第5章有理數章節壓軸題解題思路分析

名師點睛

模塊一:有理數

1.（2021?廣東九年級專題練習）現有以下五個結論：

①整數和分數統稱為有理數；

②絕對值等于其本身的有理數是0和1；

③每一個有理數都可以用數軸上的一個點表示；

④若兩個非0數互為相反數，則它們相除的商等于-1；

⑤幾個有理數相乘，負因數個數是奇數時，積是負數.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】②中絕對值等于其本身的有理數是0和正數，故原結論錯誤；

⑤種幾個有理數相乘，負因數個數為奇數，則乘積為負數，也有可能是0,此結論錯誤.

【詳解】①整數和分數統稱為有理數，此結論正確；

②絕對值等于其本身的有理數是0和正數，故原結論錯誤；

③每一個有理數都可以用數軸上的一個點表示，此結論正確；

④若兩個非0數互為相反數，則它們相除的商等于-1，此結論正確；

⑤幾個有理數相乘，負因數個數為奇數，則乘積為負數，也有可能是0,此結論錯誤.

正確的有①③④共3個.故選C

【點睛】本題考察有理數的性質.

2.（2021?全國七年級）設有理數a、b、c滿足a">c（ac<0）,且[c[<同<M，則

a+h\Ih-^-Ci?a+Csu1-D

六W~|+|六-y|+|x+三一的最小值是()

Aa-ca+h+2c「2a+h+c2a+b-c

D.------------

2222

【答案】C

【分析】根據ac<0可知a,c異號，再根據a>6>c,以及|耳<|耳<|a|,即可確定a,-a,

,,八3一a+b\Ib+C\?a+c上一，［a+0b+c

b,-b,c,r?在數軸上的位置，而方二一|+|k七一|+|x+'—表不到二一，——,

211211222

(1+C

一-5一三點的距離的和，根據數軸即可確定.

【詳解】

解：Vac<0,

.*.a,c異號，

?：a>b>c,

.,?〃>(),c<0,

又,

-a<-b<c<O<-c<b<a1

,a+3?〃+gIa+c..…、a+bb+ca+c—―

'又?:六一-—+M-1-—一表不到一--，—--,--—二點的距周的和，

2112112222

當X在b片+c時距離最小，

2

a+b\,\b+c\,I,a+c.?......a+b,a+c,.,.....?2a+b+c

即Hn方一5一1+|方一5一|+卜+—5—最Ft小，最小值是1廠與一一丁乙間的u距r離，即n——-——.

乙乙乙乙乙乙

故選：C.

【點睛】

本題考查了絕對值函數的最值問題，解決的關鍵是根據條件確定a,-a,b,-b,C,-c之

間的大小關系，把求式子的最值的問題轉化為距離的問題，有一定難度.

3.（2021?北京海淀區?人大附中七年級期末）已知有理數滿足：|a-必|+（2-份2=（）.如

圖，在數軸上，點。是原點，點A所對應的數是線段在直線OA上運動（點B在點C

的左側），BC=b,

下列結論

①a=4,b=2-

②當點8與點。重合時，AC=3；

③當點C與點A重合時，若點尸是線段BC延長線上的點，則PO+PA=2PB；

④在線段3c運動過程中，若M為線段。8的中點，N為線段AC的中點，則線段的長

度不變.

其中正確的是（）

A.①③B.①④C.①②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根據平方式和絕對值的非負性求出a和6的值，然后根據數軸上兩點之間距離的計算

方法和中點的表示方法去證明命題的正確性.

【詳解】解：—2^20,（2-Z?）2>0,且,一2。|+（2—人『=0,

：.a-2h=0,2-6=（）,解得6=2,〃=4,故①正確；

當點B與點。重合時，

BC=2,OA=4,

：.AC=OA-BC=4-2^2,故②錯誤；

設點P表示的數是X,

當點C與點A重合時，點B表示的數是2,

PO=x，PA=x—4,PB=x—2f

/.PO+PA=x+x—4=2x—4=2(x—2)=2PS,故③正確；

設點B表示的數是b,則點C表示的數是匕+2,

???M是0B的中點，

.?.點M表示的數是g,

：N是AC的中點，

.??點N表示的數是當，

2

則肱7=陛一^=3,故④正確.故選：D.

【點睛】本題考查數軸的性質，解題的關鍵是掌握數軸上兩點之間距離的求解，中點的表示

方法.

4.(2021?深圳市龍崗區龍崗街道新梓學校七年級月考)同學們都知道，|4-(-2)1表示

4與-2的差的絕對值，實際上也可理解為4與-2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；同

理|x-3也可理解為x與3兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離.試探索：

(1)14-(-2)的值.

(2)若|x-2|=5,求x的值是多少？

(3)同理x-4|+|x+2|=6表示數軸上有理數x所對應的點到4和-2所對應的兩點距離之和，

請你找出所有符合條件的整數x,使得|x-4|+|x+2|=6,寫出求解的過程.

【答案】(1)6;(2)x=-3或7;(3)整數是-2、-1、0、1、2、3、4

【分析】(1)根據4與-2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離是6,可得4-(-2)|=6,

(2)根據x-2|=5表示x與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離是5,可得x=-3或7.

(3)因為4與-2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離是6,所以使得|x-41+1x+2|=6成立的

整數是-2和4之間的所有整數(包括-2和4),據此求出這樣的整數有哪些即可.

【詳解】(1).；4與-2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離是6,

4-(-2)1=6.

(2)|x-21=5表示x與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離是5,

???-3或7與2兩數在數?軸上所對應的兩點之間的距離是5,

...若|x-2=5,貝ijx=-3或7.

(3).；4與-2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離是6,

???使得|x-4|+|x+2|=6成立的整數是-2和4之間的所有整數(包括-2和4),

,這樣的整數是-2、-1、0、1、2、3、4.

【點睛】(1)此題主要考查了絕對值的含義和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：

①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a：②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數-a；

③當a是零時，a的絕對值是零.

(2)解答此題的關鍵是要明確：|x-a|既可以理解為x與a的差的絕對值，也可理解為x與a兩

數在數軸上所對應的兩點之間的距離.

5.(2021?遼寧撫順市?七年級期末)如圖，在數軸上有兩個長方形ABC。和E尸C”,這

兩個長方形的寬都是2個單位長度，長方形A8C。的長AO是4個單位長度，長方形EFC”的

長E4是8個單位長度，點E在數軸上表示的數是5,且E、。兩點之間的距離為12.

~1c尸］--------------,G

_________id___

A-D0______5__________H

(1)填空:點〃在數軸上表示的數是，點A在數軸上表示的數是.

(2)若線段A。的中點為M,線段EH上有一點N,EN=-EH,M以每秒4個單位的速度

4

向右勻速運動，N以每秒3個單位的速度向左運動，設運動時間為％秒，求當x多少秒時，

OM=ON.

(3)若長方形ABCD以每秒2個單位的速度向右勻速運動，長方形EEC“固定不動，當兩個

長方形重疊部分的面積為6時，求長方形A8CO運動的時間.

【答案】(1)13,-11；(2)x=2或x=—；(3)當長方形ABCD運動的時間7.5秒或10.5秒

7

時，重疊部分的面積為6.

【分析】(1)根據已知條件可先求出點H表示的數為13,然后再進一步求解即可；

(2)根據題意先得出點M表示的數為-9,點N表示的數為7,然后分當M、N在點0兩側或當N、

M在點0同側兩種情況進一步分析討論即可；

(3)設長方形ABCD運動的時間為y秒，分重疊部分為長方形EFCD或重疊部分為長方形CDHG兩

種情況進一步分析討論即可.

【詳解】(1)???長方形EFC〃的長EH是8個單位長度，點E在數軸上表示的數是5,

.?.點H表示的數為：5+8=13,

■:E、。兩點之間的距離為距,

二點D表示的數為：5-12=-7,

長方形ABCD的氏4。是4個單位長度，

...點A表示的數為：-7-4=-11,

故答案為：13,—11；

(2)由題意可知：點M表示的數為-9,點N表示的數為7；,經過x秒后，M點表示的數為-9+4x,

N點表示的數為7-3x；

①當M、N在點0兩側時，點0為M、N的中點，

,(4x-9)+(7-3x)八

則I有Z1-------------1=0,

2

解得x=2；

②當N、M在點0同側時，即點N、M相遇，

則有7-3x=-9+4x

解得:x=y

綜上，當*=2或*=一時，0M=0N；

7

(3)設長方形ABCD運動的時間y為秒,

①當重疊部分為長方形EFCD時，

r

耳

O

DE=-7+2y-5=2y-12

，2(2y-12)=6,

解得：y=7.5；

②當重疊部分為長方形CDIIG時，

B____cF,Ac

r~i.湛iT

dD05B

HD=4-(-7+2y-13)=24-2y,

:.2(24-2y)=6,

解得:y=10.5；

綜上，當長方形ABCD運動的時間7.5秒或10.5秒時，重疊部分的面積為6.

【點睛】本題主要考查J'數軸上的動點問題，熟練掌握相關方法是解題關鍵.

6.(2021?河南南陽市?七年級期末)如圖：在數軸上點A表示數。，點8表示數b,點C

表示數。是最大的負整數，且久c滿足|a+3|+(c-5)2=O.

—r-^-------c--------?

(1)a=?b_,c-.

(2)若將數軸折疊，使得點A與點。重合，則點8與數表示的點重合；

(3)點4B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點

8和點C分別以每秒2個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，假設，秒鐘過后，若點A與

點8之間的距離表示為A8,點B與點。之間的距離表示為BC,則AB=，BC=

.(用含f的代數式表示)

(4)3BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變?若變化，請說明理由；若不變，請求其值。

【答案】(1)-3；-1；5；(2)3；(3)3f+2,f+6；(4)3BC—AB的值為定值16.

【分析】(1)根據b為最大的負整數可得出b的值，再根據絕對值以及偶次方的非負性即可得

出a、c的值;

(2)根據折疊的性質結合a、b、c的值，即可找出與點B重合的數；

(3)根據運動的方向和速度結合a、b、c的值，即可找出t秒后點A、B、C分別表示的數，利

用兩點間的距離即可求出AB、BC的值；

(4)將(3)的結論代入3BC-AB中，可得出3BC-AB為定值16,此題得解.

【詳解】

(1)是最大的負整數,且。、。滿足|。+3|+(。-5)2=0,

b——\,a+3=0,c—5=0,

??ci——3，c=5.

故答案為：-3；-1；5.

(2)ci+c~b=—3+5—(―1)=3.

故答案為：3.

(3)t秒鐘過后，點A表示的數為T-3,點8表示的數為21-1,點C表示的數為3r+5,

二A8=(2r-l)-(-1-3)=3t+2,BC=(3/+5)-(2/-l)=f+6.

故答案為：3f+2,f+6.

(4),/AB=3/+2?BC=/+6,

38C—A8=3O+6)-(3f+2)=3f+18-3-2=16.

3BC—AB的值為定值16.

【點睛】本題考查了數軸、兩點間的距離、絕對值以及偶次方的非負性，根據點運動的方向

和速度找出點A、B、C運動后代表的數是解題的關鍵.

7.（2021?全國七年級）已知，如圖A,B分別為數軸上的兩點，點A對應的數是-18,點B對

應的數為20.

（1）請直接寫出線段AB的中點M對應的數.

（2）現在有一只電子螞蟻P從B點出發，在數軸上以3個單位/秒的速度向左運動.請解答下面

問題：①試求出運動15秒時螞蟻P到點A的距離.②直接寫出運動多少秒時P到B的距離是P到A

的距離的2倍，并直接寫出P點所對應的數.

______4p.

-1820.

【答案】（1）1；（2）①7；②當運動蔡s時，P點所對應的數為-g,當運動與s時，P點

所對應的數為-56.

【分析】（1）由中點公式可求解：

（2）①由兩點距離可求解；②分兩種情況討論，列出方程可求解.

【詳解】

解：（1）?.?點A對應的數是-18,點B對應的數為20,

1QI20

線段AB的中點M對應的數為—-=1；

2

（2）①由題意可得：運動15秒時螞蟻P到點A的距離=-18-（263xl5）=7:

②設經過x秒，P至IJB的距離是P到A的距離的2倍，

節點P在AB之間時，3尸2x（38-3x）

解得：%=當，

.?.P點所對應的數為20-3、曰=弓

當點P在點A左側時，3尸2x（3尸38）

解得：x=—,

.??P點所對應的數為20-3=-56

綜上所述：當運動與s時，P點所對應的數為-與，當運動與s時，P點所對應的數為-56.

【點睛】本題考查數軸上動點問題，掌握中點公式和分類討論思想是解題的關鍵.

8.(2021?重慶北需區?七年級期末)閱讀下面材料，回答問題

距離能夠產生美.

唐代著名文學家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無.

當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道：

“世界上最遙遠的距離

不是瞬間便無處尋覓

而是尚未相遇

便注定無法相聚”

距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界

尺度.

已知點4琳數軸上分別表示有理數a、b,A,6兩點之間的距離表示為力6.

(1)當4方兩點中有一點在原點時，不妨設點力在原點，如圖1,/廬如=b\-\a\=b-a=\a-b\.

(2)當4曬點都不在原點時，

①如圖2,點46都在原點的右邊，AB=0B-0A=\b\-a\=b-ep\a-b\

②如圖3,點力,占都在原點的左邊，AB=OB-OA=\b\-\a\^-b-(-a)=所樂|卅6|；

③如圖4,點4,攤原點的兩邊，/廬力+仍=|a|+|引=a+(-6)=a~g\a~b.

綜上，數軸上兒曬點的距離力作a-b\,如數軸上表示4和-1的兩點之間的距離是5.

利用上述結論，回答以下三個問題：

(1)若表示數a和-2的兩點之間的距離是3,那么年；

(2)若數軸上表示數。的點位于-5與2之間，則|尹5|+|b2的值為；

(3)若薇示一個有理數，且|1什|廣3>4,求有理數x的取值范圍；

(4)若未知數x,"茜足(|尸1|+|戶3|)(|產1|+|廣2)=12,求代數式產淵最小值和最大

值.

【答案】(1)I或-5；(2)7；(3)41或％<-3；(4)最大值是5,最小值是0.

【分析】(1)根據題意得絕對值方程，求解即可；

(2)由題意可得濟5>0,a-2<0,去絕對值化簡可得結果

(3)分類討論當x>l、x<-3、3W啟1,再去絕對值，化簡求解即可；

(4)分別得出l|+|x-3|的最小值為2和|y-2+|戶1的最小值為3,從而得出x和而范

圍，則問題得解.

【詳解】解：(1)|a-(-2)|=3,

所以，a+2=3或a+2=-3,

解得：a=l或a=-5.

故答案為：1或-5；

(2)?.?表示數a的點位于-5與2之間，

/.a+5>0,a~2V0,

a+51+1a-21=(a+5)+[-(a-2)]=a+5~a+2=7.

故答案為：7；

(3)當x>l時，原式=『1+戶3=2戶2>4,解得：尤>1；

當x<-3時，原式=-矛+1-六3=-2方2>4,解得：x<_3；

當-3WxWl時，原式=-A+1+X+3=4,不符合題意，故舍去；

二有理數x的取值范圍是：x>l或x<-3；

(4)(尸1|+|六3|)(|尸2|+嚴1|)=6

又1+|『3|的最小值為2,|廣'2|+|T+1|的最小值為3,

.?.1W后3,TWZ2,

.??代數式x+y的最大值是5,最小值是0.

【點睛】本題考查了數軸上的點與點之間的距離及代數式的最值問題，明確數軸上的點之間

的距離及絕對值的運算法則，是解題的關鍵.

9.(2021?全國七年級)點4媯數軸上的兩點，點/對應的數為a,點方對應的數為3,4=

-8.

(I)求4,硒點之間的距離；

(2)若點C為數軸上的一個動點，其對應的數記為*,試猜想當嫌足什么條件時，點分"點

的距離與點慮U8點的距離之和最小.請寫出你的猜想，并說明理由；

(3)若P,媯數軸上的兩個動點(0點在尸點右側)，P,曬點之間的距離為處當點冷必點

的距離與點61歷點的距離之和有最小值4時，/的值為.

【答案】(1)5；(2)當-2<x<3時，點分必點的距離與點慮胴點的距離之和最小，最小

值為5,見詳解；(3)1或9

【分析】(1)先根據立方根的定義求出a,再根據兩點之間的距離公式即可求解；

(2)當點維數軸上/、曬點之間時，點集帖點的距離與點C到6點的距離之和最小，依此即

可求解；

(3)分兩種情況：點P在點4的左邊，點，在點砸右邊，進行討論即可求解.

【詳解】解：(1)；，=-8.：.a=-2,：.AB=\3-(-2)=5；

(2)點分U/的距離為|戶2，點怎U那］距離為|x-3|,

二點年口點的距離與點生歷點的距離之和為x+2|+x-3,

當距離之和|x+2|+x-3|的值最小,-2<x<3,

此時的最小值為3-(-2)=5,

.?.當-2<x<3時，點點以點的距離與點障1歷點的距離之和最小，最小值為5；

(3)設點E所表示的數為x,

'：PQ=m,。點在P點右側，

???點。所表示的數為x+而，

PA—|x+21,QB=\x+m-3

二點席口點的距離與點4?出點的距離之和為：*+。6=|廣2+|X+R-3|

當x在-2與3-勿之間時，|戶21+|廣w-3|最小，最小值為|-2-(3-加=4,

①-2-(3-加=4,解得，m—9,

②(3-加)-(-2)=4時，解得，ni=1,故答案為：1或9.

【點睛】本題考查了數軸，絕對值的性質，讀懂題目信息，理解數軸上兩點間的距離的表示

是解題的關鍵.

模塊二：有理數的運算

1.(2021?江蘇南京市?七年級期末)有理數a、b、c在數軸上對應點的位置如圖所示，若

/>舊，則下列結論中正確的是()

——I-----------------1——?----------?

abe

A.abc<0B.b+c<0C.a+c>0D.ac>ab

【答案】B

【分析】根據題意，a和b是負數，但是c的正負不確定，根據有理數加減乘除運算法則討論式

子的正負.

【詳解】解：?.?例>Id，

.?.數軸的原點應該在表示b的點和表示c的點的中點的右邊，

??.c有可能是正數也有可能是負數，a和b是負數，

必>0,但是劭c的符號不能確定，故A錯誤；

若b和c都是負數，則b+c<0,若b是負數，c是正數，且網>同，則"c<0,故B正確：

若a和c都是負數，則a+c<0,若a是正數，c是負數，且時>同，則a+c<0,故C錯誤；

若b是負數，c是正數，則故D錯誤.故選：B.

【點睛】本題考查數軸和有理數的加減乘除運算法則，解題的關鍵是通過有理數加減乘除運

算法則判斷式子的正負.

2.(2021?河北張家口市?七年級期末)計算

1+2-3-4+5+6—7—8+…+2017+2018-2019—2020值為()

A.0B.-1C.2020D.-2020

【答案】D

【分析】根據加法的結合律四個四個一組結合起來，每一組的和都等于-4,共505組,計算即可.

【詳解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+....+2017+2018-2019-2020

=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+....+(2017+2018-2019-2020)

-(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+...+(-4)

=(-4)X505

=-2020.

故選D.

【點睛】本題考查了有理數的加減混合運算，觀察出規律是解題的關鍵.

3.(2021?全國九年級專題練習)有理數a、6在數軸上的位置如圖所示，且a|<b\,下列

各式中正確的個數是()

①a+b<0；②8-a>0；(3)->--；④3a-6>0；(§)-a-b>0.

ba

---11--------->

h--0a

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點表示的數.原點左邊的數為負數，原點右

邊的數為正數.從圖中可以看出b<O<a,|b|>a|,再根據有理數的運算法則判斷即可.

【詳解】根據數軸上a,b兩點的位置可知，b<O<a,|b>|a|,

①根據有理數的加法法則，可知a+bVO,故正確；

②：bVa,.Ib-aVO,故錯誤；|a|<|Z>|>

1111.1,1,1,1

.??面‘畫’"他一二°'胃=而匕上而

根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小

—>—>故正確：

ba

④3a-b=Qa+(-6)

V3a>O,-b>O

：.3a-b>0,故正確；

?V-a>b

.：-a-b>0.

以①③④⑤正確，選C.

【點睛】本題考查根據點在數軸的位置判斷式子的正負，本部分的題主要根據，數軸上左邊

的點表示的數總比右邊的點表示的數要小，及有理數的運算規律來判斷式子的大小.

4.(2021?安徽阜陽市?七年級期末)某商場對顧客實行優惠，規定：

(1)如一次購物不超過200元，則不予折扣;

（2）如一次購物超過200元但不超過500元的，按標價給予九折優惠；

（3）如一次購物超過500元的，其中500元按第（2）條給予優惠，超過500元的部分則給予八折優

惠.

某人兩次去購物，分別付款168元與423元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應付款是（）

A.522.8元B.510.4元C.560.4元D.472.8元

【答案】C

【解析】分析：某人兩次去購物分別付款168元與423元，而423兀是優惠后的付款價格，實際

標價為423?0.9=470元，如果他只去一次購買同樣的商品即價值168+470=638元的商品，按規

定（3）進行優惠即可.

詳解：某人兩次去購物，分別付款168元與423元，由于商場的優惠規定，168元的商品未優惠，

而423元的商品是按九折優惠后的，則實際商品價格為423+0.9=470元，如果他只去一次購買

同樣的商品即價值168+470=638元的商品時，應付款為：

500X0.9+（638-500）X0.8=450+110.4=560.4（元）.故選C.

點睛：本題考查了有理數的混合運算，解題的關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條

件，找出合適的等量關系列出方程，再求解.本題容易把423元商品忽略當成標價處理而誤選

A.

5.（2021?全國九年級專題練習）如圖，在一個由6個圓圈組成的三角形里，把1到6這6個數分

別填入圖的圓圈中，要求三角形的每條邊上的三個數的和S都相等，那么S的最大值是（）

【答案】C

【詳解】由圖可知S=3+4+5=12.

故選C.

點睛：本題考查了有理數加法運算的應用，三個項分別是4,5,6,4與5之間是3,6和5之間

是1,4和6之間是2,這樣每邊的和才能相等.

6.(2021?全國九年級)計算：

(1),

(2)-23-(1-0.5)X1X[2-(-3)2],

(3)-42-16-(-2)xl-(-l)2019,

⑷(_2)3+(_|_|+]1)X(_24)

【答案】(1)1；(2)——；(3)—11；(4)26

【分析】(1)按照有理數加減混合運算法則計算即可；

(2)先算括號內的，然后在進行加減混合運算即可；

(3)先算除法和乘方，然后按照有理數加減法運算法則計算即可；

(4)先利用乘法分配律，然后根據有理數加減法運算法則計算即可.

【詳解】(1)原式=一3-4-11+19=1

(2)原式=-8x；x(—7)

=-8+-

2

---1-5

2

xg-(T)

(3)原式16-16xI

=-16+4+1

=-11

2511

（4）原式=-8+—x24+/x24——x24

3612

=-8+16+20-2

=26

【點睛】本題考查了含乘方的有理數加減乘除混合運算，乘法運算律，熟練掌握運算法則是

本題的關鍵.

7.（2021?渝中區?重慶巴蜀中學）對于一個四位正整數，若滿足百位數字與十位數字之和

是個位數字與千位數字之和的兩倍，則稱該四位正整數為“希望數”，例如：四位正整數3975,

百位數字與十位數字之和是16,個位數字與千位數字之和8,而16是8的兩倍，則稱四位正整

數3975為“希望數”，類似的，四位正整數2934也是“希望數”.

根據題中所給材料，解答以下問題：

（1）請寫出最小的“希望數”是________；最大的“希望數”是_______:

（2）對一個各個數位數字均不超過6的“希望數例設瘋，若個位數字是千位數字的2

倍，且十位數字和百位數字均是2的倍數，定義：F（m）=\（a+b）-（c+d）］,求尸（山）的最大

值.

【答案】（1）1020,9990；（2）7.

【分析】（1）根據題意可知，最小的“希望數”要使千位和百位最小，最大的“希望數”要

使千位和百位最大，據此寫出答案；

（2）根據題意直接列出滿足條件的“希望數0,再根據定義/（而）=|+。）-（C+d）|求出F（⑼

即可得出最大值.

【詳解】解：（1）千位數最小為1,最大為9,百位數最小為0,最大為9；根據對于一個四位

正整數，若滿足百位數字與十位數字之和是個位數字與千位數字之和的兩倍，則稱該四位正

整數為“希望數”，

可得:出最小的“希望數”是1020；最大的“希望數”是9990；

（2）一個各個數位數字均不超過6的“希望數勿，若個位數字是千位數字的2倍，且十位數字

和百位數字均是2的倍數，“希望數/可能是1062；1602；1242；1422；2664.

當加=abed=1602時，尸(機)=|(1+6)—(0+2)|=5；

當m-abed=1062時，尸(㈤=|。+0)-(6+2)|=7：

當加=abed=1242時，F(???)=|(1+2)—(4+2)|=3；

-I加=點4=1422時，F{m)=|(1+4)—(2+2)|=1；

當m=abed=2664時，尸(⑼=|(2+6)-(6+4)|=2；

故尸(")的最大值為7.

【點睛】本題主要考查閱讀材料類題目，屬于創新題，同時又包含了大量計算，做此類型題

目時.，應注意從材料中獲取解題方法、掌握定義的本質，同時本題考查了數的大小與數位的

關系.

8.(2021?全國九年級)“分類討論”是一種重要數學思想方法，下面是運用分類討論的數

學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的三個問題.例：三個有理數a,b,

c滿足abc〉()，求^--+~的值.

abc

解：由題意得：a,b,c三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數.

①當a,b,c都是正數，即a>0,b〉0,c>0時，

.|a||b||c|abc,,,?

則n：------1-------1------=—I------1—=1+1+1=3；

abcahc

②當ab,c有一個為正數，另兩個為負數時，設〃>0,8<0,c<0,

…1^1Ic\a-b-ci-、/_,、1

貝U：----1-------1------=—I-------1------=1+(-1)+(-1)=-1；

abcabc

綜上所述：■~-++-的值為3或T.

abc

請根據上面的解題思路解答下面的問題：

(1)已知1。1=3,0|=1,且。＜/?,求。+力的值;

ah

(2)已知a,b是有理數，當。匕*0時，，求;~~;+.的值；

1。1向

b+ca+ca+b

(3)已知a,b,c是有理數，a+b+c=Q,abc<0.求~~的值.

l?l\c\

【答案】(1)一2或-4；(2)±2或0；(3)-1.

【分析】(1)先根據絕對值運算求出a、b的值，再根據a<b可得兩組a、b的值，然后代入

求值即可得；

(2)分①”>0,b>0、②。<0,/?<()、③a>0,b<0、④。<0,匕>0四種情況，再分

別化簡絕對值，然后計算有理數的除法與加減法即可得；

(3)先根據已知等式可得匕+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,且a,b,c有兩個正數一個負

數，再化簡絕對值，然后計算有理數的除法與加減法即可得.

【詳解】(1)因為同=3,同=1,所以。=±3/=土1,因為4<匕，

a=—3f。=—3

所以，?或匕」

b=\心=一1

則Q+/?=(—3)+1=—2或Q+Z?=(—3)+(—1)=—4,

即a+b的值為一2或一4；

(2)由題意，可分以下四種情況：

ahab、、入

①若a>0,b>0,則,+丙=工+石=1+1=2；

ahab一、，.

②若a<0,b<0則1+5=—+==(-1)+(_1)=_2；

9\a\\b\-a-b

abab,/入

③若a>0,bvO,則同+回=工+工=+(-1)=0；

ab八1c

④若a<0,Z?>(),則［+方=—+工=(_1)+1=0；

\a\\b\-ab

ab

綜上，+百■的值為±2或0；

（3）因為a,b,c是有理數，a+b+c=Ofahc<0,

所以。+c=—a,a+c=-bfa+b=-c,且a,b,c有兩個正數一個負數,

設。>0,b>0,c<0,

b+ca+ca-{-b-a-b-c/八/1

則甘+可+H="+不+工=（）+（）.

【點睛】本題考查了絕對值運算、有理數除法與加減法的應用，熟練掌握分類討論思想是解

題關鍵.

9.（2021?全國九年級）海峰上星期六（周日股市不交易）買進某公司股票1000股，每股30

元，下表為本周內每日股票的漲跌情況：

六

星期一二一四五

單股漲跌

+4+4.5-1-2.5-6+2

（元）

（1）星期三收盤時，每股是多少元？

（2）本周內最高價是每股多少元？最低價是多少元？

（3）已知海峰買進股標時付了0.15%的手續費，賣出時需付成交額的0.15%的手續費和0.1%

的交易稅，如果海峰在星期六收盤前將全部股票賣出，他的收益為多少元？

【答案】（1）37.5元；（2）最高價格：38.5元，最低價格29元；（3）877.5元.

【分析】（1）根據題意及表格列式計算得到答案；

（2）分別求出每天的價格即可得到答案；

（3）分別求出賣出的價格與買入的價格，兩者相減即可得到答案.

【詳解】（1）30+4+4.5-1=37.5（元）

答：星期三收盤時，每股是37.5元;

（2）周一價格:30+4=34（元）

周二價格：34+4.5=38.5（元）

周三價格：38.5-1=37.5（元）

周四價格:37.5-2.5=35（元）

周五價格：35-6=29（元）

周六價格：29+2=31（元）

答：最高價格：38.5元，最低價格29元；

（3）因為：賣出價格為：31xl000x（l-0.15%-0.1%）=30922.5（元）

買入價格為：30xl000x（l+0.15%）=30045（元）

收益=30922.5—30045=877.5（元）

答：收益877.5元.

【點睛】此題考查正數和負數的實際意義，有理數的加減法的實際應用，有理數的混合運算,

正確理解題意是解題的關鍵.

10.（2021?全國九年級）已知A、B兩地相距50米，小烏龜從A地出發前往B地，第一次它前

進1米，第二次它后退2米，第三次再前進3米，第四次又向后退4米……，按此規律行進，如

果數軸的單位長度為1米，A地在數軸上表示的數為-16.

（1）求出B地在數軸上表示的數；

（2）若B地在原點的右側，經過第七次行進后小烏龜到達點P,第八次行進后到達點Q,點P、

點Q到A地的距離相等嗎？說明理由？

（3）若B地在原點右側，那么經過n次行進后，小烏龜到達的點與B地之間的距離為多少（用n

表示）？

.4

------------------------i------------------------>

-160

【答案】（1）34或-66；（2）點尸、點。到A地的距離相等，理由見解析；（3）當〃為奇

數時，小烏龜到達的點與B地之間的距離為軍尸；當〃為偶數時，小烏龜到達的點與B地之間

的距離為竺產.

【分析】(1)分B地在A地的左側和B地在A地的右側兩種情況，再分別根據數軸的定義即可得;

(2)先求出點P、Q表示的數，再根據數軸的定義即可得；

(3)先分別求出n為奇數時，小烏龜到達的點表示的數和n為偶數時，小烏龜到達的點表示的

數，再根據數軸的定義即可得.

【詳解】(1)由題意，分以下兩種情況：

①當B地在A地的左側時，

則B地在數軸上表示的數為-16-5()=-66,

②當IB地在A地的右側時，

則B地在數軸上表示的數為-16+50=34,

答：B地在數軸上表示的數是34或-66；

(2)由題意，點P表示的數為一16+1—2+3—4+5—6+7=—12,

點Q表示的數為一16+1-2+3-4+5-6+7-8=-20,

則點P到A地的距離為—12—(—16)=4(米)，

點。到A地的距離為一16-(—20)=4(米)，

故點尸、點。到A地的距離相等；

(3)由(1)知，當B地在原點右側，B地在數軸上表示的數為34,

由題意，分以下兩種情況：

①當〃為奇數時，

小烏龜到達的點表示的數為-16+1-2+3-4+…+—+〃=

則小烏龜到達的點與B地之間的距離為34-?寧7—3=1二99產—n；

②當〃為偶數時，

—32—n

小烏龜到達的點表示的數為-16+1-2+3-4+…+5-1）-〃=一^―,

則小烏龜到達的點與B地之間的距離為34-若？=嗎遭.

22

【點睛】本題考查了數軸、有理數加減法的應用，較難的是題（3）,正確分兩種情況討論是

解題關鍵.

11.（2021?全國九年級）已知在紙面上有一數軸（如圖），折疊紙面.例如：若數軸上數2

表示的點與數-2表示的點重合，則數軸上數-4,表示的點與數4表示的點重合，根據你對例

題的理解，解答下列問題：

111I1II1II1I1.

-6-5-4-3-2-1O123456

若數軸上數-3表示的點與數1表示的點重合.（請依據此情境解決下列問題）

（1）則數軸上數4表示的點與數表示的點重合.

（2）若點力到原點的距離是6個單位長度，并且4曬點經折疊后重合，則點6點表示的數是

（3）若數軸上八兩點之間的距離為2020,并且M,A兩點經折疊后重合，如果北點表示的數

比用點表示的數大，則助點表示的數是,則可點表示的數是.

【答案】（1）-6；（2）4或-8；（3）1009,-1011

【分析】（1）數軸上數-3表示的點與數1表示的點關于點-1對稱，4-（-1）=5,而-1

-5=-6,可得數軸上數4表示的點與數-6表示的點重合；

（2）點A到原點的距離是6個單位長度，則點A表示的數為6或-6,分兩種情況討論，即可得

到B點表示的數是5或7；

（3）依據M、N兩點之間的距離為2020,并且M、N兩點經折疊后重合，M點表示的數比N點表示

的數大，即可得到M點表示的數是1007,N點表示的數是-1013.

【詳解】解：（1）???數軸上數-3表示的點與數1表示的點關于點-1對稱,

4-(-1)=5,而-l-5=-6,

.??數軸上數4表示的點與數-6表示的點重合；

故答案為：-6；

(2)點A到原點的距離是6個單位長度，則點A表示的數為6或-6,

?:A、B兩點經折疊后重合，

當點A表示-6時，-1-(-6)=5,-1+5=4,

當點A表示6時，6-(-1)=7,-1-7=-8,

點表示的數是4或-8；

故答案為：4或-8；

(3)M、N兩點之間的距離為2020,并且M、N兩點經折疊后重合，

/.-1+—X2020=1009,-1-—X2020=-1011,

22

又：M點表示的數比N點表示的數大，

點表示的數是1009,N點表示的數是-1011,

故答案為：1009,-1011.

【點睛】

本題主要考查的是數軸的認識，掌握數軸的定義和點的對稱性是解題的關鍵.

12.(2021?全國九年級)某自行車廠計劃一周生產自行車1400輛，平均每天生產200輛，但

由于種種原因，實

際每天生產量與計劃量相比有出入，下表是某周的生產情況(超產記為正、減產記為負)：

星期―■二三四五六11

增減+6+12+16

24108

(1)根據記錄的數據可知該廠星期四生產自行車輛：

(2)產量最多的一天比產量最少的一天多生產自行車輛：

(3)根據記錄的數據可知該廠本周實際生產自行車輛；

(4)該廠實行每周計件工資制，每生產一輛車可得60元，若超額完成任務，則超過部分每輛

另獎20元；少生產一輛扣25元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？

【答案】(1)212；(2)26輛；(3)1410輛；(4)84800元

【分析】(1)該廠星期四生產自行車200+12=212輛；

(2)產量最多的一天比產量最少的一天多生產自行車16-(-10)=26輛；

(3)該廠本周實際生產自行車(6-2-4+12-10+16-8)+200x7=1410輛；

(4)這一周的工資總額是200x7x60+(6-2—4+12-10+16-8)x(60+20)=84800輛.

【詳解】

解：(1)超產記為正、減產記為負，所以星期四生產自行車200+12=212輛，

故該廠星期四生產自行車212輛，

故答案為:212；

(2)根據圖示產量最多的一天是216輛，

產量最少的一天是190輛，

216-190=26輛，

故產量最多的一天比產量最少的一天多生產自行車26輛，

故答案為:26；

(3)根據題意6-2-4+12-10+16-8=10,

200x7+10=1410輛，

故該廠本周實際生產自行車1410輛，

故答案為：1410；

(4)根據圖示本周工人工資總額=7x200x60+10x(60+20)=84800兀.

故該廠工人這一周的工資總額是84800元.

【點睛】此題主要考查正負數在實際生活中的應用，所以學生在學這一部分時一定要聯系實

際，不能死學.

13.(2021?全國九年級)如圖，從左邊第一個格子開始向右數，在每個小格子中都填入一

個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等.

9a-6b2c???

(1)可求得。=,第2019個格子中的數為；

(2)若前加個格子中所填整數之和2015,則加的值為多少？若p=2034，”的值為多

少？

(3)若a<x<