數學思想方法的含義01、數學思想方法的含義數學思想是指從某些具體的數學認識過程中提升的正確觀點，在后繼認識活動中被反復運用和證實，帶有普遍意義和相對穩定的特征。也就是說，數學思想是對數學概念、方法和理論的本質認識。正因為如此，數學思想是建立數學理論和解決數學問題（包括內部問題和實際應用問題）的指導思想。任何數學知識的理解，數學概念的掌握，數學方法的應用，數學理論的建立，無一不是數學思想在應用中的體現。數學思想不同于數學思維。的過程，是人們按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動，包括應用數學工具解決各種實際（理論或應用）問題的思考過程。其中，理性活動的本質是邏輯推演。數學思想的產生必須經過數學思維，但是數學思維的結果未必產生數學思想。數學方法是處理數學問題過程中所采用的各種手段、途徑和方式。因此數學思想不同于數學方法。盡管人們常把數學思想與數學方法合為一體，稱之為，這只不過是因為二者關系密切，有時不易區別開來。事實上，方法是實現思想的手段，任何方法的實施，無不體現多種數學思想；而數學思想往往是通過數學方法的實施才得以體現。嚴格說來，思想是理論性的；方法是實踐性的，是理論用于實踐的中介，方法是思想的依據，在思想理論的指導下實施。例如，伽羅瓦將方程問題轉化為群論問題來解決，創立了群論方法，可以說是一種偉大的創造。在這過程中除了運用轉換思想，其實也運用了群論的思想。更確切說，是他用群論的觀點來看待方程的根的整體結構，因而得以把方程問題轉換為群的問題而不是轉化成別的問題。因此，如果問：是群論的方法，還是群論的思想起作用呢？應該說，是在群論的思想指導下，用群論的方法導出結果，所以兩者都起作用。一般來說，講數學方法時，若強調的是指導思想，則指數學思想；強調的是操作過程，指數學方法；當二者兼得、難于區分時就不作區分，統稱為。事實上，通常談及思想時也蘊含著相應的方法，談及方法時也同時指對該方法起指導作用的思想，比如，講到公理化思想或公理化方法時就是如此。02、數學思想方法的作用數學思想方法對于數學的學習與研究具有重大作用和深刻的意義，以下分三個方面進一步闡述之。1、數學思想方法是數學創造和發展的源泉幾千年的數學發展史告訴我們：數學思想方法存在和活躍在整個數學發展的進程之中。例如，古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出公理化方法，把大量的、零散的幾何知識系統化，最后綜合成歐氏幾何；中國古代數學家劉徽提出，以解決長期存在的圓周率計算不準確的問題，其中包含著極限思想方法的萌芽；笛卡兒采用了變量的思想方法來研究幾何曲線，引進坐標系，創立了代數方法研究幾何問題的新的數學分支—解析幾何；牛頓、萊布尼茨提出無窮小量方法，創立微積分；高斯、羅巴切夫斯基等人運用了逆向與反常規思維、想象等思想方法，創立了非歐幾何理論，并解決了兩千多年來幾十代數學家為之奮斗但未能解決的歐氏幾何第五公設問題；伽羅瓦采用群論的思想方法徹底解決了五次及五次以上方程求根的問題，并為現代抽象代數奠定了基礎；康托爾提出集合思想，不僅解決了許多實際數學問題，為微積分的理論奠定了穩固的基礎，而且對數學基礎的研究產生深刻的影響；希爾伯特重視思想方法的研究與應用，不僅成功地運用了公理化的思想方法把歐氏幾何完善化，而且為多個數學領域的發展做出重要貢獻，被稱為一代數學領袖和全才。希爾伯特在1900年巴黎國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，精辟闡述了重大數學問題的特點及其在數學發展中的作用，并列舉了23個重大數學問題，對推動20世紀數學的發展產生了巨大的影響。人們普遍認為這個演講本身就是一篇數學思想方法的重要著作。2、數學思想方法是數學應用的關鍵長期實踐證明，數學在科學技術上和社會科學各領域及生產、生活的各方面都有廣泛的應用。但是，如何發揮數學的科學功能，把它應用到上述各領域、各部門中去呢？這固然需要數學知識，更重要的是依靠數學思想方法向科學各領域的滲透和移植，使數學成為它們的一種基本工具來加以運用，并促進其發展。人們常說，某人辦事有數學頭腦，其實是說他能靈活運用數學思想方法。中科院林群院士在多次講座中說：這里所說應用雖然包括具體的數學知識（如計算公式）的應用，但更重要的是指微積分的基本思想方法的應用，包括運動的觀點、化整為零（把整體化為局部）—在局部區域各個擊破—再化零為整、局部誤差之和小于整體誤差等具體思想方法。3、數學思想方法是培養數學能力與數學人才的需要數學教育的根本目的在于培養數學能力，這種能力即運用數學認識世界、解決實際問題和進行發明創造的本領。而這種能力，不僅表現在對數學知識的一般理解和良好記憶，而且更主要地依賴于對數學思想方法的掌握和運用。前面羅列了數學史上的諸多重大創造性工作，不僅在于這些數學家對數學知識的積累、記憶和直接使用，而且更主要的是由于他們在數學思想方法上進行了創造性的變革。

十一種數學思想方法總結與詳解數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發展著的。通過數學思想的培養，數學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。1、函數方程思想函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還需要函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f(x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解決問題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題、集合問題、數列問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變量的數學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。2、數形結合思想“數無形，少直觀，形無數，難入微”，利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號（(a-1)^2+(b-1)^2）+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐標系中，把它轉化成一個點到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四點的距離，就可以求出它的最小值。3、分類討論思想當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候，就要分類討論a的取值情況。4、方程思想當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。5、整體思想從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。6、化歸思想在于將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題。三角函數，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想。常見的轉化方式有：一般特殊轉化，等價轉化，復雜簡單轉化，數形轉化，構造轉化，聯想轉化，類比轉化等。轉化思想亦可在狹義上稱為化歸思想。化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段，轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B來解決問題A的方法。7、隱含條件思想沒有明文表述出來，但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個常規或者真理。例如一個等腰三角形，一條線段垂直于底邊，那么這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。8、類比思想把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。9、建模思想為了更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性地描述一個實際現象，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。10、歸納推理思想由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納)，簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理另外，還有概率統計思想等數學思想，例如概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外，還可以用概率方法解決一些面積問題。我來舉例子~~圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上