四軸鐵道客車輪軌滾動接觸蠕滑力和輪緣力的研究

在對車輛系統動力學的研究的推動下，車輛系統動力學的研究是在鐵路交通對車輛性能要求逐步提高的推動下發展起來的。其中，橫向穩定性研究是車輛開發的重要因素之一，直接影響到鐵路允許的最高運行速度。高速列車需要具有更高的失穩臨界速度,如果列車系統失穩將會惡化列車運行品質;會導致輪軌間強烈的相互作用;引起嚴重的輪軌磨耗或部件磨損與疲勞破壞;對線路造成嚴重危害甚至會引發脫軌的重大事故,因此車輛系統橫向穩定性的研究十分重要。近年來,諸多研究表明在輪對和鐵道車輛系統中均存在Hopf分岔,鞍結分岔和混沌擺振等復雜的非線性動力學現象。Kaas-Petersen等發現在懸掛的輪對模型,Cooperrider的簡單轉向架和復雜車輛模型中,在低速情況下存在穩態平衡點,對稱和不對稱的擺振以及高速情況下的混沌運動。實際上,在鐵道車輛系統中,蛇形是一種非常普遍的自激振的橫向擺動不穩定現象。這種現象主要是由車輛的前進速度和輪軌間的非線性接觸力引起,由于這種運動是鐵道車輛系統的一種內在特性,因此不容易被消除。然而,只要在日常運行中讓車輛的運行速度小于某一臨界速度值,這種不穩定的橫向運動就不會出現。基于這樣的背景,本文對一具有17個自由度的四軸鐵道客車系統運行于理想平直軌道上的橫向穩定性與分岔問題進行研究,運用數值方法并結合穩定性與分岔理論分析車輛系統出現的穩態擺振、蛇形擺振和混沌擺振,揭示其中的規律,為高速客車的設計及橫向穩定性研究提供部分參考。1輪軌摩擦性能的數值計算圖1為四軸客車橫向穩定性計算簡圖。這一模型主要包括車體(Mc,Icx,Icz)、兩個轉向架構架(Mt,Itx,Itz)和四位輪對(Mw,Iwz)。其中轉向架構架和輪對之間的連接為包括三個方向彈簧(Kpx,Kpy,Kpz)與阻尼(Cpx,Cpy,Cpz)的一系懸掛系統;包括三個方向彈簧(Ksx,Ksy,Ksz)與阻尼(Csx,Csy,Csz)的二系懸掛系統裝于轉向架構架與車體之間。整個模型除懸掛系統具有線性特性外,其它部分都是剛性的。車輛系統不考慮軌道不平順帶來的影響,假設輪子在足夠光滑,水平的直鋼軌上滾動。此外,假設垂向位移足夠小,動力學方程中垂向運動和橫向運動互不耦合,總而言之,我們主要研究車輛系統的橫向運動,整個車輛系統共有17個自由度,如表1所示。假設車輪和鋼軌自始至終保持接觸,鋼軌表面外形是個圓弧,而車輪則具有錐形的踏面并且內部有輪緣,整個系統的非線性主要來自每個鋼輪與鋼軌在理想接觸點處的蠕滑力和輪緣力。假設輪軌接觸斑是橢圓形的,采用Vermeulen-Johnson理論計算輪軌滾動接觸蠕滑力并充分考慮蠕滑力的飽和效應(但不考慮自旋蠕滑力),因此第i個輪對的縱向和橫向蠕滑率可表達為ξxi=aψ˙wi/V+λywi/r0ξxi=aψ˙wi/V+λywi/r0(1a)ξyi=y˙wi/V?ψwiξyi=y˙wi/V-ψwi(1b)式中V(m/s)代表車輛前進速度,a=0.7465m是軌距之半,λ=0.05是接觸角,r0=0.4575m為車輪名義滾動圓半徑,由此合成蠕滑率可表示為ξR=(ξx/?)2+(ξy/ψ)2??????????????√(2)ξR=(ξx/?)2+(ξy/ψ)2(2)式中?=0.60252,ψ=0.54219是利用Hertz接觸理論從Johnson公式中計算出的系數。由上式可得縱向和橫向蠕滑力為Fx=(ξxFR)/(ξR?),Fy=(ξyFR)/(ξRψ)(3)式中FR具有如下形式FR=μN{u?u2/3+u3/271u<3u≥3(4)FR=μΝ{u-u2/3+u3/27u<31u≥3(4)u=ξRGπaebe/(μN)(5)式中N是輪軌接觸斑的法向力,計算中取軸載荷的一半;G是輪軌合成剪切模量;ae,be是輪軌接觸橢圓的長短半軸長度,計算中取Gπaebe=6.563MN;μ代表輪軌間的粘著系數,是一不可控參數,與車輛構造、軌道結構及環境狀態等密切相關,且對車輛穩定性有較大影響,一般都是根據大量試驗資料用統計方法整理成經驗公式,作為計算的依據。我國鐵路對電力機車的計算粘著系數規定為μmax=0.24+5.4/(45+V)(6)本文中按式(6)的極限狀況進行分析。實際上,大多數情況下,輪對與鋼軌接觸斑蠕滑力既不是純滾動,也不是純滑動,而是介于純滾動和純滑動之間的某一狀態。輪緣力Ft(ywi)一般用有死區的剛性彈簧來模擬,即可表達為一分段線性函數形式Ft(ywi)=?????k0(ywi?η)0k0(ywi+η)ywi>η|ywi|≤ηywi<?η(7)Ft(ywi)={k0(ywi-η)ywi>η0|ywi|≤ηk0(ywi+η)ywi<-η(7)式中k0=14.6×107N/m是彈性系數,η=9.1mm代表輪緣間隙大小。2數值積分方法設耦合系統的廣義位移,廣義速度和廣義加速度矢量分別用X,X˙X˙和X¨X¨表示,并令X={yc,?c,ψc,yt1,yt2,?t1,?t2,ψt1,ψt2,yw1,yw2,yw3,yw4,ψw1,ψw2,ψw3,ψw4},則整個鐵道車輛系統的運動方程可以用17個互相耦合的非線性二階常微分方程組來表示[M]X¨+[C]X˙+[K]X={P}(8)[Μ]X¨+[C]X˙+[Κ]X={Ρ}(8)式中[M]、[C]、[K]和{P}分別代表耦合系統的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和載荷向量。載荷向量是除P(9+i)=-2Fyi-Ft(ywi),P(13+i)=-2aFxi,(i=1～4)非零外,其它元素都為零的17×1的列向量。給定初始條件,應用數值積分方法對常微分方程組(8)進行積分,其解集一般性的可寫成X=X(t,V,X0)(9)一般來說,系統的解與時間t和車輛運行速度V以及初始條件X0都有關系。在一定速度下,由式(9)確定的車輛系統存在定常解和周期解,對應于車輛系統的穩態擺振和蛇形擺振。具體說,當速度足夠小時,存在穩定的穩態擺振,其時間響應曲線是不斷衰減的;當速度逐漸增大到某值時,穩態擺振失去其原有的穩定性,出現穩定的蛇形擺振,其時程圖是具有一定幅值和相位的周期振蕩曲線,當然這其中可能還存在不穩定的蛇形擺振;如果速度繼續增大,系統可能通過多種途徑進入混沌運動狀態,其時程曲線則為非周期的無規則運動。另外,初始條件的選取則以前一速度穩態運動的最后值作為下一下速度計算的初始值進行數值模擬。本文借助分析微分方程穩定性和分岔問題的軟件包AUTO計算車輛系統的穩態擺振和蛇形擺振,并分別通過線性化系統Jacobi矩陣特征值是否具有正實部和floquet特征乘子是否位于單位圓外來判別兩種運動的穩定性。為此設置車輛運行速度變化范圍為50m/s～150m/s,起始速度步長0.1m/s,最大速度步長1m/s,最小速度步長0.01m/s,求解相對誤差10-7,其它參數就不再詳述。同時,為了分析車輛系統超高速情況下出現的混沌運動,通過取Poincare截面σ={(X,X˙,V)∈R34×R+,yw1=η,y˙w1>0}σ={(X,X˙,V)∈R34×R+,yw1=η,y˙w1>0},可得到其它剛體位移的分岔圖,由于從分岔圖中不能確切的區分出系統是作擬周期、概周期還是混沌運動,因此可計算相軌線、功率譜、Lyapunov指數等進行輔助說明。3關鍵速度分析本文17個自由度的四軸客車系統中各剛體的質量值,剛度系數,阻尼系數及其它參數的取值可參看文獻附錄D的長春廠高速車。在日常運行中,車輛運行速度通常不會高于系統的非線性臨界速度,然而因多種因素嚴重磨損的車輪踏面可能導致非線性臨界速度低于車輛運行速度,因此充分了解車輛運行速度高于非線性臨界速度時車輛系統的動力學行為也是十分重要的。圖2給出了車輛運行速度作為控制參數與前轉向架1位輪對相對軌道的最大橫向位移分岔圖,當速度小于VB(VB=94.11m/s,Max|yB|=9.43mm)時,定常解是漸近穩定的,該點對應的速度因此稱為非線性臨界速度;在Hopf分岔點A(VA=137.86m/s,α1,2=-4.185×10-8±2.685i,α代表系統實部最大的特征值)線性化系統Jacobi矩陣特征值有一對復共軛特征值正向穿越虛軸而使定常解失去其原有的穩定性,該點對應的速度因此稱為線性臨界速度,從A點以亞臨界方式分岔出的不穩定的周期解(AB段點線)在鞍結分岔點B恢復了穩定,此處由于1位輪對的大幅擺振出現了輪緣接觸,之后隨著速度的增加,穩定的周期解幅值繼續增加直到達到速度終值150m/s。通過取Poincare截面作分岔圖來說明車輛系統出現的非周期運動,由于以前轉向架1位輪對輪緣接觸點處取的截面,因此圖3給出了前轉向架2位輪對195m/s<V<230m/s速度區間橫向位移分岔圖。從圖中可看出,當速度小于VC(VC=205m/s)時,2位輪對橫向位移處于周期運動狀態,之后2位輪對處于非周期運動狀態,但具體是作擬周期、概周期還是混沌運動不能簡單的從此分岔圖中看出來,下面通過計算一些關鍵速度處的相軌線、功率譜及Lyapunov指數進行輔助分析。圖4給出的是幾個關鍵速度下前轉向架2位輪對相軌線及功率譜圖,其中a、b、c三幅相軌線圖的橫坐標單位均是mm,縱坐標單位則是mm/s;與a、b、c相軌線圖逐個對應的功率譜圖d、e、f的橫坐標單位是Hz,縱坐標單位則是mm2/Hz。由圖4中各分圖可看出,周期運動的相軌線(a)在平面上是可數的閉合細曲線,實際形成周期吸引子,周期運動的功率譜(d)則是分立的、離散的一些峰值,它包括基頻和其它階次頻率;擬周期運動的相軌線(b)在環面或平面上的軌跡會充滿整個環面或平面,實際也就形成了擬周期吸引子,擬周期運動的功率譜(e)也是離散的,不但包含了基頻和其它階次頻率,而且在這幾個主要頻率之間還衍生出了另外的頻率,且各頻率之間的比例為無理數;混沌運動的相軌線(c)則是有界和雜亂的,形如一扭曲折疊的寬帶,實際形成了混沌吸引子,混沌運動的功率譜(f)則是連續的,并且在頂峰周圍出現了大量的分散帶結構。通過上述相軌線和功率譜分析說明當VC<V<VD(VD=220.4m/s)時,系統處于擬周期運動狀態,當V>VD后,系統則處于混沌運動狀態。當然,說明系統處于混沌運動狀態的最有力證據是計算系統在該狀態下的Lyapunov指數,它表征了相空間中相鄰軌道的平均指數發散率或收斂率,至少有一個Lyapunov指數大于零就可以說明系統是混沌的。圖5給出了運行速度V=221.0m/s時車輛系統4個最大Lyapunov指數隨時間的收斂曲線,計算中時間步長取0.5s。從圖中可看出隨著時間的不斷增加,最大的指數趨于0.8238大于零說明車輛系統在該速度下確實已處于混沌運