【考情分析】

高考數(shù)列解答題主要題型有:等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算問題;證明一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列;根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式;求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和;證明數(shù)列型不等式等.題目難度中低等,一般設(shè)置在解答題的前兩題,有時(shí)會命制結(jié)構(gòu)不良型的開放題.【典例剖析】

題型一

等差、等比數(shù)列的綜合問題

解題心得1.對于等差、等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式及求前n項(xiàng)的和時(shí),只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式求解即可.2.有些數(shù)列可以通過變形、整理,把它轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式解決問題.對點(diǎn)訓(xùn)練1(2020湖南永州高三第三次模擬)已知Sn是公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3=6,a3是a1與a9的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解

(1)公差d不為零的等差數(shù)列{an},由a3是a1與a9的等比中項(xiàng),可得又因?yàn)镾3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列,所以an=n,n∈N*.題型二

可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的綜合問題

解題心得無論是求數(shù)列的通項(xiàng)公式還是求數(shù)列的前n項(xiàng)和,通過變形整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式解決問題.對點(diǎn)訓(xùn)練2已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3=2,S6=15.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若從數(shù)列{an}中依次取出第1項(xiàng),第2項(xiàng),第4項(xiàng),第8項(xiàng),…,第2n-1項(xiàng),按原來的順序組成一個(gè)新的數(shù)列{bn},求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.題型三

數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題【例3】

在①Sn=2bn-1,②-4bn=bn-1(n≥2),③bn=bn-1+2(n≥2)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,若問題中的k存在,求出k的值;若k不存在,說明理由.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=,a3=a1a2,數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=1,其前n項(xiàng)和為Sn,

,是否存在k∈N*,使得對任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立?

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,數(shù)列{anbn}為遞增數(shù)列,且沒有最大值,所以選擇條件①時(shí),不存在k∈N*,使得對任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立.方案三:選擇條件③.bn=bn-1+2(n≥2),可知數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,又因?yàn)閎1=1,所以bn=2n-1.所以當(dāng)n≤2時(shí),cn+1>cn,當(dāng)n≥3時(shí),cn+1<cn,即c1<c2<c3>c4>c5>…所以選擇條件③時(shí),存在k=3,使得對任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立.解題心得數(shù)列結(jié)構(gòu)不良題型的解題策略結(jié)構(gòu)不良主要表現(xiàn)在具體情境缺乏足夠的資源,材料不全或參數(shù)不完整等等.其一般解題流程可概括為:通讀整個(gè)題目,

理解題意?選擇適合自己解

題突破的條件?把條件代入題目

將結(jié)構(gòu)補(bǔ)充完整?根據(jù)數(shù)列的有關(guān)概

念性質(zhì)和公式解題對點(diǎn)訓(xùn)練3在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并解答.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d>1),前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,且a1=b1,d=q,

.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

(1)解

由已知可得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n≥2,n∈N*),即an+1-an=1(n≥2,n∈N*),且a2-a1=1,∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,∴an=n+1.(3)解

∵an=n+1,∴Cn=4n+(-1)n-1·λ·2n+1,假設(shè)存在確定的λ值,使得對任意n∈N*,有Cn+1>Cn恒成立,即Cn+1-Cn>0,對任意n∈N*恒成立,即4n+1-4n+(-1)n·λ·2n+2-(-1)n-1·λ·2n+1>0,對任意n∈N*恒成立,即(-1)n-1·λ<2n-1,對任意n∈N*恒成立.①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),即λ<2n-1,對任意n∈N*恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),2n-1有最小值為1,∴λ<1;②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),即λ>-2n-1,對任意n∈N*恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),-2n-1有最大值-2,∴λ>-2.綜上,-2<λ<1.又λ為非零整數(shù),則λ=-1.綜上所述,存在λ=-1,使得對任意n∈N*,有Cn+1>Cn恒成立.解題心得以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題,多與數(shù)列求和相聯(lián)系,一般要通過求和化簡后將結(jié)果轉(zhuǎn)化或構(gòu)造為函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性分析,若是含參數(shù)的不等式恒成立問題,則可分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為研究最大(小)值問題.題型五

與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題

解題心得數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略與不等式相關(guān)的數(shù)列問題,通常與由等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本數(shù)列進(jìn)行復(fù)合、變形后得到的新數(shù)列的和相關(guān).合理應(yīng)用公式求值變形是關(guān)鍵;若是證明題,則要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.對點(diǎn)訓(xùn)練5已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6.(