2022年安徽省中小學教育教學論文評選構造正方形 探究網格圖摘2022年天津中考題第18格中無刻度直尺作圖問題.關鍵詞：無刻度直尺；網格作圖；構造正方形；垂直問題；作圓心引言：近些年來，網格題不再是千篇一律的簡單平移、翻折與旋轉，網格題從一般的無刻度直尺作圖題，逐漸演變出利用無刻度直尺在網格中解題.其創新性的題目在與旋轉作圖，轉變為用翻折與旋轉為工具而生長出模型，再通過模型解決問題.2022年天津中考中的第18題要求在網格內無刻度直尺作圖，并通過巧妙構造正方形，利用旋轉建立模型，從而達到解決題目中垂直問題的目的.對此類問題分析研究后，筆者發現構造正方形，建立模型能夠解決一系列的垂直問題.同時筆者在探究題目的生長過程中發現，如果某個圓有一點在網格點上，那么在網格圖中就能畫出該圓的圓心.一、題目呈現DABPEFC如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網格中，圓上的點A，B，C及∠DPF的一邊上的點DABPEFC（1）線段EF的長等于 ；分別在射線上，滿足∠MBN=90°且1并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）.圖1二、追根溯源1、正方形相關的旋轉模型60是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形.12022年安徽省中小學教育教學論文評選圖2教材的例題是“旋轉的性質”的一些簡單應用.2022年天津中考網格作圖題中，通中的圖形來.2022年天津中考網格題考察了學生的構造能力和遷移能力，除了要正確構到問題的源頭.2、“一線三等角”模型在網格中尋找“一線三等角”模型.如圖3，∠D=∠B=∠EAC=90°，則AE=AC.ECAD 圖3 B如圖4，在網格中我們找到格點BA=AD，并且∠E=∠F=90°，通過全等得出∠C=∠D，構造出格點正方形.從而利用正方形的性質拓展延伸得出相應的模型，從而解決相應的垂直問題.CBDF A E圖4對稱圖形，具有很好的幾何直觀，易于辨別.在教學實踐中，通過對正方形的構造，大22022年安徽省中小學教育教學論文評選大提高了學生在網格圖中構造垂直的準確率.同時也培養了學生的發散思維能力，讓學生在幾何學習中有大觀念、大思考.三、解法探究如圖2022年天津中考數學第18題第2不妨先動手畫出相應的草圖，從而縮小探究范圍.通過對BM=BN的思考，先構造一個B旋轉90°得出逆向思考構造△BQM≌△BFN得出，BM=BN.具體解法如下：連接AC，與網格線相交于點O；取格點Q，連接EQ、BQ，設EQ與射線PD相交于點M；連接MB與⊙O相交于點G；連接GO并延長，與⊙O相交于點H；連接BH并延長，與射線PF相交于點N，則點M，N即為所求.QDABMGPOEFHN圖5此題運用了圓的性質、正方形相關的旋轉模型，在PD是動線的情況下，通過構造正方形及相關的旋轉模型，利用逆向思維證全等，巧妙得出結論.天津中考題第18題無更具創新性的題目的探究思想.其中構建正方形為此題的題眼，同時直觀地反映了圖形中的全等.對于構造正方形所得出的垂直也是網格中的熱點.在用無刻度直尺網格作圖題中，它不僅能通過幾何直觀解決一般的旋轉能通過構造兩個過這個格點的正方形，作出圓的圓心.下面我就從這幾個方面的研究來展現構造正方形的魅力.342022年安徽省中小學教育教學論文評選4四、生長引申1、解決旋轉90°問題(2021年安徽中考)如圖4，在每個小正方形的邊長為1個單位的網格中，△ABC的頂點均在格點（網格線的交點）上.（1）將△ABC向右平移5個單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；繞點C1逆時針旋轉90°得到△A2B2C1，畫出△A2B2C1.A1B1 C1DA2B2圖6 圖790°問題.在能得出兩邊垂直.正方形作為特殊的平行四邊形，是對稱的，是美的.通過對正方形的構造，同學們構造正方形模型將正方形與一線三等角等模型有機的聯系起來，把知識能力進行應用和遷移，是對于正方形的直觀與美的寫照，更是大觀念，即知識能力、道德價值和人文價值的追求.新課標理念下，新課標的四大關鍵概念：大觀念、大任務、真實性、實踐性.2、利用網格作垂直平分線（20197×6的頂點均在格點上.2022年安徽省中小學教育教學論文評選試按要求畫出線段EF（E，F均為格點），各畫出一條即可.圖8 EF垂直平分AB 圖9解析：此問有一定難度，圖9中如果我們把AB看作正方形的對角線構造正方形AEBF，那么就可以作出AB的垂直平分線EF.3、利用網格構造正方形，利用垂直作等腰三角形（2019年天津二模卷第2問）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、點B均為格點.C是以ABD在邊ACS△ABD=1S△ABC.請在如圖6所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出線段D2的位置是如何找到的.（不要求證明）圖10 圖1110，以AB為邊作正方形ABEF，連接對角線AE，BF，則對角線交點即為點C，則△ABC滿足條件.設正方形相鄰兩邊分別與網格線有兩個交點G，H，且為兩邊中點，連接GH與AE交于點D，連接BD，則BD即為所求.第（2）問的難點在于構造等腰直角三角形，因為只能使用無刻度直尺，所以通過△D △構造正方形可以解決問題，由題意中S =1S 得出點D是△D △2中容易得出點G、點H分別為AB，AF的中點，則GH是△ABC的中位線，從而我們52022年安徽省中小學教育教學論文評選可以作出點 決問題.由 D M

此可見，建模心中扎根，構圖自然而來.EW A4、利用 網格構造正方形，利用垂直求最值問題如圖，是由邊長為1的小正方形組成的網格，點A，B，C均為格點.若P為邊BCA的對應點分別為點B＇，C＇，P＇.（1）畫出△AB＇C＇；（2）當CP＇最小時，畫出點P＇，并簡要說明你是怎樣找到點P＇的.H FGB′JEC P′ CI KDA C′ AB B圖12 圖13解析：由題意知，∠ACB=90°，延長BA交小正方形格點中心點D，構造格點正方形HG的中點的中點交于點B＇K并延長，交AD于點C＇，連接CJ交B＇K與點P＇.本題中構造正方形，幫助我們找到了點B＇，同時通過構造垂直，得出點C＇，最后通過構造垂直，得出CP＇最短.5、利用網格構造正方形，利用垂直逆向找圓心（2022年天津中考第18題改編）如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網格中，圓上的點A及∠DPF的一邊上的點均在格點上.若點分別在射線上，滿足∠XAY=90°且1并簡要說明點X，Y的位置是如何找到的（不要求證明）.H62022年安徽省中小學教育教學論文評選XSP OC TBU YF N G I圖14AEFG和正方形和WU、MN交于點O，點O即為過格點A的圓的圓心.作CD交PH于點X，延長AX交圓于點S.連接SO并延長交于點T，連接AT并延長交PI于點Y，則AX⊥AY，AX=AY.由2022年天津中考題第18作兩個直角，根據圓的性質直角對直徑，從而得到兩條直徑的交點為圓心.通過研究發現，如圖14，經過格點A的圓無論如何變化，只要同時滿足AX⊥AY和點都不發生變化.即在∠HPI上存在點AX=AY且AX⊥AY，則點X與點Y存在且唯一.通過對2022年天津中考第18的觀察力、豐富的聯想力、高超的創造力.寧史中說過：在大多數情況下，數學的結果是“看”出來，而不是“證”出來的.因此，在教學中，我們需加強對無刻度直尺網格學生創新意識，提升學生數學核心素養.參考文獻[1]石先兵：重本夯基，追本溯源，固本開新[J].中學數學,2022(5):69