反步設計法在種群動力學中的應用

0反步控制的基本設計方法系統的穩定性在生態分析的評價體系中起著非常重要的作用。一個穩定的生態系統對維持其功能非常重要。近年來，隨著工業的發展，生態平衡受到嚴重破壞。因此，有必要對系統進行有效的控制，使生態系統的長期平衡得到充分控制。反步法的設計方法在工程控制領域得到了廣泛應用，并在實踐中得到了廣泛應用。實踐表明，這實際上是一種思維清晰、方法簡單、效率高的控制方法，但用于大規模動態控制的應用尚不普遍，值得進一步研究。反步設計法又稱為反演法,該方法的核心思想是通過逐步修正算法去設計鎮定控制器,實現系統的全局調節或跟蹤.反步控制的基本設計方法是從一個高階系統的內核開始(通常是系統輸出量滿足的動態方程)設計虛擬控制律以保證內核系統某種最為重要的性能,如穩定性、無源性等,然后對得到的虛擬控制律逐步修正算法,但應保持既定性能,進而設計出真正的鎮定控制器,實現系統的全局調節或跟蹤,使系統達到包含所有期望指標的性能指標.其具體設計步驟如下:(1)將復雜的高階非線性系統分解成若干不超過系統階數的子系統;(2)給第(1)步得到的每個子系統設計相對獨立的部分Lyapunov函數(簡稱V函數)和中間虛擬控制量;(3)由系統輸出設計一直向后推算,逐漸“后退”到整個系統,將它們集成起來完成整個控制律的設計.從設計步驟上可以看出,反步法實際上是一種由前向后遞推的設計方法,利用一步步的迭代過程去設計新的V函數,最終獲得整個系統的穩定性或其他性能.本文通過反步設計法研究了Lotka-Volterra型捕食系統模型的全局穩定性問題,得到了使閉環系統在平衡點處全局漸近穩定的控制規律.1taka-torra飼料系統的反步控制設計1.1狀態反饋控制參數u0,0引理:對于系統{˙η=f(η,ξ)˙ξ=u,其中f(η,ξ)光滑且f(0,0)=0,如果存在一個正定、徑向無界的函數V(η),使得對于所有的非零η有?V?ηf(η,0)＜0,那么存在一個狀態反饋控制u=u(η,ξ)且u(0,0)=0和一個正定、徑向無界的函數W(η,ξ),使對于所有的非零(η,ξ),有˙W(η,ξ)=[?w?η?w?ξ][f(η,ξ)u(η,ξ)]＜0證明:由f(η,ξ)光滑且f(0,0)=0得f(η,ξ)=f(η,0)+p(η,ξ)ξ,其中p(η,ξ)=∫10[?f(η,θ)?θ]θ=sξds,取正定、徑向無界函數W(η,ξ)=V(η)+12ξ2,沿著系統有選取u=u(η,ξ)=-ξ-?V?ηp(η,ξ),則˙W(η,ξ)=?V?ηf(η,0)-ξ2＜0.1.2控制律設計在Lotka-Volterra系統中,以二維系統最為簡單,但是對它的研究結果對于高維系統而言具有很強的典型性和重要的指導意義,因此人們在研究此類系統時大多是以二維系統為基礎而展開的.本節所討論的對象也正是Lotka-Volterra二維系統中的捕食者-食餌系統,其數學模型表達為:式中x1,x2的系數均為常數;a11,a22為種內作用系數,反映兩種群的密度作用因素;a12,a21為種間作用系數,反映兩種群相互作用的因素;a10,a20表示兩種群的內稟增長率,a20>0表示除x1外,x2還有其他食物資源;u是控制量,u的形式將根據反步控制的設計方法給出.定理:對于系統(1),存在狀態反饋控制器u=(a21x2-a11x1+1)(x1-x*1)+(a22x2-a12x1-1)(x2-x*2)使得閉環系統的唯一正平衡點X*(x*1,x*2)是全局漸近穩定的.證明:如果系統存在正平衡點X*(x*1,x*2),則系統的狀態必然滿足如下條件{a11x1+a12x2=a10-a21x1+a22x2=a20由此可以將式(1)化為對稱式{˙x1(t)=x1(-a11(x1-x*1)-a12(x2-x*2))˙x2(t)=x2(a21(x1-x*1)-a22(x2-x*2))+u其中aij>0.其反步控制的設計步驟為:第1步,取正定且無界函數V(x1)=x1-x*1-x*1lnx1x*1,沿系統(1)有˙V(x1)=(x1-x*1)˙x1x*1=(x1-x*1)(-a11(x1-x*1)-a12(x2-x*2))=-a11(x1-x*1)2-a12(x1-x*1)(x2-x*2)選取x2=a0(x1)=x1-x*1+x*2,則有˙V(x1)=-a11(x1-x*1)2-a12(x1-x*1)2＜0(x1≠x*1).第2步,取V1=V+12(x2-a0(x1))2,V1→∞(|x|→∞),沿系統有˙V1=˙V+(x2-a0(x1))(˙x2-˙x1)=-a11(x1-x*1)2-a12(x1-x*1)2+((x2-x*2)-(x1-x*1))(˙x2-˙x1)=(-a11-a12)(x1-x*1)2+((x2-x*2)-(x1-x*1))(˙x2-˙x1)選擇u=(a21x2-a11x1+1)(x1-x*1)+(a22x2-a12x1-1)(x2-x*2),則除點X*(x*1,x*2)外˙V1=-(a11+a12)(x1-x*1)2-((x2-x*2)-(x1-x*1))2＜0即在反饋控制u下,閉環系統在點X*(x*1,x*2)處是全局漸近穩定的.2示例與數值模擬2.1+2,2,2,2,2第1步,以2.考慮如下系統:易知u=0時,系統(2)的平衡點(1,2)雖然穩定但非全局漸近穩定.下面利用反步設計法尋找控制律來達到系統全局漸近穩定.首先化系統(2)為對稱式:{˙x1=x1(-(x1-1)-(x2-2))˙x2=x2((x1-1)-(x2-2))+u第1步,取V(x1)=x1-1-lnx1,顯然V(x1)正定且無界,沿系統有˙V(x1)=(x1-1)˙x1x1=(x1-1)(-(x1-1)-(x2-2))=-(x1-1)2-(x1-1)(x2-2)選取x2=a0(x1)=x1+1,則˙V(x1)=-2(x1-1)2＜0(x≠1).第2步,取V1=V+12(x2-a0(x1))2?正定無界,沿系統有V˙1=V˙(x1)+(x2-a0(x1))(x˙2-x˙1)=-2(x1-1)2+((x2-2)-(x1-1))(x˙2-x˙1)選取u=(-x2-x1+1)(x1-1)+(x2-x1-1)(x2-2)(3)則除點(1,2)外V˙(x1)=-2(x1-1)2-((x2-2)(x1-1))2＜0.即在反饋控制u下,閉環系統在點(1,2)處是全局漸近穩定的.2.2水生動物凈化系統的延續性利用mathmatic軟件可以分別對無控制規律和以式(3)為控制規律的L-V系統模型進行數值模擬,得到的結果分別如圖1和2所示.對比圖1和圖2可以看出,如果不給系統(2)加以適當的控制,則無論是食餌還是捕食者其種群數量都將會在一定的時間以后逐漸趨于0,這意味著該種群滅亡.而對該系統施加以形如式(3)的人工控制以后,則經過一段時間的發展之后系統會在一定平衡點處趨于某個穩定值,達到了控制目標,其現實意義為無論是捕食者種群還是被捕食者種群都能夠維持較長時間的持續共存,從而保證了生態系統的延續性.3反步設計的應用價值本文利用Backstepping反步設計方法研究了二維L-V捕食模型的全局穩定性問題,得到了使閉環系統在正平衡點處全局漸近穩定的控制律.由反步法的設計思想可知,反步設計法使李雅普諾夫函數(V函數)和控制器的設