8C

【點(diǎn)睛】

本題考查線(xiàn)面垂直的判定及異面直線(xiàn)所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

12.下列說(shuō)法正確的是（）

而AC]—.ABAC1

A.若非零向量i=i+=rBC=0,且,?田=不，則AABC為等邊三角形

【網(wǎng)|AC|J阿AC|2

B.已知礪=〃,而=反反=口而=2,且四邊形ABCO為平行四邊形，則石+B—1—7

C.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2石，圓。是該三角形的內(nèi)切圓，p是圓。上的任意一點(diǎn)，則麗?麗的最大

值為1

D.已知向量。8=（2,0）,反=（2,2）,eX=（0cosa,J^sina）,則礪與為夾角的范圍是（，言

【答案】AC

【解析】

利用單位向量以及向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用向量的加法運(yùn)算可判斷B；利用向量的加、減運(yùn)算可判斷C；

由題意可得點(diǎn)A在以(2,2)為圓心，血為半徑的圓上，由向量夾角定義可判斷D.A,因?yàn)榉橇阆蛄?/p>

___\

~AC

+而-BC=O,所以/a4c的平分線(xiàn)與8c垂直,

AB~AC1元

△A6C為等腰三角形，又問(wèn)=所以=

\AB\|/4C|23

所以AAbC為等邊三角形，故A正確;

B，a+h—c—d-OA+OB-OC—OD

=CA+DB=CD+DA+DA+AB>

在平行四邊形ABC。中，有麗=反，

所以原式=2￡冰片。，故B錯(cuò)誤；

C,設(shè)正三角形A8c內(nèi)切圓半徑「，

由面積相等可得Lx26x3xr=Lx2Gx26xsin二,

223

解得r=l,令A(yù)B的中點(diǎn)為￡>，從而DA=DC=6,

則方+P^=2P￡i，PA-PB=BA=2DA^

兩式平方作差可得4PAPB=4PD2-4DA，

即麗?麗=而2—3,若要使西?麗最大，只需而2最大

由于。為的中點(diǎn)，也為圓。與AB的切點(diǎn)，所以|麗|的最大值為2r=2,

所以西?麗=所2-3<4-3=1，故C正確；

D,設(shè)礪=(x,y),C4=OA-OC=(x-2,y-2)=^>/2cosa,5/2sin?),

所以x—2=夜cosa>y-2=\[2sina，

所以(x_2『+(y_2『=2,

即A在以（2,2）為圓心，、反為半徑的圓上,

如圖:

sinZCOA=,所以NCQA=工，

722+2226

71717T

當(dāng)OA與圓在下方相切時(shí)，囪與為夾角最小，此時(shí)為7；一不=五，

JT1T5汽

當(dāng)OA與圓在上方相切時(shí)，°4與西夾角最大，此時(shí)為一+：=——，

4612

____7154

所以次與布夾角的范圍是—，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了向量的數(shù)量積定義、向量的加減法以及向量的夾角，解題的關(guān)鍵是是將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

平面幾何問(wèn)題，利用圓的性質(zhì)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模，此題是向量的綜合題目.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.在一次全運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽.羽毛球的比賽規(guī)則是3局2勝制，假設(shè)每

局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率.為此，用計(jì)算

機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1,2或3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽三局，

所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組.例如，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

423231423344114453525323152342

345443512541125342334252324254

相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)，用頻率估計(jì)甲獲得冠軍的概率的近似值為.

【答案】0.65

【解析】

由20組隨機(jī)數(shù)中先求出甲獲勝的頻數(shù)，從而可求出甲獲勝的頻率，進(jìn)而可得答案解：由題意可知，20組隨機(jī)數(shù)

中甲獲勝的有：423231423114323152342512125342334252324有13組，

13

所以甲獲勝的頻率為——=0.65,

20

所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為0.65,

故答案為：0.65

【點(diǎn)睛】

此題考查頻率與概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

14.己知。是空間兩個(gè)不同的平面，小〃是空間兩條不同的直線(xiàn)，給出的下列說(shuō)法：

①若根//c,n!Ip,且〃〃/〃，則二//月；

②若加//a,n/1/3,且m_L〃，則a_L￡；

③若加_La,〃_L耳，且〃〃/〃，則a///7；

④若加"La,"_L￡，且〃？J_〃，則。_L￡.

其中正確的說(shuō)法為（填序號(hào)）

【答案】③④

【解析】

利用空間線(xiàn)面、面面平行、垂直的性質(zhì)定理和判定定理分別分析四個(gè)命題，得到正確答案.①加//a,nll/3,

且相〃〃，則。,，可能相交，故①錯(cuò)誤；

②m//。，nll/3,且加則。，力可能相交，也可能平行，故②錯(cuò)誤；

③帆_La,且機(jī)〃〃，則a〃A，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知③正確；

④m_La,〃，力、且〃z_L”,則。，，，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知④正確.

故答案為：③④.

15.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線(xiàn)SA,SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°，若鉆的面積為4,則該圓

錐的體積為.

【答案】2扃

【解析】

根據(jù)ASAB的面積求出ISAI，根據(jù)SA與圓錐底面所成角為30求出圓錐的高和底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公

式可求出結(jié)果.因?yàn)樾鸟R⑼河"且國(guó)反團(tuán),

所以ISA|=|S31=25/2,

所以圓錐的高〃=|S4|sin3O°=20x'=J5,底面半徑r=|SA|cos30°=20x^=后，

22

所以該圓錐的體積為,//萬(wàn)/=L又丘又兀乂6=2也兀.

33

故答案為：2叵兀.

16.設(shè)AOAB中，o汗=￡,且滿(mǎn)足,一q=W，卜+目=2,當(dāng)z/Mfi面積最大時(shí)，則￡+5與區(qū)夾

角的大小是.

【答案】45°

【解析】

根據(jù)向量運(yùn)算幾何意義，運(yùn)用余弦定理和正弦定理建立邊角關(guān)系，再應(yīng)用三角公式求解.解：在△Q46中，取A8

中點(diǎn)C,連接OC,設(shè)NC08=a,NOAB=e，

OA-a＞麗=在且滿(mǎn)足|「+切=2，

由向量及其運(yùn)算幾何意義知，AB=\a-b\,OA=\a\,

OC=|；3+6)|=1,d+方與石夾角即為。，

設(shè)AC=x，則Q4=2x,BC=x；設(shè)AOLB的面積為S,

x+2x>1,2x-x<\=>—<x<\；

3

CY2_1

由余弦定理得I2=x2+(2x)2-2?x.2x,cose=>cos6=，~—

4/

S=；(2x)2sin6=2/川一遍夕=|^(1-x2)(x2-1),

1+1J54

當(dāng)/_9_5,即x=4,cos6=一時(shí)，S取最大值.

xF=335

由正弦定理得sina=即??？

x1

所以sina=xcosg=x,3￡

2V2

因?yàn)閍為銳角，所以a=45°.

故答案為：45°

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量運(yùn)算及其幾何意義，用余弦定理與正弦定理是解決問(wèn)題關(guān)鍵.

四、解答題（本大題共6小題，第17-18題10分，第19-21題12分，第22題14分，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必

要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.已知復(fù)數(shù)4=1—2i,Z2=3+4i,i為虛數(shù)單位.

（1）若復(fù)數(shù)馬+。22,在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）若z=2,求z的共軻復(fù)數(shù)

z2

【答案】（1）；（2）一§+1，

【解析】

（1）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)4+az2=（l+3a）+（4a—2）i,再由復(fù)數(shù)4+az2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，列出不等式

組，即可求解;

（2）由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得z=-g-gi,再根據(jù)共輒復(fù)數(shù)的概念，即可求解.（1）由題意，復(fù)數(shù)

Z]=1—2i,z2=3+4z,

則4+az2=1-2i+a(3+4i)=(1+3。)+(4a-2)z

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z1+“Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,

l+3a>0，解得」

所以《

4。一2<032

即實(shí)數(shù)。的取值范圍（一工，,）.

32

力市”4=1—2i（1-233-4，）一5-10、12

z23+4/（3+4z）（3-4/）25551

_12.

所以z=------1—i.

55

【點(diǎn)睛】

與復(fù)數(shù)的幾何意義相關(guān)問(wèn)題的一般步驟：

（1）先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；

（2）把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)復(fù)數(shù)。+初（。力eR）與復(fù)平面上的點(diǎn)（。,刀一一對(duì)應(yīng)，

列出相應(yīng)的關(guān)系求解.

18.某市為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了1000名高一學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位:

小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表.

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

1［。，5）500.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)300b

4[15,20)2000.20

5[20,25)1000.10

合計(jì)10001

w

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

時(shí)間

051015202530

（1）求。，〃的值，并在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（用陰影涂黑）；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；

（3）現(xiàn)從第4,5組中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取2人進(jìn)行調(diào)研《紅樓夢(mèng)》的閱讀情況,

求抽取的2人中至少有一人是5組的概率.

_3

【答案】（1）。=35（）,8=0.30；圖象見(jiàn)解析；（2）%=12.25-中位數(shù)1L67；（3）

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方表，列出方程組，即可求得a力的值，進(jìn)而得到頻率分布直方圖;

（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式，即可求得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）設(shè)第4組為％A3,第5組為四，B2,利用列舉法，求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含

的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.（1）根據(jù)頻率分布直方表，可得

‘50+a+300+200+100=1000

'0.05+0.35+b+0.20+0.10=1'

解得a=350,匕=0.30,

頻率分布直方圖，如圖所示:

頻率

(2)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù):%=2.5x0.05+7.5x0.35+12.5x0.3+17.5x0.2+22.5x0.1=12.25-

由題圖可知，中位數(shù)應(yīng)在10至15之間，設(shè)中位數(shù)為X,

則0.05+0.35+(x-10)x0.06=0.5,解得故中位數(shù)的估計(jì)值為11.67.

(3)從第4,5組抽取的人數(shù)分別為4,2,第4組的4人，

設(shè)為4，4，A3,A4,第5組的2人，設(shè)為四，B],

則從該6人中選出2人的基本事件有,AA，AA”A4,A,B2,4A3,A2A4,，4與，A,A-

44，,44，共15種，

A3B2A4B2,B}B2,

其中都是第4組的基本事件有A4,44，AA4，4A3，A2A4,A3A4,共6種，

693

所以至少有一名學(xué)生是5組的概率p=l一一=一=二.

15155

-(3.3、『(x.X、「人乃]

19.已知向量a=|cos—x,sin—x|,〃=|cos—,一sin—且xe0,—,求：

I22)I22)12」

<1)%.B及\a+B|；

3

(2)若/(x)=aZ-2/l|a+B|的最小值為一萬(wàn)，求實(shí)數(shù)/I的值.

--1

【答案】(1)a-b=cos2x>\ci+hcosx(2)A=—.

【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，直接運(yùn)算，即可求解;

C7T

(2)由(1)求得函數(shù)f(x)=2cos~x-44cosx-1,X￡[O,5),令，=<：051￡[0,1],得到

y=2產(chǎn)一4勿—結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.(1)由題意，向量

￡=[os|X,sin|x/Jcos$-s嗚)，

xx\3x3x3xx

可得。力二cos-,-sin-=cos-xcos——sin-xsin-=cos(—+-)=cos2x,

[22)22)222222

所以而

|￡+5|=+h+2a-h=>/l+l+2cos2x=V2+2cos2x=2cosx-

—?—?—*—?yi

(2)由(1)可得/(x)=a?Z?—24|。+〃|=cos2x-42cos羽x￡。一],

21

即/(x)=cos2x-4Acosx-2cos2x-4Acosx-l,xe[0,—],

令，=cosxe[0,l],所以^=2/一4?-1/6[0,1],

對(duì)稱(chēng)軸為f=7,

若xwo,則為訕=一1，不符合題意；

若421,則=1-44=一彳，解得2=](舍去)；

2o

,31

若0<4<1,則乂面=一1—2丸2=—解得義==,

綜上可得：2=-.

2

20.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,C.已知(2sinA-百sin8產(chǎn)=4sin?C-sin?8.

(1)求角C的大小；

(2)若8=1,c=J7,求cos(B-C)的值.

【答案】(1)。=二；(2)次.

614

【解析】

(1)將等式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；

(2)利用正弦定理求出sinB,再根據(jù)匕<c,可知8<C,進(jìn)而可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求出cosB,再利用

兩角差的余弦公式可求得答案.⑴由(2sinA-百sinB)2=4sin2C-sin2B化簡(jiǎn)，

得sin?A+sin?8—sin?C=GsinAsinZ?，由正弦定理，得a，+b，-c?=Cab，

由余弦定理得cosC="一+"一'I=走,又Ce(O,%),所以C=工.

2ab26

(2)因?yàn)?=1,c=幣,所以由正弦定理"一=—J，得sin8="smC=立,

sinBsinCc14

因?yàn)樨?lt;c,所以3<C,所以cosB=Jl-sin?B=生旦，

14

所以cos(5—C)=8sBcosC+sinBsinC-x2^1+^2.x—=-

14214214

5Fl

所以cos(B-C)=V—.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題在利用同角三角函數(shù)求cosB時(shí)，需要注意利用大邊對(duì)大角確定角B的范圍.

21.如圖，在三棱柱ABC-A'5'C'中，側(cè)棱CC'，底面ABC,AB=AC,。，瓦尸分別為棱AA,BB',8C

的中點(diǎn).

(1)求證：BC'lAFi

(2)若A5=2,=CC'=20,求三棱錐D-AEF的體積.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）工

3

【解析】

（1）可證AR，平面BCC，從而得到BC±AF.

（2）取A3的中點(diǎn)為G,連接FG,可證fG_L平面ADE，故可求三棱錐O—AE/7的體積.（D因?yàn)閭?cè)棱

CC'，底面ABC，Abu平面4BC，所以CC'LAF,

因?yàn)镋為中點(diǎn)，AB=AC,故5C_LAF,而CC'c3C=C,

故平面3CC',而B(niǎo)C'u平面BCC',故BC'LAF.

（2）取A3的中點(diǎn)為G,連接FG.

因?yàn)锳3=AC=2,BC=20,故BC?=AC?+AS?，故AC_LA8,

因?yàn)镃F=EB,AG=G5,散FGHAC,且FG=1,故FG_LAB，

因?yàn)槿庵鵄BC—A'3'C'中，側(cè)棱CC'，底面ABC，

故三棱柱ABC—A'6'C為直棱柱，故88'，底面ABC，

因?yàn)镕Gu底面ABC,故BB'J_FG,而B(niǎo)ScAB=B，

故尸G_L平面AD石，

而SAH=』xADxAB=—xAA/xAB=—xCC'xAB=V2,

△ADE244

B

【點(diǎn)睛】

71

思路點(diǎn)睛：線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定可由線(xiàn)面垂直得到，也可以由兩條線(xiàn)所成的角為一得到，而線(xiàn)面垂直又可以由面面

2

垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.又三棱錐的體積的計(jì)算需選擇合適的頂點(diǎn)和底面，此時(shí)頂點(diǎn)到底面

的距離容易計(jì)算.

22.如圖，直角AABC中，點(diǎn)M,N在斜邊BC上（M,N異于B,C,且N在C之間）.

（1）若AM是角A的平分線(xiàn)，AM=3,且。0=2的5,求三角形ABC的面積;

冗

（2）已知A8=3,AC=3>f3>NMAN=—,設(shè)=

6

由

①若sin。=-----，求MN的長(zhǎng)；

7

②求A4MN面積的最小值.

【答案】（1）以；（2）MN=Z,（s）_27（2-6）

84_4

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)M作MEJ.A5交AB于E，作交AC于尸，利用三角形相似求出線(xiàn)段的長(zhǎng)，從而求出

三角形的面積；

247171

（2）依題意，表示出=-----3,ZANC=-+O,NNAC=——。，再由正弦定理表示出AN,AM,

323

CN,MB,①由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tan。，即可求出CN,MB從而得解；②由面積公式即三角恒

等變換求出面積最小值.解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)M作交A3于E，作M/_LAC交AC于尸，

則AMEBS4CFM

CFMFCMc

*---=---------=2

"MEBEMB

因?yàn)镹C4B=90°，AM平分NC48且40=3

：.ME=MF=^3—/7

2

：?CF=36,即當(dāng)

.“R口3723090

??ABD=AE+BE=----1---=---

244

.ACAZ7z-rr3>/5[T9亞

.*.AC=A.F+CF-----F3>Q/2-----

22

19729A/281

=-ACAB=—X---------X----------=一

222