第第1頁1999數學一試題一、填空題(此題共5個小題，每題3分，總分值15分。把正確答案填寫在題中橫線上。)(1) lim1 1 x0x2 xtanxd x(2)

dx0

sin(xt)2dt(3) y“4ye2x

y設n階矩陣A的元素全為1，則A的n個特征值是設兩兩相互獨立的三大事A,B和C滿足條件：ABC,P(A)P(B)P(C)

1,P(ABC)9,PA

2 16二、選擇題(此題共5小題，每題3分，總分值15分。每題給出得四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在提后的括號內。)設f(x)是連續函數，F(x)是f(x)的原函數，則( )f(x)F(x必是偶函數。f(x)F(x必是奇函數。f(x)F(x必是周期函數。f(x)F(x必是單調增函數。1cosx,x0x(2)f(x)xxg(x),x0

其中g(x)是有界函數，則f(x)在x0處( )(A)極限不存在 (B)極限存在，但不連續連續，但不行導 (D)可導x, 0x1(3)

設f(x) 2,S(x)a

cosnxx其中0 1 2 n022

2

n1a 21

f(x)cosnxdx,(n0,1,2,),則S5等于( ) n1(A)

0 2(B)12 23(C)

34 4設A是mn矩陣，B是nm矩陣，則當mn時，必有行列式AB0 (B)當mn時，必有行列式AB0(C)當nm時，必有行列式AB0 (D)當nm時，必有行列式AB0設兩個相互獨立的隨機變量X和Y分別聽從正態分布N(0,1)和N(1,1)，則(A) Y01. (B) 2 2(C) (D) 2 2三、(此題總分值5分)yy(x)，zz(xzxf(xyF(xyz=0fFdz分別具有一階連續導數和一階連續偏導數，求 。dx四、(5分)

I2ax2ax-x2

exsinyb(xy)

excosyax

dy其中a,b為正常數，L為從點A

2a,0沿曲線y= 到點O(0,0)的弧.(此題總分值6分)設函數yxx0二階可導，且yx0y01過曲線yyx上任意一點Px,yxx軸所圍成的三角形的面積記為S，區間0,x

yy

x

為曲邊的曲邊梯形面積記為

2SS1

1恒為1，求此曲線yy

x的方程.六、(此題總分值6分) 試證：當x0時，x21lnxx2.七、(此題總分值6分)為去除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口見圖，井深30m30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2023N，提升速度為3m/s,在提升過程中，污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉，現將抓起污泥的抓斗提升至井口，問抑制重力需作多少焦耳的功？(說明：①1N1m1J其中mNsJ分別表示米，牛頓，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度無視不計.)八、(此題總分值7分)設S為橢球面

z2 1的上半局部，點P(x,yz∈S,π為S在點P處的切平面，2 2(x,yz為點O(0,0,0)到平面π的距離，求S九、(此題總分值7分)

z dS.(x,y,z)設a n

4tannxdx,0(1)求n1

1an

an2

的值；(2)試證：對任意的常數>0,級數n1

an收斂n第3頁第第4頁十、(此題總分值8分)a 1 c A5

b 3 A1又AA*有一個特征值，屬01c 0 a于的一個特征向量為(1,1,1)T求abc和0

的值.十一、(此題總分值6分)設A為m階實對稱矩陣且正定，B為m×n實矩陣，BT為B的轉置矩陣，試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是B的秩rBn.十二、(此題總分值8分)設隨機變量X與YX,Y聯合分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的局部數值，試將其余數值填入表中的空白處.YYXy1yy23PXxpi ix 118x2PYy pj18161j十三、(此題總分值6分)設總體X的概率密度為

6x(x),0xf(x)30, 其他X,X1

2

是取自總體X的簡潔隨機樣本.n求的方差D .參考答案一、1.3x0的等價變換和洛必達法則求函數極限.【解析】方法1lim1

1 limtanxxtanxxlimtanxxx0x3tanxxlimtanxxx0x3

x0

x2tanxtanx xlimx2x03x2洛limsec2x1tanx xlimx2x03x2x0

3x2

x0 3x2 3方法2lim1

1 lim1

cosxlimsinxxcosx x0x2 x

x0x2

x

x0

x2sinxsinx xlimsinxxcosx洛limcosxcosxxsinxlimsinx1x0 x3

x0

3x2

x0

3x 3【答案】sinx2【分析】欲求外

db(x,t)dt，唯一的方法是作變換，使含有(x,t)中的x“轉移”到之dxa【解析】令uxt，則dtdu，所以有d x d 0 d xdx0

sin(xt)2dt

dx

sinu2

du

dx0

sinu2dusinx2yCe2x

C

xe2x其中CC

為任意常數.1 1 2 4 1 21 【分析】先求出對應齊次方程的通解，再求出原方程的一個特解.y“4y0240,解得1

2,2

2，y“4y0y1

Ce2x1

Ce2x,2f(x)e2xy*Axe2x,代入原方程可求得1 1 A yy4

Ce2x1

C

xe2x44【解析】由于1 1 ... 11 1EA ... ...

... ... ...

(對應元素相減)兩邊取行列式，

1

1 ... 11EA 1

1 ... 11 ... 1

n 1 ... 1，加到第1列，加到第1列...

... ...

... ... ... ...1 1

... 1

1 ... 11 1

...

1 2行1行

1 1 ... 1(

n)1 1 ... 1 3行1行(

n)0

... 0的公因子n-1(n)

... ... ... ... ... ... ... ...1 1 ... 1n行1行 0 0 ... EAn-1(n)0，得1

n(1重)，2

0((n1)重)，故矩陣A的n個特征值是n和0((n-1)重)【答案】14【解析】依據加法公式有P(A B C)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BC)P(ABC)PA)P(B)P(C)PA)P(B)P(C)p由于A,B,C兩兩相互獨立，所以有P(AB)PA)P(B)ppp2P(AC)PA)P(C)ppp2，P(BC)P(B)P(C)ppp2，ABCPABC)P()0,所以 P(A B C)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BC)P(ABC)9 pppp2p2p203p3p29 PAp2p

，從而P(A B C)3p3p2B C)91630，解得p3或pB C)91616 4 4

，則有3p3p2 016 16PAP(B)P(Cp

1，故p1PA12 4 4二、【答案】(A)【解析】應用函數定義判定函數的奇偶性、周期性和單調性.f(x)F(xF(x)x0

f(t)dtC,于是F(x)xftdtCutxf(uduC.0 0f(x)f(u)f(u，從而有F(x)x0

f(u)duCx0

f(t)dtCF(x)即F(x)為偶函數.故(A)為正確選項.(B)、(C)、(D)可分別舉反例如下：1f(x)x2是偶函數，但其原函數F(x) x31不是奇函數，可排解(B)；3f(x)cos2x是周期函數，但其原函數F(x)

1x1sin2x不是周期函數，可排解(C)；2 4f(x)x在區間(內是單調增函數，但其原函數F(x)非單調增函數，可排解(D).

1x2在區間(內2【答案】(D)【解析】由于可導必連續，連續則極限必存在，可以從函數可導性入手.1f(x)f(0) 1cosx 2x2x xx x由于 f(0)limx xx x

lim lim

0, x0

x0

x0f(0)lim

f(x)f(0)

lim

x2g(x)

limxg(x)0, x0

x0

x0 x

x0f(0)f(0)0，故正確選項為(D).【答案】(C)【解析】由題設知，應先將f(x)從[0,1)作偶延拓，使之成為區間[1,1]上的偶函數，然后再作周期(周期2)延拓，進一步開放為傅里葉級數，S(5)S(21)S(1)S(1)2 2 2 2x

f(x)的連續點，按狄利克雷定理有，21 1 1f( 0)f( 0)1 2 2

21 3S( ) .2 2 2 4【答案】B【解析】方法1AmnBnmAB是m階方陣，因r(AB)minr(A),r(B)minm,n.mnrABmin[rAr(B)]nm.(AB)x0的系數矩陣的秩小于未知數的個數)，故有行列式AB0，故應選(B).方法2Bnm矩陣,當mn時,則r(B)n(系數矩陣的秩小于未知數的個數)，方程Bx0必有非零解，即存在x0

0Bx0

0，兩邊左乘AABx0

0，即ABx0有非零解，從而AB0，應選(B). 3：用排解法 mnA

1,B

0 0, AB0 AB0，(A)不成立 m

0 nm

0 0nmAmnnmAmn

0,Bnm0,Bnm

01 , AB0，AB0，(C)不成立1 10 , AB1，AB1，(D)不成立，應選(B).0 【答案】B.X和YX~N(0,1)Y~N(1,1)，所以TXY~N(u,1 1

2),T1

XY~N(u, 2)2 2其中u1

E(XY)，21

D(XY)，u2

E(XY)，22

D(XY)E(T)EXY)EXEY011，1E(T2

)E(XY)EXEY011D(T)DXY)DXDY1121D(T2

)D(XY)DXDY112所以 T1

XY~N(1,2)，T2

XY~N(1,2)(一般來說遇到正態分布的小題，主要就考兩點，標準化和對稱性，考慮問題也是從這兩點動身)APXY01.因T

XY~N(1,2)2X~N(u,XY1

12)，則

Xu

~N(0,1)所以，2

N(0,1)，將其標準化有PXY0PXY1

01PXY1 22212 22212 (保證變換過程中概率不變，所以不等號的左邊怎么變，右邊也同樣的變化)y軸對稱，所以XY1212 1 XXY12122P 02，而P 2

，所以A錯. BPXY11.222XY1 11 XY1 1222P2

P

0

2(依據標準正態分布的對稱性)故B正確.CPXY0

1.2

XY12XY(1) 0(1)XY12P

P

2，故C錯.222 222DPXY11.22PXY1)11)PXY12

2

1，故D錯. 2222 222三、zxf(xyF(x,yz)0x求導數，得dz

f(x,y)x1dy

f(x,y)dx

dxFFdyFdz0x ydx

zdxxf(x,y)dydz

f(x,y)xf(x,y) dx dx整理后得 F

dyFdz

F y解此方程組，得

dx xf

dx xfxfdz y

Fx

(fxf)Fxf y

z,(Fxf

0)dx xf 1F F

Fxf y y zy z四、【解析】方法1：湊成閉合曲線，應用格林公式.添加從點O(0,0)y0A2a,0的有向直L1I

,如圖，則exsinyb(xy)

excosyax

dyL1

exsinyb(xy)L1

dxexcosyaxdy利用格林公式，前一積分Q P I1 xD

dxdy(ba)dxdyD

a2(ba)2其中DL1

+L所圍成的半圓域，后一積分選擇xL:1xx,0x2a,y02a 可直接積分 I

(bx)dx2a2b，故III 2a2b a3.2 0

2 2 2方法2.Iexsinyb(xy)dxexcosyaxdyLexsinydxexcosydyb(xy)dxaxdyL L前一積分與路徑無關，所以exsinydxexcosydyexsiny(0,0) 0L (2a,0)對后一積分，取L的參數方程第10xaacost dxasintdt ，則

t從0到，得 yasint dyacostdt b(xy)dxaxdyL(a2bsinta2bsintcosta2bsin2ta3costa3cos2t)dt01 2a2b a2b a1 2 21 1 從而 I0(2a2b2a2b2a3)2

2a2b a3 2五、yy(xP(x,y處的切線方程為Yy(x)y(xXx)x軸的交點為x

y,0y y y”(x)0,y(0)1,y(x)0(x0)1 y y2于是

yxx .1 2

2y”又S xy(t)dt，2 0依據題設2SS

即2

y2

xy(t)dt1,x求導并化簡得yyy”21 2 2y” 0pyydp

dpdy

pdp，dx dy dx dyypdp

p2dp

dy

，解得pC

ydy

Cy,dy p y 1 dx 1從而有 yCex1

C，依據 y(0)1,y”(0)1,可得C2

1,C2

0,故所求曲線得方程為yex六、【解析】構造函數，利用函數的單調性，證1：令 f(x)x2lnxx2.易知f(1)0又 f(x)2xlnxx21,f(1)0x第11f(x)2lnx1

1,f(1)20x2f(x)

2(x21)x3可見，當0x1f(x0；當1xf(x0f(x) f(x)f(1)2f(x的最小值，即當0xf(xf(1)20，所f(x為單調增函數.f(1)0，所以有0x1f(x0；1xf(x0，所以利用函數單調性可知，f為f(x的最小值，即f(xf(1)0所以有x0時，x2lnxx2.證法2：先對要證的不等式作適當變形，當x1時，原不等式明顯成立；當0x1時，原不等式等價于lnxx1;x1當1x時，原不等式等價于lnxx1

x1;x1令 f(x)lnx

x1則 f(x)1

x21

0x0x x2 xx2又由于f(1)0,利用函數單調性可知當0x1f(x)0,即lnxx1;當1xf(x)0,即lnx

x1;x1 x1綜上所述，當x0時，x2lnxx2.七、【解析】建立坐標軸如下圖，方法1：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功WWW1 2

W，其中W3

是抑制抓斗自重所作的功；W2

是抑制纜繩重力作的功；W3

為提出污泥所作的功.由題意知W400N30m12023J.1xxdx處，抑制纜繩重力所作的功為dW=纜繩每米重×纜繩長×提上升度250(30x)dx,第12第第13從而 W2

3050(30x)dx22500J.0在時間間隔[t,tdt]內提升污泥需做功為dW(原始污泥重漏掉污泥重提上升度(3dt)3(202320t)3dt將污泥從井底提升至井口共需時間

30m10s,3m/s所以 W3

103(202320t)dt57000J.0因此，共需做功WWWW1 2

方法2：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記為W，當抓斗運動到xf(x)包括抓斗的自重400N,纜繩的重力50(30x)N，污泥的重力(202320 170

x20)N,3即 f(x)40050(30x)2023

x3900 3 330

170 85于是 W0

3900

xdx3900x3

x2303 0

1170002450091500J八、【分析】先寫出切平面方程，然后求(x,y,z)，最終將曲面積分化成二重積分.【解析】點P(x,yzSSP處的法向量為nx,y,2z，設X,YZ)為上任意一點，則的方程為xXxy(Yy2z(Zz)0xXyYzZ1O(0,0,0)到的距離

2 2AxByCzA2AxByCzA2B2C22xxyyzz2(x)2(y)2z2221(x,y,z) 4

z24 從而

z dSz

x2

z2dS2(x,y,z) 4 42S S SxOyD(x,y|x2y22x2 y2由曲面方程知z 1 2

x,yD,于是2zx

x ,z2121x2y222

y ,21x2y2224x221x2y2224x2y221x2y222因此 dS

x

yd d故有

dSz

x2

y z2dS2(x,y,z) 4 42S S1

1 2 322 4x2y2 d極坐標 d (4r2)rdr .4 40 0 2D九、【解析】(1)由于

1a a

1tannx(1tan x)dx1tan442 44

xsec2

xdxn n n2

n 0 n 01 tanxt1 1 1 4tannxdtanx tndt又由局部和數列

n 0 n 0 n(n1)S

1aa

1 n(

1)1 1 ,11n i i1

i2

i1

i(i1)

ii1

i1 n1有 limSn

1,因此

1a a

1.n nn1

n2(2)先估量a 的值，由于n dta 4tannxdx，令ttanx，則dtsec2xdx，即dxn 0 1t2所以 a

1 tn

1tndt 1 ,n 01t2 0 n1a所以 nn

1 1 ,n(n1) n1 1

a由于10，所以

n1

n1

收斂，從而

n1

n也收斂.n十、A*有一個特征值0

，屬于0

的一個特征向量為(1,1,1)T, 依據特征值和特征向量的概念，有A*,0A1AA*AEAA*AEEAA*E.A*0代入，于是AA*AA, 即A0 0 0a 1 c1 1 a1c 1也即 5

b 311， 5b310 0 1c 0 a1a1c

1

(c)a

1常數

乘以矩陣

5b3

，需用

乘以矩陣的每一個元素0 (c)aa1c

0(a1c) 15b30(5b3)10 0 0(c)a [(c)a] 10矩陣相等，則矩陣的對應元素都一樣，可得(a1c)1 (1)0(5b3)1 (2)0(1ca)1A0A因A10，A的特征值0A*的特征值*由(1),(3)兩式得

0，故 00(a1c)0

(1ca)，兩邊同除0

，得a1c(1ca)整理得ac，代入(1)中，得0

1.再把0

1代入(2)中得b33行1行2列1列A1b3以及a3行1行2列1列a 1 a

a 1 a

a a1 aA 51a

3 30 a

5 3 31 1 0a1 a

5 2 31 0 0

(其中(1)31的指數3，1分別是1的行數和列數)2 33(a1)2aa31故ac2,因此a2,b3,c2, 1.0十一、【解析】“必要性”.BTAB為正定矩陣，則由定義知，對任意的實nx0，有xTBTABx0,即BxTABx0,于是，Bx0n維列向量x0Bx0.(Bx0A(Bx)A00沖突).因此，Bx0rBnBx0有唯一零解的充要條件是rBn).“充分性”.A為mAT

A，故BTB

BTATBBTAB依據實對稱矩陣的定義知BTAB也為實對稱矩陣.假設rBnBx0而對任意的實nx0Bx0.A為正定矩陣，所以對于Bx0有BxT

ABxxTBTABx0, 故BTAB對任意的實n維列向量x0，有xT BTAB

x0).十二、【解析】離散型隨機變量邊緣分布律的定義：p PXxPXx,Yy

p,i1,2,i i j j

j ijjjp Pj

Yy j

P Xx,Yy i j

p,j1,2,iji i(X的邊緣分布時，就把對應xy都加起來，同理求關于Y的邊yx都加起來)故PYyp1 1

PXx,Yyp 即i 1 i1i iPYyPXx,YyPXx,Yy1 1 1 2 1PYy1PXx,Yy1，所以1 6 2 1 8PXx,YyPYyPXx

,Yy

1111 1

2 1 6 8 24X和Y相互獨立，則有：PXx,YyPXxPYi j i

pj

ppi jPXx,Yy1PYy1PXx,YyPXxPYy1 1 24 1 6

1 1 1 1

Xx,Yy

124 1P

Xx 1

PY1 y11

1 46再由邊緣分布的定義有PXxPXx,YyPXx,YyPXx,Yy1 1 1 1 2 1 3所以 PXxPXx,YyPXx,Yy1

1 3 1111

1 1