§4.1

不定積分的概念與性質一、原函數與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的性質四、積分表的使用一、原函數與不定積分的概念原函數的概念如果在區間I上,

可導函數F(x)的導函數為f(x),

即對任一x

I,

都有F

(x)

f(x)或dF(x)

f(x)dx,

那么函數F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的原函數.

原函數舉例所以sinx是cos

x的原函數.

因為(sinx)

cos

x

,

提問：原函數存在定理如果函數f(x)在區間I上連續,

那么在區間I上存在可導函數F(x),

使對任一x

I

都有F

(x)

f(x).

簡單地說就是:

連續函數一定有原函數.

兩點說明：

1.如果函數f(x)在區間I上有原函數F(x),

那么f(x)就有無限多個原函數,

F(x)

C都是f(x)的原函數,

其中C是任意常數.

2.函數f(x)的任意兩個原函數之間只差一個常數,

即如果

(x)和F(x)都是f(x)的原函數,

則

(x)

F(x)

C(C為某個常數).

不定積分中各部分的名稱：

------稱為積分號,

f(x)------稱為被積函數,

f(x)dx

------稱為被積表達式,

x------稱為積分變量.

不定積分的概念在區間I上,

函數f(x)的帶有任意常數項的原函數稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的不定積分,

記作根據定義,

如果F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數,

那么F(x)

C就是f(x)的不定積分,

即在區間I上,

函數f(x)的帶有任意常數項的原函數稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的不定積分,

記作不定積分的概念

例1

因為sinx

是cos

x

的原函數,所以如果F(x)是f(x)的一個原函數,則

例2

合并上面兩式,得到

解

如果F(x)是f(x)的一個原函數,則

例3

設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,

求此曲線的方程.

解

設所求的曲線方程為y

f(x),

則曲線上任一點(x,

y)處的切線斜率為y

f

(x)

2x,

即f(x)是2x

的一個原函數.故必有某個常數C使f(x)

x2

C,

即曲線方程為y

x2

C.

因所求曲線通過點(1,2),

故2

1

C,

C

1.

于是所求曲線方程為y

x2

1.

因為函數f(x)的積分曲線也有無限多.函數f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率.積分曲線函數f(x)的原函數的圖形稱為f(x)的積分曲線.

2x的積分曲線微分與積分的關系

從不定積分的定義可知又由于F(x)是F

(x)的原函數,

所以由此可見,

如果不計任意常數,則微分運算與求不定積分的運算是互逆的.

二、基本積分表

例5

例4

例6

三、不定積分的性質這是因為,

f(x)

g(x).

性質1三、不定積分的性質性質1性質2

例7

例8

例10

三、不定積分的性質性質1性質2

例9

例11

例12

例13

tanx

x

C.

例14

例15

四積分表的使用

積分的計算要比導數的計算來得靈活、復雜.為了實用的方便,往往把常用的積分公式匯集成表,這種表叫做積分表.求積分時,可根據被積函數的類型直接地或經過簡單變形后,在表內查得所需的結果.上頁下頁鈴結束返回首頁

例16

這是含有ax

b的積分,

解

這里a=3、b=4,于是在積分表中查得公式

解

因為

例17

在積分表中查得公式

解

例18

這是含三角函數的積分.

在積分表中查得公式這里a=5、b=-4,a

2

b2,于是

例19

解

這是含三角函數的積分.

在積分表中查得公式這里n=4,于是

基本積分表(1)不定積分的性質原函數的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關系四、小結思考題符號函數在內是否存在原函數？為什么？思考題解答不存在.假設有原函數故假設錯誤所以在內不存在原函數.結論每一