第二講等差數列及其前n

項和課標要求考情分析1.通過生活中的實例，理解等差數列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系.3.能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題.4.體會等差數列與一元一次函數的關系1.主要考查等差數列的基本運算、基本性質，等差數列的證明也是考查的熱點.2.本節內容在高考中既可以以選擇、填空的形式進行考查，也可以以解答題的形式進行考查.解答題往往與數列的計算、證明、等比數列、數列求和、不等式等問題綜合考查.難度為中低檔1.等差數列的定義

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示.2.等差數列的通項公式如果等差數列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*).3.等差中項4.等差數列的前n項和公式5.等差數列的前n項和公式與函數的關系6.等差數列的常用性質(1)若數列{an}是等差數列，則數列{an＋p}，{pan}(p是常數)都是等差數列.(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq；特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.7.等差數列的前n項和的最值在等差數列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.(4)若等差數列{an}的前n項和為Sn，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數列.(5)等差數列的單調性：若公差d>0，則數列單調遞增；若公差d<0，則數列單調遞減；若公差d＝0，則數列為常數列.題組一走出誤區1.(多選題)下列命題正確的是()

A.若一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列

B.等差數列{an}的單調性是由公差d決定的

C.等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數

D.若{an}是等差數列，公差為d，則數列{a3n}也是等差數列

答案：BD題組二走進教材2.(教材改編題)在等差數列{an}中，a1＝1，d＝3，B.100D.101an＝298，則n＝(

) A.99 C.96

答案：B答案：A題組三真題展現A.64B.100C.128D.132答案：C5.(2020年全國Ⅱ)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________.答案：25

考點一等差數列1.已知{an}是等差數列，且滿足S10＝10，S30＝18，則S20＝(

)A.14B.15C.16D.17

解析：∵{an}是等差數列，且滿足S10＝10，S30＝18，答案：C由等差數列的性質得S10，S20－S10，S30－S20成等差數列，∴10，S20－10,18－S20成等差數列，∴2(S20－10)＝10＋18－S20，解得S20＝16.故選C.答案：B

3.《算法統宗》是中國古代數學名著，由明代數學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數學知識起到了很大的作用，是東方古代數學的名著.在這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推.在這個問題中，記這位公公的第n個兒子的年齡為an，則a1＝()A.23B.32C.35D.38解析：由題意可知年齡構成的數列為等差數列，其公答案：C【題后反思】

(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1

和公差d.考點二等差數列的判定與證明方法解讀適合題型定義法若an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數?{an}是等差數列解答題中證明問題等差中項法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立?{an}是等差數列【題后反思】等差數列的判定與證明的方法方法解讀適合題型通項公式法an＝pn＋q(p，q為常數)對任意的正整數n都成立?{an}是等差數列選擇、填空題中的判定問題

前n項和公式法驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數)對任意的正整數n都成立?{an}是等差數列(續表)【變式訓練】

考點三等差數列性質的應用考向1等差數列項的性質[例2](1)已知數列{an}是等差數列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，則S14＝(

)A.84B.70C.49D.42解析：因為a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝答案：D答案：B(3)(2021年阜新期末)在等差數列{an}中，a1＋3a7＋a13＝120，則3a9－a13

的值為()A.6B.12C.24D.48

解析：在等差數列{an}中，a1＋3a7＋a13＝120，答案：D∴a1＋3(a1＋6d)＋(a1＋12d)＝120，∴a1＋6d＝24，∴3a9－a13＝3(a1＋8d)－a1－12d＝2(a1＋6d)＝2×24＝48.D正確.考向2等差數列前n項和的性質[例3](1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A.35B.42C.49D.63解析：由題意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差數列，即7，14，S15－21成等差數列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42，B正確.答案：BA.2B.－1C.1D.0.5答案：C【題后反思】利用等差數列的性質解題的兩個關注點【考法全練】1.(考向1)等差數列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是()A.20B.22C.24D.8

解析：因為a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝