三角函數(shù)

§1.2.1任意角的三角函數(shù)

前面學(xué)習(xí)了任意角，并引進(jìn)象限角概念，使任意角的研究有了“參照系”，弧度制的學(xué)習(xí)為角與實(shí)數(shù)間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，為研究“任意角的三角函數(shù)”打下基礎(chǔ)。

我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。例如指數(shù)函數(shù)描述了“指數(shù)爆炸”，對數(shù)函數(shù)描述了“對數(shù)增長”等。圓周運(yùn)動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)，其中最基本的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其變化規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢？“任意角的三角函數(shù)”就是一個(gè)刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的函數(shù)模型。問題1初中已學(xué)過銳角三角函數(shù)，你能說說它的自變量和對應(yīng)關(guān)系各是什么嗎？任意畫一個(gè)銳角α，你能借助三角板，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義找出sinα的值嗎？OA

B問題2你能借助象限角的概念，用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)嗎？yxO

P(x,y)問題3上述表達(dá)式比較復(fù)雜，你能設(shè)法將它化簡嗎？yxOP(x,y)

yxOP(x,y)

類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），定義:正弦函數(shù)y=sinα

余弦函數(shù)x=cosα

余切函數(shù)y/x=tanα問題4上述定義符合一般函數(shù)定義的要求嗎？三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的值域呢？思考例1分別求自變量π/2，π所對應(yīng)的正弦、余弦和正切函數(shù)值。yxO例2求的正弦、余弦和正切值。yxO幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度數(shù)sinαcosαtanαoyxP(ｘ，ｙ)r

三角函數(shù)定義r=1yxOP(-3,4)

例3已知角

的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3,4),求

的正弦、余弦和正切值()()()()()()()()()()()（）++--++--++--思考將三角函數(shù)值在各象限的符號填入下表一全二正弦，三切四余弦終邊相同問題5終邊相同的角的三角函數(shù)有怎樣關(guān)系？點(diǎn)的坐標(biāo)相同同一函數(shù)值相同誘導(dǎo)公式一例4確定下列三角函數(shù)值的符號：例5求下列三角函數(shù)值小結(jié)

任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一。三角學(xué)起源于對三角形邊角關(guān)系的研究，始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托勒密等人對天文的測量，在相當(dāng)長的時(shí)期里隸屬于天文學(xué)。直到1464年，德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦著《論各種三角形》，才獨(dú)立于天文學(xué)之外對三角知識作了較系統(tǒng)的闡說；14~16世紀(jì)，三角學(xué)曾一度成為歐洲數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，研究的方面包括三角函數(shù)值表的編制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推導(dǎo)等等。1631年，三角學(xué)輸入中國，三角學(xué)在中國早期比較通行的名稱是“八線”和“三角”?！鞍司€”是指在單位圓上的八種三角函數(shù)線：正弦線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割