圓及其垂徑定理【六大專題】專題復習一【知識導圖】【專題一：垂徑定理求值】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點E為垂足，連接OE．若AE＝1，ABA．22 B．32 C．422．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EB．若ABA．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數y=x的圖像被⊙A．4 B．3+2 C．32 D4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB為弦作⊙O，并使直角頂點C在⊙O內，點O在△ABC外，若∠OCB=∠CAB，A．32 B．62 C．725．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，AC＝4，則OD的長為（）A．1 B． C．2 D．6．（2023·山東德州·統考二模）如圖，已知銳角∠AOB，按如下步驟作圖：（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作PQ，交射線OB于點D，連接CD；（2）分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點M，N；③連接OM，MN，NDA．∠COM=∠COD B．若C．MN∥CD D7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經過A2,2，B4,0，A．點D B．點E C．點F D．點G8．（2023秋·江蘇連云港·九年級校聯考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A(13,0)，一次函數y=kx+3k+4（k為常數，且k≠0）的圖像與⊙O9．（2023·江蘇揚州·統考二模）如圖，⊙O的半徑是3，△ABC是⊙O的內接三角形，過圓心O分別作AB，BC，AC的垂線，垂足為E，F，G，連接EF．若OG=110．（2022秋·江蘇南京·九年級校聯考階段練習）如圖，A(1,0)、B(5,0)，以AB為直徑作⊙M，射線OF交⊙M于E、F兩點，C為弧AB的中點，D為EF的中點，當射線OF繞O點旋轉時，11．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，⊙O的半徑為4，AB，CD是⊙O的弦，且AB//CD，AB=4，CD=42【專題二：垂徑定理求平行弦問題】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，則PA＋PC的最小值為．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，⊙M交x軸于A-1,0，B3,0兩點，交y軸于C，D0,3兩點，點S是DB上一動點，N是5．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）【閱讀理解】三角形中線長公式：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線和第三邊一半的平方和的兩倍如左圖，在△ABC中，點D是BC中點，則有：AB【問題解決】請利用上面的結論，解決下面問題：如右圖，點C、D是以AB為直徑的⊙O上兩點，點P是OB的中點，點E是CD的中點，且∠CPD=90°，若AB=8，當△EPB面積最大時，則CD6．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學校考二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點P；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點Q，△PQF的面積6，且EF=12，求【專題三：垂徑定理求同心圓問題】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C．25 D．2．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）如圖，在5×5正方形網格中，一條圓弧經過A、B、C三點，那么AC所對的圓心角的大小是（

）A．60° B．75° C．80° D．90°3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，AB是半圓O的直徑，以弦AC為折痕折疊AC后，恰好經過點O，則∠AOC等于（

A．120° B．125° C．130° D．145°4．（2023·江蘇·九年級假期作業）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB=24，則CD的長為___________(2)如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB=EF，求證5．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D(1)求證：AC=(2)若AC=2,BC=4，大圓的半徑R【專題四：垂徑定理求其他問題】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3-2．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，點A是A．AB=OC BC．BC=2AC D3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）《九章算術》是我國古代著名數學著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數學語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=10寸，求直徑CD的長．4．（2022春·江蘇·九年級期末）【數學認識】數學是研究數量關系的一門學科，在初中幾何學習的歷程中，常常把角與角的數量關系轉化為邊與邊的數量關系，把邊與邊的數量關系轉化為角與角的數量關系．【構造模型】（1）如圖①，已知△ABC，在直線BC上用直尺與圓規作點D，使得∠ADB＝12∠ACB（不寫作法，保留作圖痕跡）【應用模型】已知△ABC是⊙O的內接三角形，⊙O的半徑為r，△ABC的周長為c．（2）如圖②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范圍．（3）如圖③，已知線段MN，AB是⊙O一條定長的弦，用直尺與圓規作點C，使得c＝MN．（不寫作法，保留作圖痕跡）5．（2021·江蘇·九年級自主招生）已知y=4x(x>0)上有點P，以P為圓心，OP長為半徑畫圖，分別交x軸，（1）三角形AOB的面積是否為定值？若為，求出；若不為，說明理由．（2）y=-2x+4與⊙P交于M，N兩點，且（3）若定點Q(a,a)到P6．（2023·江蘇鹽城·統考二模）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙(1)如圖①，若M是半圓的中點，且與C點在同側，畫出∠ACB的平分線CN(2)如圖②，若DE∥AB，畫出∠ACB7．（2022·江蘇無錫·校考一模）請用無刻度尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結果）．（1）如圖1，點E是矩形ABCD邊AD的中點過E畫矩形的一條對稱軸交BC于F；（2）如圖2，正方形ABCD中，點E是AB的中點，在BC上找一點G，使得AG⊥DE；（3）如圖3，在正六邊形ABCDEF中．點G是AF上一點，在CD上找一點H，使得EH=BG；（4）如圖4，在⊙O中，點D是劣弧AC的中點，點B是優弧AC上一點，在⊙O上找一點I，使得BI//AC．8．（2022·江蘇·九年級專題練習）閱讀理解：小明熱愛數學，在課外書上看到了一個有趣的定理“中線長定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點D為BC的中點，根據“中線長定理”，可得：AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明嘗試對它進行證明，部分過程如下：解：過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，為證明的方便，不妨設BD=CD=x，DE=y，∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…（1）請你完成小明剩余的證明過程；理解運用：（2）①在△ABC中，點D為BC的中點，AB=6，AC=4，BC=8，則AD=；②如圖3，⊙O的半徑為6，點A在圓內，且OA=22，點B和點C在⊙O上，且∠BAC=90°，點E、F分別為AO、BC的中點，則EF的長為；拓展延伸：（3）小明解決上述問題后，聯想到如下的題目：如圖4，已知⊙O的半徑為55，以A（3，4）為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B，C都在⊙O上，D為BC的中點，求AD長的最大值．請你利用上面的方法和結論，求出AD長的最大值．【專題五：垂徑定理推論】1．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，△ABC內接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列結論：①DE+FG=BC；A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④2．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對的圓心角分別是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠A．412 B．342 C．4 D3．（2022秋·江蘇·九年級期中）【概念提出】圓心到弦的距離叫作該弦的弦心距．【數學理解】如圖①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足為P，則OP的長是弦AB的弦心距．（1）若⊙O的半徑為5，OP的長為3，則AB的長為．（2）若⊙O的半徑確定，下列關于AB的長隨著OP的長的變化而變化的結論：

①AB的長隨著OP的長的增大而增大；②AB的長隨著OP的長的增大而減小；③AB的長隨著OP的長的確定而確定；④AB的長與OP的長無關．其中所有正確結論的序號是．【問題解決】如圖②，已知線段EF，MN，點Q是⊙O內一定點．（3）用直尺和圓規過點Q作弦AB，滿足AB＝EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）（4）若弦AB，CD都過點Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．設⊙O的半徑為r，OQ的長為d，MN的長為l．①求AB，CD的長（用含r，d，l的代數式表示）；②寫出作AB，CD的思路．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之間的距離為7．（1）求證：弧AD=弧BC．（2）求圖中陰影部分的面積．5．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期末）如圖所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直徑，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的點，且CF=CB，BF交CG于點E，求證：CE＝【專題六：垂徑定理實際應用】1．（2020秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）[閱讀材料]如圖1所示，對于平面內⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點M，我們把弦AB的中點M到某點或某直線的距離叫做弦AB到這點或者這條直線的“密距”例如：圖1中線段MO的長度即為弦AB到原點O的“密距”，過點M作y軸的垂線交y軸于點N線段MN的長度即為弦AB到y軸的“密距”．[類比應用]已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2，弦AB的長度為2，弦AB的中點為M．（1）當AB//y軸時，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點M的距離是____，此時弦AB到原點O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中，圓心P到弦AB的中點M的距離變化嗎?若不變化，請求出PM的長，若變化，請說明理由．②直接寫出弦AB到原點O的“密距”d的取值范圍；[拓展應用]如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2,點A（0，2），點B為⊙P上白一動點，有直線y=x3，弦AB到直線y=x3的“密距”的最大值是．（直接寫出答案）2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．(1)如圖1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE(2)如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分別交⊙O于D，C兩點，連接(3)已知⊙O的半徑為10，AB，CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP=33．（2022秋·江蘇·九年級階段練習）圖1是某種型號圓形車載支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿AB的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿AB的中點，（即當支架水平放置時直線AB平行于水平線，支撐桿CD垂直于水平線），通過滑動A、B可以調節CD的高度．當AB經過圓心O時，它的寬度達到最大值10cm，在支架水平放置的狀態下：(1)當滑動桿AB的寬度從10厘米向上升高調整到6厘米時，求此時支撐桿CD的高度．(2)如圖3，當某被支架鎖住時，鎖住高度與寬度恰好相等（AE=AB），求該4．（2021·江蘇南通·南通田家炳中學校考二模）（1）風箏起源于中國，至今已有2300多年的歷史，如圖1，在小明設計的“風箏”圖案中，已知AB=AD，∠B=∠D（2）如圖2，一條公路的轉彎處是一段圓弧，點O是弧CD的圓心，E為弧CD上一點，OE⊥CD，垂足為F．已知CD=6005．（2019秋·江蘇鎮江·九年級校聯考階段練習）【操作思考】畫⊙O和⊙O的直徑AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足為P（如圖1）．猜想所畫的圖中有哪些相等的線段、相等的劣弧？（（1）猜想：①；②；③．操作：將圖1中的ADB沿著直徑AB翻折，因為圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸，所以ADB與ACB重合，又因為∠APD=∠APC=90°，所以