PAGEPAGE2高考專題—放縮法一．先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解：（1）由已知得，時(shí)，，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式．如果此數(shù)列的前項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來求和．二．先放縮再求和1．放縮后成等差數(shù)列，再求和例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求證：；(2)求證：解：（1）在條件中，令，得，，又由條件有，上述兩式相減，注意到得∴所以，，所以（2）因?yàn)椋裕裕?．放縮后成等比數(shù)列，再求和例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：；（2）等比數(shù)列{an}中，，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜．解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an≥a，于是，．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a－1≥1，且an≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放縮后為差比數(shù)列，再求和例4．已知數(shù)列滿足：，．求證：證明：因?yàn)椋耘c同號(hào)，又因?yàn)椋裕矗矗詳?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：．令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)．（1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；（2）令，證明，n=1,2,….解（1）由已知得，.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)椋?.綜上，.注：常用放縮的結(jié)論：（1）（2）．練習(xí)1已知數(shù)列{a}滿足：a=1且.求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；設(shè)mN，mn2，證明（a+）（m-n+1）分析：這是06年河北省高中數(shù)學(xué)競賽的一道解答題（1）大家都知道數(shù)列的遞推公式往往比通項(xiàng)公式還重要.這就引導(dǎo)我們要重視數(shù)列的遞推公式由已知有a=,學(xué)生對(duì)形如,A，B是常數(shù)）形式的一次線性遞推關(guān)系的數(shù)列通過構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法已不陌生，本題中的遞推關(guān)系顯然不是此類型.那么我們能否也可通過待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列呢?不妨設(shè)即與比較系數(shù)得c=1.即又,故{}是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，故這一問是數(shù)列、二項(xiàng)式定理及不等式證明的綜合問題.綜合性較強(qiáng).即證，當(dāng)m=n時(shí)顯然成立。易驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)，等號(hào)成立。設(shè)下面先研究其單調(diào)性。當(dāng)>n時(shí)，即數(shù)列{}是遞減數(shù)列.因?yàn)閚2，故只須證即證。事實(shí)上，故上不等式成立。綜上，原不等式成立。2設(shè)數(shù)列{}滿足求{}的通項(xiàng)公式；若求證：數(shù)列{}的前n項(xiàng)和分析：（1）此時(shí)我們不妨設(shè)即與已知條件式比較系數(shù)得又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。.由（1）知.當(dāng)時(shí),當(dāng)n=1時(shí)，=1也適合上式，所以，故方法一：，(這步難度較大,也較關(guān)鍵,后一式縮至常數(shù)不易想到.必須要有執(zhí)果索因的分析才可推測出.).方法二:在數(shù)列中,簡單嘗試的方法也相當(dāng)重要.很多學(xué)生做此題時(shí)想用裂項(xiàng)相消法但是發(fā)現(xiàn)此種處理達(dá)不到目的.但是當(dāng)n3時(shí),我們看:易驗(yàn)證當(dāng)n=1，2時(shí).綜上下面我們?cè)倥e一個(gè)數(shù)列中利用放縮法證明不等式的問題.3已知正項(xiàng)數(shù)列{}滿足判斷數(shù)列{}的單調(diào)性；求證：分析：（1），即故數(shù)列{}為遞增數(shù)列.(2)不妨先證再證：原解答中放縮技巧太強(qiáng)，下面給出另一種證法.當(dāng)時(shí)，.易驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí),上式也成立.綜上,故有成立.4求證：證明：此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。5已知求證：證明：6已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．（Ⅰ）寫出求數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1,a2,a3；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4，有.解；數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：.⑶由已知得：.故(m>4).用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。一.“添舍”放縮通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1.設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證。證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。例2.已知a、b、c不全為零，求證：證明：因?yàn)椋恚Ｋ远?分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，，，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+c＞a，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理，，故.綜合得。三.裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例4.已知n∈N*，求。證明：因?yàn)椋瑒t，證畢。例5.已知且，求證：對(duì)所有正整數(shù)n都成立。證明：因?yàn)椋裕郑裕C合知結(jié)論成立。四.公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例6.已知函數(shù)，證明：對(duì)于且都有。證明：由題意知又因?yàn)榍遥灾豁氉C，又因?yàn)樗浴＠?.已知，求證：當(dāng)時(shí)。證明：證畢。五.換元放縮對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。例8.已知，求證。證明：因?yàn)椋钥稍O(shè)，，所以則，即。例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有，當(dāng)且時(shí)，求證：。證明：由于，可設(shè)