2023-2024學年廣西壯族自治區百色市德保縣高二上學期期中數學質量檢測模擬試題一、單選題（每小題5分，共40分）1．是虛數單位，則（

）A． B．C． D．2．圓和的位置關系是（

）A．外離 B．相交 C．內切 D．外切3．已知橢圓方程為，則該橢圓的長軸長為（

）A．6 B．12 C．8 D．164．已知直線與直線，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．55．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且，點N為BC中點，則（

）

A． B．C． D．6．設，向量，，，且，，則（

）A． B．3 C． D．47．已知點，，若直線：與線段相交，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知空間中三點，，，則點C到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題5分，選不全，得2分，全選對得5分，共20分）9．下列說法中正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若，，則直線的傾斜角為C．若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點D．直線的截距為10．已知圓：，直線：，則（

）A．直線過定點，坐標為B．直線與圓的位置關系無法確定C．直線被圓截得的最短弦長是D．直線被圓截得的弦長最大時11．關于函數下列說法正確的是（

）A．函數的最小正周期為 B．函數的增區間為C．函數的最小值為 D．函數的一條對稱軸的方程為12．設橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于，兩點（在軸左側），則（

）A．為定值B．的周長的取值范圍是C．當時，為直角三角形D．當時，的面積為三、填空題（每小題5分，共20分）13．已知空間向量的夾角為，則．14．直線：與圓相交、兩點，則．15．已知為軸上一點，，是橢圓的兩個焦點，△為正三角形，且的中點恰好在橢圓上，則該橢圓的離心率為．16．在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，將軍從點出發，河岸線所在直線方程為，假定將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程．四、解答題（6題，共70分）17．已知直線過點且與直線：垂直．(1)求直線的方程；(2)若直線l經過，且過直線與的交點，求直線l的方程．18．已知，.(1)若，求的值；(2)若，求實數的值.19．已知圓過點，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)設點在圓上運動，點，記為線段的中點，求的軌跡方程；20．在下面的三個條件：①，②，③.任選一個補充到問題中，并給出解答.在銳角中，角的對邊分別為，且__________.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.21．橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的斜率為2的直線交橢圓于?兩點，求的面積.22．如圖，直三棱柱的所有棱長都是2，分別是的中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；1．A【分析】根據復數除法法則計算出答案.【詳解】.故選：A2．D【分析】由圓與圓的位置關系判斷，【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓可化為，圓心為，半徑為4，而兩圓心的距離為，故兩圓外切，故選：D3．D【分析】利用標準方程可求得，再根據長軸定義即可求出結果.【詳解】根據橢圓標準方程可知，解得；所以該橢圓的長軸長為.故選：D4．A【分析】解方程，再檢驗即得解.【詳解】解：若，則，所以或．當時，重合，不符合題意，所以舍去；當時，符合題意．故選：A5．B【分析】根據空間向量基本定理進行求解.【詳解】因為，點N為BC中點，所以，故.故選：B6．C【分析】通過，，可列式求出，則可求出，進而求出.【詳解】解：，，得，又，則，得，，，.故選：C.本題考查空間向量垂直，平行，模的坐標表示，是基礎題.7．B【分析】首先求出直線過定點，在求出臨界點處直線的斜率，結合圖象得到不等式組，解得即可.【詳解】因為直線：，即，令，解得，所以直線恒過定點，又，，直線的斜率為，要使直線與線段有公共點，由圖可知，解得，即的取值范圍是.

故選：B.8．A【分析】根據點到直線的向量坐標公式計算即可求解．【詳解】依題意得則點C到直線AB的距離為故選：A9．BC【分析】根據傾斜角與斜率關系，點斜式及斜截式判斷各項正誤即可.【詳解】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時，斜率為負，錯；B：由于，的橫坐標相等，即直線與y軸垂直，故傾斜角為，對；C：由題設，直線方程為，顯然在直線上，對；D：直線在y軸上的截距為，但軸上的截距不一定為，錯.故選：BC10．AD【分析】A選項，變形后得到方程組，求出定點坐標；B選項，確定直線所過定點在圓內，從而得到直線與圓的位置關系；C選項，當與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最短，由兩點間距離公式和垂徑定理得到最短弦長；D選項，當直線經過圓心時，被圓截得的弦長最大，將圓心坐標代入直線，得到的值.【詳解】A選項，變形為，令，解得，故直線過定點，坐標為，A正確；B選項，因為，故在圓內，則直線與圓相交，B錯誤；C選項，當與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最短，

此時，由垂徑定理得，最短弦長為，C錯誤；D選項，直線經過圓心時，被圓截得的弦長最大，將代入中，，解得，D正確.故選：AD11．AD【分析】通過對進行恒等變換，，即可根據三角函數的性質進行判斷【詳解】，對A，最小正周期為，A對；對B，由，得，B錯；對C，最小值為，C錯；對D，由得，當時，對稱軸為，D對.故選：AD12．AD【分析】設橢圓的左焦點為，連接，根據對稱性得到，結合定義可判定A正確；由，得到，根據周長，可判定B錯誤；聯立方程組求得，，結合向量的數量積的運算公式，得到，可判定C錯誤；由，結合面積公式，可判定D正確.【詳解】如圖所示，設橢圓的左焦點為，連接，根據橢圓的對稱性知，所以，故A正確；由橢圓，可得，則，因為，所以的取值范圍是，所以的周長為，其取值范圍是，故B錯誤；聯立方程組，解得，，又由，所以，所以為鈍角，則為鈍角三角形，故C錯誤；聯立方程組，解得，，可得，所以，又由，，可得，故D正確.故選：AD.13．13【分析】利用向量數量積運算律即可求得的值.【詳解】空間向量的夾角為，則.故1314．【分析】根據給定條件，聯立方程求出點的坐標，再利用兩點間距離公式計算作答.【詳解】由解得或，不妨令，所以.故15．【分析】連接，由題設易知且，結合橢圓的定義得到，即可求離心率.【詳解】如圖，連接．由△為正三角形，且為線段的中點，∴．又，，∴，，由橢圓的定義，得，即，∴，即橢圓的離心率．故16．【分析】求出點關于河岸線所在直線的對稱點，結合圓的性質可得原點與點連線和河岸線所在直線的交點即為“將軍飲馬”點，再求出最小值即得.【詳解】若軍營所在區域為，圓：的圓心為原點，半徑為，如圖：設為關于直線的對稱點，于是，解得，即，令原點為，連接交直線于點，交圓于點，對直線上任意點，，因此將軍飲馬點為時，最小，最小值為，由于到達營區點即回到軍營，所以“將軍飲馬”的最短總路程為點與圓上的點的最短距離.故17．(1)(2)【分析】（1）根據已知設出的方程為，代入點的坐標，求出的值，即可得出答案；（2）聯立直線與的方程，求解方程組得出交點坐標，然后即可根據兩點式方程，求出答案.【詳解】（1）由已知可設直線的方程為.又直線過點，所以有，解得，所以，直線的方程為.（2）聯立直線與的方程，可得，所以，直線與的交點.又直線l經過，代入直線的兩點式方程可得，，整理可得.18．(1)(2)【分析】(1)利用空間向量夾角公式的坐標運算直接求解；(2)根據兩向量的共線定理，利用坐標運算求解.【詳解】（1）由已知可得，，∴.（2），，∵，∴存在實數使得，∴，，，聯立解得.19．(1)(2)【分析】（1）先求的垂直平分線方程為，與的交點即圓心，圓心到點的距離即為半徑，即可得圓的標準方程.（2）由為線段的中點得到坐標與坐標的關系，代入圓方程可得軌跡方程.【詳解】（1），的中點坐標為，直線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即，聯立得，即圓的圓心為，半徑為，故圓的方程為（2）設，，因為線段的中點，所以，則，因點在圓上運動，所以，則，即的軌跡方程為.20．(1)條件選擇見解析，；(2).【分析】（1）若選①：利用正弦定理邊角轉化和兩角和的正弦公式，即可求出答案；若選②：利用三角恒等變換結合條件即得；若選③：利用正弦定理邊角轉化和余弦定理，即可求出答案；（2）利用正弦定理表示出，然后利用三角函數的性質即得.【詳解】（1）選①：由正弦定理及，得，又，，又，，又，；選②：由，得，即，，，，，即；選③：由及正弦定理，得，又由余弦定理得，所以，，；（2）由，可得，所以，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍為.21．(1)(2)【分析】（1）根據題意和橢圓的定義可知a，c，再根據，即可求出b，由此即可求出橢圓的方程；（2）求出直線的方程，將其與橢圓方程聯立，根據弦長公式求出的長度，再根據點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，再根據面積公式即可求出結果.【詳解】（1）由題意可得，，∴，，，所以橢圓的標準方程為.（2）直線l的方程為，代入橢圓方程得，設，，則，，，∴，又∵點O到直線AB的距離，∴，即△OAB的面積為.22．(1)證明見解析(2).【分析】（1）取的中點，連接，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得，證得，，即可求解；（2）利用空間向量的