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本文格式為Word版,下載可任意編輯——出租車數量估計趙朋飛修改版B題

寶雞文理學院2023年數學建模

培訓其次次模擬

B題

姓名趙朋飛王文鵬葉鵬系別數學系計科系物理系學號202390014087202396014053202391024078

出租車數量的估計問題

摘要

本文運用概率統計的思想,解決了出租車數量的估計問題。依據題目要求,我們建立了兩種估計模型,估算出了該小鎮出租車的數量,并且對模型的可靠性進行了檢驗。

對于模型一:首先,題目所給樣本數據是隨機的,通過MATLAB軟件作圖,發現區間間隔為100時,落在每個區間車牌號數量是均勻分布的,即車牌號聽從于均勻分布。而車牌號又是按順序排列的,所以樣本中的最小車牌號與最大車牌號趨近于該市機動車出租車車牌號的起始號與終止號,試假設該機動車出租車車牌號區間為?24000,31999?,進而求出該市機動車出租車的總數量為N?8000輛;然后,對于樣本中所給的出租車牌號,經過后減運算,得到每兩個相鄰的車牌號之間間隔的車牌號數量,用EXCEL軟件排序并作圖,剔除了極端差值,其余求其平均數,即每輛出租車車牌號之間間隔平均是?x?55;最終計算出該小鎮出租車的數量n?146輛。

對于模型二:由于模型一中確定該市機動車出租車車牌號區間不甚確切,我們考慮對其進行優化。首先,我們運用了兩種方法估計了該市機動車的總數量:方法一,引用盟軍估計德軍坦克數量的模型估計出該市機動車的總數為8046;方法二,運用極大似然估計函數確定該市機動車出租車的車牌號區間為[24176,31982],經端點值作差得出該市機動車出租車的總數為7806;(這兩種方法貌似得去掉一個)將兩種方法(去掉)所求的該市機動車總數均值作為該市機動車最終數量N'?7928。然后,把樣本的車牌號每隔1000進行統計,得到每1000個車牌號中的出租車車牌數量,對得到的數據用SPSS軟件進行檢驗,顯示呈正態分布并得其均值y?17,采用極大似然估計法求得正態分布總體

??y?17,即該市每1000輛機動車出租車中有17輛出租車屬于分派在N(?,?2)中參數?該小鎮。最終計算出該小鎮有出租車n?153輛。

綜合兩種模型,模型一對機動車車牌號范圍的區間估計不夠確切,而模型二在估算機動車牌號范圍的區間時,恰當運用盟軍估計德軍坦克數量模型與極大似然估計法,比較確切地求得該市機動車的數量。另外,模型二對車牌號分區間考慮使得估算更為合理。模型檢驗中偏態系數與峰度系數對統計數據的分析使得模型更為完善。(改為)最終我們對兩種模型的優缺點進行了探討。

關鍵字:極大似然估計正態分布SPSS軟件偏態系數峰度系數

一、問題重述

小張寒假回到他的家鄉某小鎮,在出門探親訪友過程中,他發現小鎮的出租車,存在諸多問題。他計劃從小鎮的出租車數量入手,解決這些問題。在接下來的幾天時間里,他隨機的記錄了133輛出租車車牌號的后5位見(附錄1)。他只知道車牌號是按順序排列的,但他不知道車牌的起始號,也不知道車牌的終止號,他希望通過上述數據估計出小鎮的出租車數量。

要求幫助小張設計一種或多種數學模型,來估計小鎮出租車的數量,并分析方法的可靠性。

二、模型假設

1、樣本統計過程中沒有考慮外來車輛。2、該市機動車的車牌號連續。3、該市機動車與車牌號一一對應。

4、該市機動車車牌號的后五位均由數字組成。

三、符號說明

符號

含義該市機動車數量原始車牌號序列樣本相鄰車牌號的差值序列

差值的平均值倆車牌號的間隔小鎮出租車數量樣本均值樣本方差方差樣本中最小的車牌號樣本中最大的車牌號樣本中車牌號的數量

2

N

X(0)(i)X(1)(i)i?1,2,…,133i?2,…,133

X

?x

n

??

a

bk

pq??XiFia3a4

該市機動車下限的最大似然估計值該市機動車上限的最大似然估計值

總體均值組中值

對應比重偏態系數峰度系數

四、問題分析

此題屬于概率統計問題。要估算出該小鎮出租車的數量,首先需要估算出該市機動

車出租車的數量。考慮到題目所給樣本數據是隨機的,通過MATLAB軟件作圖,發現區間間隔為100時,落在每個區間車牌號數量是均勻分布的,即車牌號聽從于均勻分布。我們可以采用點估計,即以實際樣本指標數值作為總體參數的估計值,估算出該市機動車的數量,進而估計出小鎮出租車數量。我們可以從以下兩種思路來求解:

思路一:由于樣本中的車牌號均勻分布,考慮到所在地為小鎮且車牌號是按順序排列的,所給車牌號碼的最小值與最大值就十分趨近于起初號和終止號,所以假設車牌號區間為[24000,31999]。經過后減運算,剔除壞數據,得出每兩輛車牌號之間相差的個數,從而得出小鎮出租車的數量。

思路二:對思路一中確定總體車牌號區間存在的不確切性,我們將其進行優化,可以用點估計[1]與極大似然函數(和摘要對應,去掉一種方法)確定總體的車牌號區間。參照點估計中最小無偏估計,采用較為確鑿的計算公式確定車牌號區間,即為該市機動車總數,當然,我們還可以利用極大似然函數確定車牌號區間。(與上對應,去掉一種方法)其次,將樣本的車牌號每隔1000進行統計,得到的統計數據求其平均值,把所得平均值與機動車總數的千分之一的乘積作為該小鎮出租車數量的估計值。

五、模型建立與求解

5.1模型一:

對于隨機分布的樣本數據,若其聽從于均勻分布,可取接近樣本最大值與最小值的數據作為總體區間的上下限,即區間?a,b?,進而可得總體的數量為N?b?a?1。

據問題分析知樣本中的車牌號均勻分布,且已設車牌號區間為?24000,31999?,故得總的車牌號數量,即該市機動車的數量N?8000。由題目已給條件知原始車牌號序列:

x(0)?{x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(133)}

即:x(0)?{24176,24231,…,31982}

3

由后減運算計算,即求出后前兩個數據之差:

x(1)(i)?x(0)(i)?x(0)(i?1),其中i?2,…,133;

可得一個新的序列:

x(1)?{x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(133)}

利用EXCEL軟件,以此新序列排序作為縱坐標并作圖1:

數據差值圖160140120230差值80604020237131925313743495561677379859197103109115121127

圖1

觀測圖1,發現中間部分有好多均勻的差值,兩端出現較大的波動,忽略兩端極端差值,即剔除40以下和90100以上的差值,其余求平均值,經EXCEL軟件計算得平均值約為X?55,即兩車牌號之間間隔?x?55。

由此估計出出租車數量為:

N?x結合以上數據,估計出該小鎮共有出租車146輛。5.2模型二:(去掉一種方法,建議去掉盟軍模型)

1.估計樣本對應總體的取值空間(該市機動車數量):

方法一:在統計學理論的估計中,用不放回抽樣來估計離散型均勻分布最大值問題是著名的德國坦克問題[1]。針對該問題,建立盟軍估計德軍坦克數量模型。

對于點估計(實際樣本指標數值作為總體參數的估計值),最小方差無偏估計由下式給出并以此確定總體取值區間:

k?1N?b?a

ka是樣本最小值,b是樣本最大值,k是樣本大小。題目中所給車牌號為隨機抽取的一組數據,其為離散均勻分布,結合題目已知,樣本中出租車車牌號的最小值a?241

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