2004網易杯全國大學生

數學建模競賽題目C題飲酒駕車西北大學數學系竇霽虹

信息（語言、數據）

問題（第一問，…,）

問題所屬類型

做題思路和關鍵點

結果表示形式讀題

背景（來源、方向）據報載，2003年全國道路交通事故死亡人數為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當的比例。針對這種嚴重的道路交通情況，國家質量監督檢驗檢疫局2004年5月31日發布了新的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準，新標準規定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克/百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克/百毫升

）。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他懊惱又困惑，為什么喝了同樣多的酒，兩次檢查結果會不一樣呢？請你參考下面的數據（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數學模型，并討論以下問題：1、對大李碰到的情況作出解釋；2、在喝了3瓶啤酒或半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：1）酒是在很短時間內喝的；2）酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。1、對大李碰到的情況作出解釋。

2、在喝了3瓶啤酒或半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：1）酒是在很短時間內喝的；2）酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。3、怎樣估計血液中酒精含量在什么時候最高。4、根據你的模型論證：如果天天喝酒，是否能開車？5、根據你的模型并結合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。參考數據：1、人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2、體重約70kg的某人在短時間內喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克/百毫升），得到數據如下：時間（小時）0.250.50.7511.522.533.544.5酒精含量3068758282776868585150時間（小時）5678910111213141516酒精含量413835282518151210774

問題所屬類型

做題思路和關鍵點

結果表示形式函數關系式?

計算函數的值1、問題的分析函數關系式直接關系間接關系直接關系通過一些定理、定律及經驗公式得到關系式。通過大量數據進行數據分析擬合得到關系式。間接關系通過一些定理、定律及經驗公式得到微分方程，進而再求得所需函數關系式。血液中酒精濃度的變化變化的快慢變化率微分方程

問題所屬類型

做題思路和關鍵點

結果表示形式建立飲酒后血液中酒精含量與時間之間的關系

計算函數的值微分方程模型1、對大李碰到的情況作出解釋；大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了1瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車。證明1）大李在中午12點喝了1瓶啤酒后在下午6點檢查時體內血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升；證明2）在吃晚飯時（晚8點）又喝了1瓶啤酒后在凌晨2點時體內血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升。需要我們建立兩個模型初次飲酒模型在第一次的基礎上再次飲酒模型2、在喝了3瓶啤酒或半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：1）酒是在很短時間內喝的；2）酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。指出喝酒的方式會影響血液中酒精的濃度提示我們建模時快速飲酒模型慢速飲酒模型3、怎樣估計血液中酒精含量在什么時候最高。求函數最大值的問題4、根據你的模型論證：如果天天喝酒，是否能開車？第一問中有再次飲酒n次飲酒模型5、根據你的模型并結合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。一個人血液中的酒精含量取決于他的飲酒量、體內原有的酒精含量以及喝酒方式。酒精在人體內是怎樣變化的呢？胃腸體液1）只考慮飲入的酒精全部進入腸胃，再由肝臟等分解的過程。2）設人體血液和體液中的酒精濃度相等。酒精進入血液后瞬間混合均勻。3）胃腸酒精進入血液的速率與腸胃中酒精含量成正比，血液中酒精被分解的速率與血液中酒精含量成正比。2、模型假設西北大學數學系3、符號說明符號意義所飲酒中含的酒精量體液的體積t時刻腸胃中酒精含量t時刻血液中酒精含量t時刻血液中酒精濃度4、模型的建立與求解1）模型一：短時間內快速飲酒此時，體液中酒精濃度為2）模型二：一定時間（T小時）內慢速飲酒設飲酒的速度恒定，記為當時當時3）模型三：每間隔一定時間（T小時）快速飲等量的酒當時當時當時5、參數的確定對模型一的體液中酒精濃度的表達式由于，當t充分大時，有6、解決實際問題問題1、對大李碰到的情況作出解釋；利用模型一：快速飲酒利用模型三：每間隔T小時快速飲等量的酒當時結論1大李第一次喝酒后6個小時檢查時沒有超標；過了2小時再喝了一瓶啤酒，仍然過了6個小時，再檢查時為飲酒駕車。問題2、在喝了3瓶啤酒或半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：1）酒是在很短時間內喝的；2）酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。利用模型一：快速飲酒在4.4小時內檢查就是醉酒駕車。快速喝3瓶啤酒，在4.4小時內檢查就成為醉酒駕車。在[4.4,11.3]小時內檢查就成為飲酒駕車。結論2即就是喝3瓶啤酒過小時后才能不違反標準，可以駕車。利用模型二：2小時內慢速飲酒設飲酒的速度恒定，記為當時由于2小時內喝了3瓶啤酒，因此在2小時內勻速喝3瓶啤酒后在[6.9,13.8]小時內檢查為飲酒駕車。結論3即就是2小時內喝3瓶啤酒后，過13.8小時后才能不違反標準，可以駕車。在6.9小時內檢查為醉酒駕車；問題3、怎樣估計血液中酒精含量在什么時候最高。1）模型一：短時間內快速飲酒2）模型二：2小時內慢速飲酒設飲酒的速度恒定，記為在2小時內勻速喝酒，酒后0.755小時酒精濃度達到最大。從最值的表達式中可以看出，酒精濃度最大的時刻與飲酒多少無關。結論4快速喝酒時，酒后約1.5小時酒精濃度達到最大；利用模型三：每間隔一定時間（T小時）快速飲等量的酒問題4、根據你的模型論證：如果天天喝酒，是否能開車？每天（24小時）快速飲m瓶啤酒，第n天酒精濃度設體重為70kg的人，天天飲酒，即n很大，此時結論5如果每天快速喝1瓶啤酒，酒后約

小時可以駕車；如果每天快速喝2瓶啤酒，酒后約

小時可以駕車；如果每天快速喝3瓶啤酒，酒后約

小時可以駕車；如果想每天快速喝酒后2小時駕車，那么每天只能喝瓶啤酒；如果想每天快速喝酒后3小時駕車，那么每天只能喝瓶啤酒；綜上所述，如果要求司機酒后2-3小時開車，那么每天只能喝瓶左右啤酒；若司機每天喝1瓶啤酒，則必須

小時后開車。如果司機每天喝

瓶以上的啤酒，將不能開車了。問題5、忠告（1）不要以為第一次喝酒沒事就認為每次喝同樣的酒間隔相同的時間仍沒事，由于前一次喝的酒未必代謝干凈，再喝同樣多的酒也可能醉。（2）有人認為喝慢酒不易醉，這是一種誤導。由模型知，快速喝酒和慢速相比，代謝更快，司機朋友不要因此而貪杯，導致車禍的發生。（3）對想喝點酒的司機朋友來說，若要酒后2-3小時開車，每天只能喝半瓶啤酒；若想喝一瓶啤酒，則必須在6小時后開車，否則為飲酒駕車，易出車禍。關于撰寫建模論文摘要問題重述模型假設（符號說明）問題分析模型的建立及求解結果的分析與檢驗模型的優缺點評價問題進一步思考（模型推廣）競賽過程中注意的問題時間安排合理分工團結奮戰，互相鼓勵時間安排上午下午晚上定題準備，思路做題（第一問）建模做題（第一問）求