第四章中心極限定理與參數估計

4.1大數定律4.2中心極限定理本章概述大數定律和中心極限定理就是使用極限方法研究大量隨機現象統計規律性的。

闡明大量重復試驗的平均結果具有穩定性的一系列定律都稱為大數定律。論證隨機變量（試驗結果）之和漸進服從某一分布的定理稱為中心極限定理。

⒈

人們在長期的實踐中發現，頻率以及大量測量值的算術平均值具有穩定性，也就是說，無論個別測量值如何，其平均結果實際上與個別測量值的特征無關，幾乎不再是隨機的了。這種穩定性問題如何從理論上給出解釋？這正是大數定律要解決的問題。

⒉

長期觀察表明，如果一個量是由大量的相互獨立的隨機因素的影響造成的，而每一個個別因素在總影響中所起的作用都很微小，則這種量通常都服從或近似服從正態分布。這個結論的理論依據就是中心極限定理。

⒊

總之，大數定律是描述頻率穩定性的理論(理解),中心極限定理在概率論的理論研究中占據重要地位(會用)。2.不等式的其它(等價)形式

證明4.1大數定律

1.切貝雪夫不等式僅證連續型r.v.的情形

切貝雪夫不等式只利用隨機變量的數學期望及方差就可對的概率分布進行估計。從切貝雪夫不等式還可以看出,對于給定的

>0,當方差越小時，事件{|X-E(X)|≥

}發生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．這進一步說明方差確實是一個描述隨機變量與其期望值離散程度的一個變量．當D(X)已知時，切貝雪夫不等式給出了X與E(X)的偏差小于

的概率的估計值．

切貝雪夫不等式的用途：（1）證明大數定律；（2）估計事件的概率。

例2

設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假定燈的開、關是相互立的，使用切貝雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數在6800到7200盞之間的概率。

解令X表示在夜晚同時開著的燈數目，則X服從n=10000，p=0.7的二項分布，這時由切貝雪夫不等式可得:即對于任意

＞0，當n充分大時，不等式

定理1（切貝雪夫大數定律）如果X1,X2,…,Xn,…是相互獨立的隨機變量序列，每一個Xi都有數學期望E(Xi)和有限的方差D(Xi),且方差有公共的上界，即D(Xi)≤C,i=1,2,…,n;C>0.則對于任意

＞0，有依概率1成立。3.大數定律

證因X1,X2,…,Xn,…相互獨立，所以又因由切貝雪夫不等式可得所以

切貝雪夫大數定律表明,相互獨立的隨機變量的算術平均值與其數學期望的差,在n充分大時以概率1是一個無窮小量,這意味著在n充分大時，的值將比較緊密地聚集在它的數學期望附近．

說明

（1）在不變的條件下，重復測量n次得到n個觀察值，x1,x2,…,xn可看作服從同一分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn的試驗值。（2）n充分大時，x1,x2,…,xn的算術平均值與真值的誤差依概率1任意小。（3）n不太大時，x1,x2,…,xn的算術平均值與真值的誤差可能較大，所以，實際計算平均值時往往采取“去掉幾個最高、幾個最低”的辦法。

推論1

設隨機變量X1,X2,X3,…,Xn

,…獨立同分布，且有E(Xk)=

，D(Xk)=

2，

k=1,2,…,則在n

時對任意ε＞0，有

由于各次試驗是獨立的，因此X1,X2,…,Xn,…是相互獨立的，且證明

定義隨機變量

顯然有

n=X1+X2+…+Xn,且Xk服從參數為p的0-1分布，故有E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,…,n,…).

這是以頻率定義概率的合理性依據。

定理2(貝努里大數定律)

n重貝努里試驗中事件A發生

n次,每次試驗A發生的概率為p，則對任意

＞0,有因此由切貝雪夫不等式得

定義1(依概率收斂)

設y1,y2,…,yn,…是一個互相獨立的隨機變量序列，是一個常數，若對于任意正數

，有則稱序列y1,y2,…,yn,…依概率收斂于a.

因此，由貝努里大數定律可得：設

n是n次獨立試驗中事件出現的次數,p是在每次試驗中事件A發生的概率,則頻率依概率收斂于概率p.

例2

若在每次試驗中，A發生的概率為0.5，進行1000次獨立試驗，估計A發生400～600次之間的概率。

解

因X～