第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、內(nèi)容小結(jié)1一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量22.連續(xù)的定義3顯然這兩個定義是等價的.討論分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性時,通常用定義1.4例1解5例2證由定義1知,63.單側(cè)連續(xù)定義(定義2)定理7例3解

f(x)在x=0處右連續(xù)但不左連續(xù),84.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間的定義(定義3)在區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,9連續(xù)函數(shù)的運算定理例如,1.基本初等函數(shù)的連續(xù)性102、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理

嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,即反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).11定理定理推論112例如,例4解13二、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★14定理

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★均在其定義域內(nèi)連續(xù).定理

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.注:定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.15注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義,即在定義域內(nèi)不連續(xù).在0點的鄰域內(nèi)沒有定義,所以函數(shù)在0點處不連續(xù),但注意2.初等函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)求極限的方法:代入法.16例5例4解解17三、函數(shù)的間斷點181.跳躍間斷點例6解192.可去間斷點例720解注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.21如例7中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點,它們的特點是:223.第二類間斷點例8解23例9解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.24狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★★25在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值|f(x)|

在R內(nèi)處處連續(xù).★判斷下列間斷點類型:26例10解27第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyx可去型oyx間斷點的分類小結(jié):281.有界性與最大值最小值定理定義:例如,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)29定理(最值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.30定理(有界性定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證312.介值定理與根的存在定理幾何解釋:32定義:幾何解釋如下:即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少存在一個實根。33例11證由根的存在定理,34例12證由根的存在定理,351.函數(shù)的連續(xù)性部分內(nèi)容小結(jié)：（1）函數(shù)在一點連續(xù)必須同時滿足的三個條件;（3）間斷點的分類與判別;（2）區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的定義;第一類間斷點:跳躍型,可去型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點五、內(nèi)容小結(jié)362.連續(xù)函數(shù)的運算部分內(nèi)容小結(jié):(1)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.(3)復合函數(shù)的連續(xù)性.(4)初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;定義區(qū)間內(nèi)求極限的又一種方法.定理3;定理4及推論1(2)反函數(shù)的連續(xù)性.373.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)部分內(nèi)容小結(jié)：四個結(jié)論：最值定理;有界性定理;介值定理;根的存在定理.注意閉區(qū)間、連續(xù)函數(shù)兩條件要求同時滿足。這兩條件不都滿足時,上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用根的存在定理;38