（新高考）2022屆高考考前沖刺卷

數(shù)學(xué)（五）

注意事項(xiàng)：

S1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，

S并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

赭2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題

目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

s

r第I卷（選擇題）

KK-一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出

一

的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

二

1.已知集合4={川》=2"+1,“€2},B=卜|^/^^<3},則4口3=（）

二

二A.{1,3}B.{3,5,7,9}C.{3,5,7}D.{1,3,5,7,9}

二

m【答案】D

母【解析】由病1<3,得則4口8={1,3,5,7,9}，故選D.

敝

型2.平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A,B及動(dòng)點(diǎn)、P,命題甲：訓(xùn)_|/>回是定值”，命題乙：“點(diǎn)

P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線”，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

2【解析】若|以|-歸同=忸川，則點(diǎn)P的軌跡是一條射線，故甲推不出乙；

技

若點(diǎn)尸的軌跡是以A,8為焦點(diǎn)的雙曲線，則|么|一歸回=24或1PAl冏=-2a，

其中，。為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，

故|尸山-|尸卻不是定值，故乙推不出甲，故選D.

3.若圓j?+/一2x+4y-a=0與直線（2加一l）x+/〃y—3=0始終有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

A.（-5,75）B.[75,4w）C.（-5,4w）D.（75,+oo）

【答案】B

【解析】方程尤2+y2_2x+4y-a=0表示圓，需（一21+4?+4a>0,解得a>-5，

直線（2〃z-l）x+nzy—3=0可化為m（2x+y）—（x+3）=（），所以過(guò)定點(diǎn)戶（一3,6）.

要使圓爐+y2一2*+4'-4=0與直線（2/〃一l）x+:改一3=（）始終有交點(diǎn)，

只需P（—3,6）落在圓內(nèi)或圓上，需滿足（-3）2+6?-2x（—3）+4x6-a〈0，解得

a>75?

綜上所述：aG[75,+oo），故選B.

4.盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)知道地震時(shí)釋

放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為

lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.（）級(jí)地震，它

所釋放出來(lái)的能量大約是2022年1月2日在云南麗江市寧液縣發(fā)生5.5級(jí)地震所

釋放能量的倍數(shù)為（）

2121

A.107B.105C.10yD.104

【答案】A

【解析】設(shè)日本地震釋放的能量為￡,云南地震釋放的能量為當(dāng)，

則Igg=4.8+1.5x9=18.3,1g￡2=4.8+1.5x5.5=13.05,

所以互=￡1=10日，故選A.

1305

E21O

5.已知/（X）是定義域?yàn)镽上的單調(diào)增函數(shù)，旦對(duì)任意xeR，都有

/（/（x）-2x）=6,則46）的值為（）

A.12B.14C.-14D.18

【答案】B

【解析】因?yàn)?(X)是定義域?yàn)镽上的單調(diào)增函數(shù)，且對(duì)任意xwR，都有

/(/(x)-2x)=6,

所以/(x)-2x必是常數(shù)，

設(shè)/(x)-2x=Z(左為常數(shù))，得〃x)=A+2x，

所以/(Z)=Z+2Z=3左=6，解得左=2，

二/(x)=2x+2，因此/(6)=2x6+2=14，故選B.

6.下圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺(tái)

的體積是()

C7及兀D.7扃

24241212

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)上底面的半徑為「，下底面的半徑為R,高為〃，母線長(zhǎng)為/,

則2乃「=乃-1，ITIR—TI-I?解得/■=',R=1，

2

/=2-1=1，力=J/2_(R—)2=卜?=)，

設(shè)上底面面積為5，=乃=-,下底面面積為S=4.F=%,

4

則體積為L(zhǎng)(s+S'+網(wǎng)M=+&+?3=也，故選B.

3、，3(42J224

22

7.設(shè)直線3x+y+機(jī)=0（加工0）與雙曲線二一與=13>0力>0）的兩條漸近線分

a2b1

別交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)PQm）滿足|P4|=|依則雙曲線的離心率為（）

A.—B.2C.75D.3

2

【答案】C

2222

【解析】雙曲線二一匕=1（。>0口>0）的兩條漸近線方程為土-匕=0，

a2b2a2b2

22

方程乙-乙=0與直線3x+y+/n=0聯(lián)立，得百-知封-6a?如-//=。,

“b2

6a1m-2mb2

X+X=—------z-，力+%=F----7

八ABRb2-9a2ABb2-9a2

則―坐標(biāo)為磊

?.?點(diǎn)P(0,〃?)滿足1pAi=|PB\，,PM_L43，，((用=；，

-mb2ma~-?

*----------------------,72=即^=4/，

"b2-9a2b2-9a2

故選

，雙曲線離心率e=1+^1=71+4=75,C.

8.若正實(shí)數(shù)。，匕滿足a>",且lna-lnh>0,則下列不等式一定成立的是（）

A.log/?<0B.a-->b--C.<2a+bD.a1"'<ba''

（,ba

【答案】D

【解析】因?yàn)閥=Inx為單調(diào)遞增函數(shù)，故lnq>lnb，

由于Ina?如b>0,故lna>lnl>0或InZ?vlna<0,

當(dāng)1。。>111/2>0時(shí)，a>b>{^此時(shí)log</>0;

十u=(j)1>0,故

babba

=2ab+i>2a+b；

當(dāng)1口。<111〃<0時(shí)，0<b<a<l9此時(shí)log*>0,

m)=(“一帥一￡i<°，故一小

，出+1—("+8)=(“一1)(/?-1)>()，2^+1>2a+b，

故ABC均錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，步<上，兩邊取自然對(duì)數(shù)，僅一l)lna<(a—l)ln》，

因?yàn)椴还堋?gt;0>1，還是0<力<。<1，均有(a-l)僅一1)>0，

所以巫1<工也，故只需證生區(qū)<也2即可，

a-\b-1a-\b-\

]1?---1---I?nx

設(shè)〃無(wú))=旨(x>o且x/1),則/，(x)=_廣爐一,

令g(x)=l—，-Inx(%>0且x/1),則g，(x)=-^_L=,

XXXX

當(dāng)X￡(0,l)時(shí)，g〈X)>0；當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，g'(x)<。，

所以g(x)<g(l)=0，所以7(%)<0在1〉0且xwl上恒成立，

故=(工〉0月“。1)單調(diào)遞減，

因?yàn)閍>b，所以巫^<史2,結(jié)論得證，D正確，

a-\b-1

故選D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出

的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，

有選錯(cuò)的得。分.

9.2022年春節(jié)期間，冬奧會(huì)在北京舉行，為全國(guó)人民帶來(lái)一場(chǎng)體育盛宴.為了

解市民對(duì)冬奧會(huì)體育節(jié)目收視情況，隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性

占40%.根據(jù)調(diào)查結(jié)果分別繪制出男、女觀眾收看冬奧會(huì)系列節(jié)目時(shí)長(zhǎng)的頻率

分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是()

A.m=0.1

B.男性觀眾收看節(jié)目時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)為8小時(shí)

C.女性觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長(zhǎng)小于男性觀眾的平均時(shí)長(zhǎng)

D.收看節(jié)目達(dá)到9小時(shí)觀眾中的女性人數(shù)是男性人數(shù)的!

3

【答案】AB

【解析】對(duì)于A,由（0.05+0.075+0.075+機(jī)+0.200）x2=1,解得加=0.1，故A

正確；

對(duì)于B,由頻率分布直方圖可知，男觀眾收看節(jié)目時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)為8,故B正確;

對(duì)于C,男性觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長(zhǎng)為

4x0.1+6x0.15+0.4x8+0.2x10+12x0.15=8.3小時(shí)，

女性觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長(zhǎng)為4x0.1+6x0.2+8x0.4+10x0.3+12x0.1=9小時(shí),

故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由頻率直方圖可知，男性觀眾收看達(dá)到9小時(shí)人數(shù)為

200x60%x(0.2+0.15)=42人,

女性觀眾收看達(dá)到9小時(shí)人數(shù)為200x40%x（0.3+0.1）=32人，故D錯(cuò)誤,

故選AB.

10.已知函數(shù)"X）=J^cos葭一sin^cos］，貝I（）

A,函數(shù)/（力的最小正周期為4兀

B?點(diǎn)（號(hào)￥、

是函數(shù)“X）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

7

C.將函數(shù)/（X）圖象向左平移管個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

D.函數(shù)“X）在區(qū)間卜上單調(diào)遞減

【答案】BCD

【解析】〃x)=6cos21sin±cos"G.Sj^

V722222

G1.百—，，巴」G

--cosx—sinxH------cos(xH—)H------,

22262

故最小正周期為2乃，A錯(cuò)誤;

，點(diǎn)，女，把〕是一個(gè)對(duì)稱中心，B正確;

r.2萬(wàn)、,2兀兀、幣)6

/(-)=COS(--)=

TT++TTI32J

向左平移，個(gè)單位長(zhǎng)度得到〃x）=cos（x+?+章+乎“cosx+爭(zhēng)關(guān)于，

軸對(duì)稱，C正確；

x+畀（0,￡|,“X）單調(diào)遞減，D正確,

故選BCD.

11.已知數(shù)列｛4｝滿足q=l,a,,+%=2"(〃eN*),則下列結(jié)論中正確的是()

A.%=5B.｛4｝為等比數(shù)列

2023_2

C?卬+/+???+〃2()2]=22°2~-3D.%+4+???+〃2022=----------

【答案】AD

【解析1q=1,貝Ia〕+%=2,%=1，

又出+%=4%=3,同理%+%=2\々4=5,故A正確;

而尸A，故｛4｝不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤;

4+4-----〃202l=q+(〃2+/)+(“4+。5)■^-------+(〃2020+%021)

=1+22+2,+…+2皿。=1+止里1="二=空二1，故c錯(cuò)誤；

1-433

4+02+,?■+。2022=（〃|+〃??）+（。3+。4）+?,,++（。2021+。20）2）

3202110l

=2'+2+---+2=2（l-4'）=2x4'°'^-2=2^-2>故口正確，

1-433

故選AD.

12.如下圖所示，B是AC的中點(diǎn)，BE=20B^P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含

邊界）的一點(diǎn)，且OP=xQ4+）O8（x,yGR），以卜結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，x=--^y=-

2-4

B.當(dāng)x=-g時(shí)，ye

C.若x+y為定值2時(shí)，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段

D.x-y的最大值為一1

【答案】CD

【解析】依題意，BC=AB=OB-OA,BE=2OB^

A選項(xiàng)，當(dāng)p是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，

OP=OB+BP=OB+^BC+BE）=OB+^OB-OA+2OB^=-^OA+^OByA

選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D

B選項(xiàng)，若OA=—：0X+y0A（yeR），

設(shè)￡G分別是的中點(diǎn)，連接GE并延長(zhǎng)，交AO的延長(zhǎng)線于A'，

則OE//AG，且絲=也=2，所以。4=」。4，

BFOA'2

則p點(diǎn)的軌跡是FG，"=-,A'F=-OB,FG=BE=2OB,A'G=工OB，

OB222

所以yeR」］,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

C選項(xiàng)，OP=xOA+yOB（x,yeR）?~OP=^OA+^OB（x,y&R）＞

令m《=n、OP的中點(diǎn)為Q,OQ=mOA+〃O8（/%,〃￡R），

由于x+y=2,—+-^-=1＞即加+〃=1，所以Q,A,B二點(diǎn)共線.

22

設(shè)H,/分別是5E,CQ的中點(diǎn)，連接印，連接/O交3C于J，則HI//BC//DE，

8是。”的中點(diǎn)，，是3c的中點(diǎn)，則。點(diǎn)的軌跡是87，p點(diǎn)的軌跡是///,所

以C選項(xiàng)正確；

D

D選項(xiàng)，OP=xOA+yOB[x,y^^>

由于平行四邊形BCDE在OE的左上方，O,B,E三點(diǎn)共線，所以尤V（），y>l.

故當(dāng)x取得最大值0，y取得最小值1時(shí)，x-y取得最大值一1，D選項(xiàng)正確，

故選CD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知復(fù)數(shù)2=學(xué)他eR）的實(shí)部和虛部相等，則目=

【答案】3拒

【解析】依題意，z=（3*）（_i）7_3i,于是得_。=_3,解得匕=3,

i-（-i）

則z=-3-3i，所以|z|=J(—3)2+(―3-=3拒，

故答案為3&.

凡（1+2x3）"展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為64,則（i+x+與丫展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)

為.

【答案】76

【解析】因?yàn)?展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為64,

則令％=1，得2"=64,解得〃=6-

11+x+Lj表示6個(gè)因式1+X+4的乘積，在這6個(gè)因式中，有6個(gè)因式都選1,

可得常數(shù)項(xiàng)為1;

有2個(gè)因式都選x,有1個(gè)因式選二，其余的3個(gè)因式都選1,可得常數(shù)項(xiàng)為

X

或C；C：X13=60;

有4個(gè)因式都選x,有2個(gè)因式都選二，可得常數(shù)項(xiàng)為C；U=15,

故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60+15+1=76，

故答案為76?

15.在人鉆。中，三邊長(zhǎng)組成公差為1的等差數(shù)列，最大角的正弦值為直，則

2

這個(gè)三角形的外接圓的直徑為.

【答案】垣(或

33

【解析】設(shè)三角形A8C的三邊長(zhǎng)分別。，a+1，a+2，最大角為a，

由已知sina=,

2

,.—(0,兀)，.?.￡=三或g.

當(dāng)a=2E時(shí)，因?yàn)樽畲蠼菫樗模杂扇切蝺?nèi)角和可知，這樣不構(gòu)成三角形，

33

故舍去；

當(dāng)。=空時(shí)，由余弦定理可知：

3

(a+2)?—ci~+(Q+1)--2Q(Q+1)cos-^―2ci~-ci-3=0，

解得〃=2或a=_[(舍去).

2

設(shè)外接圓半徑為R,則"Z=2R，即N=2RX在，，2R=拽，

sina223

故答案為逋.

3

16.若人對(duì)任意的xw(O,+<?)恒成立，當(dāng)力=()時(shí)，。的最小值為

;當(dāng)2取最小值時(shí)，1-1=.

aab

【答案】1+1,1

e

【解析】當(dāng)人=0時(shí)，％+lnx<奴對(duì)任意的xw(0,+oo)恒成立，

即Q21+把二對(duì)任意的X￡(0,+00)恒成立，

X

令〃x)=l+處:x>0，可得/(X)=匕學(xué)，

當(dāng)x?0,e)時(shí),/'(x)>0，/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?e,+8)時(shí)，/'(x)<0，/(x)單調(diào)遞減，

所以/(%)心=〃e)=l+L所以aZl+L所以。的最小值為1+L

令y=ax+b,令y=0,可得了=-2,

a

要使得2最小，則一2最大，

aa

設(shè)直線y=ax+b^g^x)=x+\nx相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x0+In/),

要使得直線y=or+。在入軸上的截距-2最大，則/+1口%=0,

a

又由g，(x)=l+，，可得。=1H—，

XX0

則切線方程為y=(l+')(x-x()),令工=0，可得>=一%-1,B|Jh=-x0-1,

xo

所以工_1=’^+」~?=1?

abx0+1x0+1

故答案為i+L].

e

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知向量〃z=(百sin；,2),〃=(2cosjcos'),=

⑴若/(x)=2,求cos(x+至的值;

(2)在/XABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a，〃，c，且滿足

(2a-J》c)cos3=?cosC，求/(A)的取值范圍.

【答案】(1)i；(2)(2,3].

2x

【解析】(1)f(x)=mn=2V3sin—cos—+2cos—=V3sin—+cos—+1

44422

x4)

2sin+1,

26)

X71

V/(x)=2,**-sin—+—

26~2

71X7t

??cosXH---=-l-2sin2—+—

3262

(2)?：(2a-6c)cosB=6bcosC,

由正弦定理得(2sinA-V3sincjcosB=6sinBcosC,

??2sinAcosB=A/3sinCcosB+\/3sinBcosC，

**?2sinAcosB=C(sinBcosC+sinCcos8)=Gsin(B+C),

?A+JB+C=7t>**?sin(B+C)=sinA,且sinAw0，

.cG力萬(wàn)?八45萬(wàn)?71A71171

??cosB——9B=-9??0<A<-f?一<---1--<--，

26662612

?1(A7t

..—<sin—+—<1,

2126

XTCA71

又丁/(x)=機(jī)?〃=2sin—+—+1,/./(A)=2sin+1,

2626

故/(A)的取值范圍是(2,31

18.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，給出以下三個(gè)條件：①q=l,

=(力+1)。〃+1(〃￡N);②S：—(/I?一1)5〃一〃*=0(〃EN*);③4=1,

a；+2%=4S“-l（〃eN）從這三個(gè)條件中任選一個(gè)解答下面的問(wèn)題.

（1）求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

4V

（2）設(shè)d=言」，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

【答案】(1)%=2〃—l(〃eN*);(2)7=2〃("1)

V"2〃+1

【解析】⑴若選①:由』=（“+1）5（〃句）,得缶吟+春

11

令％斗，可得明c=-------

"n〃+1

1111-1

當(dāng)〃22時(shí)，cn6,1-1Cn-X-Cn-2=~—^--^…，…=1-耳

累加得q,—q=1—L

n

又q=；=1，貝！J%=2—工(〃22),貝I=

ncn—2/?-l(n>2).

又q=l也適合上式，所以a“=2”-

若選②：由S,；—(〃2—l)s“—〃2=0(“eN*)，可得⑸+“S”—叫=o.

又｛4｝是正項(xiàng)數(shù)列，所以S,,+l〉0,所以S“=1,則4=M=]2=I.

2

當(dāng)〃22時(shí)，an-Sn-S?_]=n-(zt-1)'=2/7-1-

又q=l也適合上式，所以q=2“-l(〃eN*).

若選③：由a：+2a”=4S“-1得，當(dāng)〃22時(shí)，+2a“_|=4S“_1—1，

兩式作差得4??=a：-片_1+2an-2an_｝,

整理得2(4+*)=(%+*)(4-%).

由于%>0,故a“-a“_]=2.

即｛a“｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以a,,=2〃-l（“eN）.

（2）由（1）得凡=2“-1,s=（1+2般-1）〃=〃2,

"2

貝?ài)?理=—五、=i+U--一一

44+1（2〃-1）（2〃+1）2（2〃一12〃+1

所以北=4+%+&+-----\-bn

-3x11_2個(gè)+

2I2n+lJ2n+l

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，AB±AP>AB〃CD，且PB=BC=BD，

CD=2AB-

（1）求證：平面PAD1?平面ABC￡>；

（2）若△爾是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且尸。與平面PA。所成角的正切值為正，

求二面角3一PC-。的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）0.

【解析】（1）取CD中點(diǎn)E，連接8七，

p

?.?在四棱錐p—AfiCO中，AB±AP^AB〃CD，且PB=BC=BD，CD=2AB，

：.BE1CD：.AB±AD^

又AnnAP=A，.?.AB,平面PAD，???ABu平面ABC。，

平面PAD_L平面ABCD-

（2）,/AB//CDAB，平面PA￡＞，

.?.CD_L平面PAZ＞，PC與平面PAD所成角為NCP。，

...△W是邊長(zhǎng)為2的正三角形，尸。與平面P4￡＞所成角的正切值為拉，

tanZ.CPD-=42?解得CD=2上，

PD2

AB-y/2'AD=2，

過(guò)點(diǎn)尸作PO_L平面ABC。，交A￡）于0，則PO=J?二？*=6，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8為x軸，AO為丁軸，過(guò)點(diǎn)A作平面ABCQ的垂線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(V2,0,0),C(2V2,2,0),D(0,2,0),P(0,1,V3)，

PS=(V2,-1,-V3),PC=(2V2,1,-V3),PB=(0,1,-揚(yáng)，

設(shè)平面PBC的法向量〃=(x,y,z)，

n-PB=41x_y一6z=0

n?PC-2\/2x+y—&z=0

設(shè)平面PCD的法向量m=（a,b,c），

nil[m-PC=2\/2ci+b-y/3c=0而l，日l(shuí)

則一廠,取b=5得根=（0,6/），

設(shè)二面角B—PC-。的平面角為。，則cos"」'"〃l=0,

二面角B-PC-D的余弦值為o.

20.（12分）一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤(pán)上標(biāo)有第0站、第1站、第2站....

第100站，共101站，設(shè)棋子跳到第〃站的概率為外，一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋

手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次.若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出

偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失敗）時(shí)，

游戲結(jié)束（骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分

別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2'3、4'5'6）.

（1）求玲、勺、P2,并根據(jù)棋子跳到第〃站的情況，試用￡.2和與t表示巴；

（2）求證:仍-月一｝（〃=1,2,…,99）為等比數(shù)列；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

【答案】⑴凡=1,與=”+也2（〃=2,3,...,99）且&10=次;

（2）證明見(jiàn)解析；（3）

312叫

【解析】（1）解：棋子開(kāi)始在第0站是必然事件，所以4=1,

棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為1,所以

2

棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為L(zhǎng)；②

2

前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為l，所以上=工+_1=3；

4*2244

棋子跳到第〃(2W/W99)站，包括兩種情形，①棋子先跳到第八一2站，又?jǐn)S骰子

出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為:匕_2；

②棋子先跳到第〃7站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為_(kāi)1匕一，

故e=；心+；偌2(〃=2,3,…,99),

棋子跳到1()()站只有一種情況，棋子先跳到第98站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概

率為1%，所以，

⑵證明：由⑴可得￡1=_卜7+5_2=-且

所以，數(shù)列優(yōu)-匕_1}(〃=1,2,…,99)為等比數(shù)列，且公比為-

(3)解:由(2)可知月一/^二―gj,

/1\/]\2(I

所以，%=《+([-6)+(鳥(niǎo)-<)+…+(4_取)=1+--1+^--+…+

2

所以，玩該游戲獲勝的概率為211

22

21.(12分)已知橢圓氏*+[=]3>/)>0)的右焦點(diǎn)(c,0)，且滿足c_"=G-l，

c2—b2-2-

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若E上存在M,N兩點(diǎn)關(guān)于直線/：>=依+[對(duì)稱，且滿足麗?.麗=o(。

為坐標(biāo)原點(diǎn)），求/的方程.

【答案】（1）—+y2=1;（2）y=2x+，或y=-2x+。.

422

【解析】（1）由c—b=G—1，c2-b2=2>可得c+b=3=&+i，

c-b

故解得c=>/3,b=1,a*=4，

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+y2=1.

4-

（2）由題意可知當(dāng)左=0時(shí)，直線/：丁=依+3為/：y=3,

22

此時(shí)E上不會(huì)存在M,N兩點(diǎn)關(guān)于直線/：y=a+3對(duì)稱，不合題意;

2

故設(shè)直線MN的方程為y=—_Lx+f,

k

1

y=——x+t

k

聯(lián)立,整理得（1+為2旦+4/-4=0,

kk

—廠+y2=1?

4。

需滿足/=2-產(chǎn)+i＞（），

k2

8kt4/（產(chǎn)一1）

設(shè)”（士,％）,?/（%2，%），則Xi+%2=_X|X2=___

土b1z、c8r2k2t

?y,+y,=——（x.+x,）+2z=----------+2t=------弓

M72k124+k24+k2

,1、/1、11/、2二產(chǎn)一4

+t

X%=（一尸）（-—x2+t）=-j^--xlx2--（xl+》2）+r=