交換代數s中的方程1,1,2

1/不同時,交換代數s中的元素1.1在交換代數s中，定義了s，os是交換代數s的單位元和零元。當s有s，a.2，b.0s（a，b，c，a.0）時，它被稱為s中的第一個二乘方程ax、bx和cis=0s（1）的根。記Δ=b2-4ac,則有①當Δ>0時,記χ=√b2-4ac2aγ-b2aΙsχ=b2?4ac√2aγ?b2aIs,方程(1)轉化為γ2=Is;(2)②當Δ<0時,記χ=√4ac-b22aγ-b2aΙsχ=4ac?b2√2aγ?b2aIs,方程(1)轉化為γ2=-Is;(3)③當Δ=0時,記χ=γ-b2aΙsχ=γ?b2aIs,方程(1)轉化為γ2=Os。(4)于是,考察方程(1)在S中的根,可轉化為考察方程(2)或(3)或(4)中的根。定義1.2在交換代數S中,滿足方程(2)、(3)、(4)的元素,依次稱為S中的自逆元、反自逆元、自共軛零因子。記S中的自逆元集、反自逆元集、自共軛零因子集依次為U、V、W于是,方程(1)在S中的根,可轉化為求S中的自逆元集U,或反自逆元集V,或自共軛零因子集W。2為0時,s評分的bb,有非零莎2avb,v2avb,v2avb,v2avb及vb.v2avb的2a+2avb的2a+3av2a及ba2av2a的2av2a及ba2av2a及ba2av2a及ba2av2a及ba2av2a2av2a及ba2av2a及ba2av2a的2av2a及v2av2a及v2av2a定理2.1在交換代數S中,若υ∈U,v∈V,ω∈W;則-υ∈U,-v∈V,-ω∈W。定理2.2交換代數S中一元二次方程aχ2+bχ+cIs=0s的根為:①當Δ>0時,χ=-bΙs+√b2-4ac?υ2a(υ∈U)χ=?bIs+b2?4ac√?υ2a(υ∈U);②當Δ<0時,χ=-bΙs+√4ac-b2?υ2a(v∈V)χ=?bIs+4ac?b2√?υ2a(v∈V);③當Δ=0時,χ=-bΙs2a+ω(ω∈W).χ=?bIs2a+ω(ω∈W).定理2.3若S中有非零冪零元,則當Δ=0時,方程(1)在S中有無窮多根.定理2.4若α1∈S是(1)在S中的根,則存在α2∈S,使得α1+α2=-baΙs?α1?α2=caΙs.α1+α2=?baIs?α1?α2=caIs.定理2.5若方程(1)在S中的解集J={χ1,χ2,……χn}為有限集,則有①J中元素個數n為偶數(重根按重數計);②n∑i=1χi=n2(-ba)Ιs②∑i=1nχi=n2(?ba)Is;③n∏i=1χi=(ca)n2Ιs.③∏i=1nχi=(ca)n2Is.3為2a+2a2a定理2.1證明從略.定理2.2之證明①當Δ=b2-4ac>0時候,若χ=-bΙs+√b2-4ac?υ2a(υ∈U)χ=?bIs+b2?4ac√?υ2a(υ∈U),則有υ=2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)因υ2∈U,所以υ2=[2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)]2=Ιs得aχ2+bχ+cIs=0s,即χ是方程(1)的一根;反之,設χ∈S是方程(1)的一個根,則γ=2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)是方程(2)的一個根,即γ2=4a2b2-4ac(χ+b2aΙs)2=Ιs于是γ=2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)=υ(υ∈U)即χ=-bΙs+√b2-4ac?υ2a(υ∈U)仿此可證明定理2.2之②、③成立。定理2.3之證明設α≠0s是S中的冪零元,冪零指數為T(T≥2),即αT=0s。令β=α[Τ+12]([Τ+12]為Τ+12整數部分),則二階冪零元β∈W,顯然β≠0s。從而,無窮集合χ={-b2aΙs+λβ|λ∈C}中的每一元素均為方程(1)在S中的根。定理2.4之證明當Δ>0時,由定理2.2,不妨設α1=-b2aΙs+√b2-4ac2a?v?(v∈V),由定理2.1知,v∈V,則-v∈V.令α2=-b2aΙs+√b2-4ac2a(-v)。于是有α1+α2=-baΙs?α1?α2=caΙs。仿此可證明Δ<0及Δ=0時結論成立。定理2.5之證明①由定理2.4之證明不難知結論成立;②令n=2k(k∈Z+),由定理2.4不失一般性,將J中元素次序重排為J={χ′1,χ′2,……,χ′k,χ′k+1,……,χ′2k}。使得χ′i+χ′k+i=-baΙs?χ′i?χ′k+i=caΙs(i=1?2????k),于是有n∑i=1χi=2k∑i=1χ′i=k∑i=1(χ′i+χ′k+i)=k(-ba)Ιs=n2(-ba)Ιs且n∏i=1χi=2k∏i=1χ′i=k∏i=1(χ′i?χ′k+i)=(ca)kΙs=(ca)n2Ιs.于是③成立。特別地,J中只有兩個元素時,定理2.5即為通常的韋達定理。4反自逆元集和二階復方向設為二階復方陣代數的子代數,求二次方程aχ2+bχ+cIs=0s(a,b,c∈R,且a≠0)在S中的根。U={(1001)?(-100-1)?(100-1)?(-1001)}反自逆元集V={(i00i)?(-i00i)?(i00-i)?(-i00-i)}自共軛零因子集,于是①當Δ>0時,二次方程(1)在S中有4個根:②當Δ<0時,二次方程(1)在S中有4個根:χ1?2=-b2a(