安徽省天長市2023-2024學年高二上數學期末統考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數和，有，當且僅當時等號成立D.如果，那么2．已知函數，，當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.3．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或75．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.6．若拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則點P到拋物線的焦點F的距離為（）A.4 B.5C.6 D.77．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.18．變量，之間有如下對應數據：3456713111087已知變量與呈線性相關關系，且回歸方程為，則的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.39．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A B.C. D.610．函數，的值域為（）A. B.C. D.11．設，，，…，，，則（）A. B.C. D.12．設，分別為具有公共焦點與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的距離是_________.14．在空間直角坐標系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.15．某班有位同學，將他們從至編號，現用系統抽樣的方法從中選取人參加文藝演出，抽出的編號從小到大依次排列，若排在第一位的編號是，那么第四位的編號是______16．若關于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點.（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.18．（12分）某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.19．（12分）已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，且經過點.（1）求的標準方程；（2）的右頂點為，過右焦點的直線與交于不同的兩點，，求面積的最大值.20．（12分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.21．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.22．（10分）等比數列中，，（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若，求m的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據圖象關系，可得即可得答案.【詳解】設圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當且僅當時等號成立，所以對任意實數和，有，當且僅當時等號成立.故選：C2、C【解析】由題意得出，構造函數，可知函數在區間上單調遞增，可得出對任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導數求得函數在區間上的最大值，由此可求得實數的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，當時，恒成立，即，構造函數，則，所以，函數在區間上為增函數，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數在上單調遞減；又，所以.因此，實數的取值范圍是.故選：C.3、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.4、D【解析】根據直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D5、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A6、A【解析】根據拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，得到點P(3，±2)，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，∵拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點P到拋物線的準線的距離為3+1=4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.故選：A.7、B【解析】由可得拋物線標椎方程為：，由焦點和準線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，所以拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離為，故選：B【點睛】本題考了拋物線標準方程，考查了焦點和準線相關基本量，屬于基礎題.8、D【解析】將樣本中心點代入回歸方程后求解【詳解】，，將樣本中心點代入回歸方程，得故選：D9、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.10、D【解析】求出函數的導數，根據導數在函數最值上的應用，即可求出結果.【詳解】因為，所以，令，又，所以或；所以當時，；當時，；所以在單調遞增，在上單調遞減；所以；又，，所以；所以函數的值域為.故選：D.11、B【解析】根據已知條件求得的規律，從而確定正確選項.【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B12、C【解析】根據題意，設它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關于a、c、m的方程，聯解可得a2+m2=2c2，再根據離心率的定義求解【詳解】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】確定，，利用點到平面的距離為，即可求得結論.【詳解】由題意，，，設與的夾角為，則所以點到平面的距離為故答案為：14、【解析】根據向量坐標意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:15、29【解析】根據給定信息利用系統抽樣的特征直接計算作答.【詳解】因系統抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個編號相距，所以第四位的編號是.故答案為：2916、【解析】分為和考慮，當時，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當得：，滿足題意；當時，要想保證關于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據線面平行的判定定理即可得證；（2）說明平面，取的中點F，連接，以D為原點，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：記，連接，由直棱柱的性質可知四邊形是矩形，則E為的中點.因為D是的中點，所以，又平面平面，所以平面；【小問2詳解】因為底面是等邊三角形，D是的中點，所以，由直棱柱的性質可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中點F，連接，則兩兩垂直，故以D為原點，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，從而，設平面的法向量為，則，令x=2，得，同理平面的一個法向量為，則cosm由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值為.18、（1）0.006；（2）；（3）.【解析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為，由頻率與概率關系可得該部門評分不低于80的概率的估計值為；（3）受訪職工評分在[50，60)的有3人，記為，受訪職工評分在[40，50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應的概率.【詳解】（1）因為，所以（2）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為，所以該企業職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為（3）受訪職工評分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是又因為所抽取2人的評分都在[40，50)的結果有1種，即，故所求的概率為【點睛】本題考查頻率分布直方圖、概率與頻率關系、古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時，注意其表達的意義，同時要理解頻率是概率的估計值這一基礎知識；在利用古典概型解題時，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現重、漏的情況.19、（1）；（2）【解析】（1）利用已知條件，結合橢圓方程求出，即可得到橢圓方程（2）設出直線方程，聯立橢圓與直線方程，利用韋達定理，弦長公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉化求解即可【詳解】（1）解：由題意解得，，所以橢圓的標準方程為（2）點，右焦點，由題意知直線的斜率不為0，故設的方程為，，，聯立方程得消去，整理得，∴，，，，當且僅當時等號成立，此時：，所以面積的最大值為【點睛】本題考查橢圓的性質和方程的求法，考查聯立直線方程和橢圓方程消去未知數，運用韋達定理化簡整理和運算能力，屬于中檔題20、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設線段中點為，點，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進行討論，根據弦長求出l方程.【小問1詳解】設線段中點為，點，，，，，，即點C的軌跡方程為.【小問2詳解】直線l的斜率不存在時，l為x＝1，代入得，則弦長滿足題意；直線l斜率存在時，設直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.21、（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點.【解析】(1)連接，根據給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，利用空間向量計算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點，射線CA，CB，