2022年山西省太原市第五十五中學高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，，若，則(

)A.

B.

C.0

D.1參考答案：C=,=,解方程=得0.選C.2.如右圖為一個幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形，A1B1=2，AA1=4，則該幾何體的表面積為(

)

A.

6+

B.

24+

C.

24+2

D.

32參考答案：C略3.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（A） （B）（C） （D）參考答案：D分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.

4.若命題p：函數的單調遞增區間是[1,+∞)，命題q：函數的單調遞增區間是[1,+∞)，則（

）A.是真命題 B.是假命題C.是真命題 D.是真命題參考答案：D【分析】由二次函數的單調性可判斷命題p為真，利用增+增為增結合函數的定義域可得增區間進而知命題q為假命題，從而可得解.【詳解】命題p：函數的對稱軸為，且開口向上，所以在上單調遞增，命題p為真；命題q：函數的定義域為，且和為增函數，所以函數的增區間為和，所以命題q為假命題.所以是真命題.故選：D.【點睛】本題主要考查了函數的單調性及復合命題的真假判斷，注意區別在區間上單調遞增和增區間的區間，屬于基礎題.5.在空間中，若、表示不同的平面，、、表示不同直線，則以下命題中正確的有（

）①若∥，∥，∥，則∥②若⊥，⊥，⊥，則⊥③若⊥，⊥，∥，則∥④若∥，，，則∥A.①④

B.

②③

C.

②④

D.②③④參考答案：B6.已知函數當時，有解，則實數的取值范圍為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.已知，且，則的終邊落在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

參考答案：D略8.設雙曲線的半焦距為且直線過和兩點.已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）（A）

（B）

（C）

（D）2參考答案：D由題意,ab=c2，∴a2(c2-a2)=,整理得3e4-16e2+16=0.解之得e2=4或e2=又0<a<ba2<c2-a2c2>2a2e2>2,故e2=4.∴e=2．9.某同學忘記了自己的號，但記得號是由一個2，一個5，兩個8組成的四位數，于是用這四個數隨意排成一個四位數，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的號最多嘗試次數為（

）A.18

B.24

C.6

D.12參考答案：D10.已知i為虛數單位，，若是純虛數，則的值為A．-1或1 B．1 C．-1 D．3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了解一片防風林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）、根據所得數據畫出樣品的頻率分布直方圖（如圖），那么在這100株樹木中，底部周長大于100cm的株數是__________..參考答案：【知識點】用樣本估計總體I2【答案解析】7000

由圖可知：底部周長小于100cm段的頻率為（0.01+0.02）×10=0.3，

則底部周長大于100cm的段的頻率為1-0.3=0.7

那么在這片樹木中底部周長大于100cm的株樹大約10000×0.7=7000人．

故答案為7000．【思路點撥】在頻率分布表中，頻數的和等于樣本容量，頻率的和等于1，每一小組的頻率等于這一組的頻數除以樣本容量．頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率．底部周長小于100cm的矩形的面積求和乘以樣本容量即可．12.若點在曲線:上，點在曲線:上，點在曲線:上，則的最大值是

▲

．參考答案：13.已知點的坐標滿足條件點為坐標原點，那么的最小值等于______，最大值等于_____．參考答案：，做出可行域，由條件知，可行域為三角形ABC。當點P在點A時，最小，當點P在C點時最大，由方程組可知,所以最小值為，最大值為。14.已知復數z滿足（i為虛數單位），則

.參考答案：試題分析：因為，所以，也可利用復數模的性質求解：考點：復數的模15.數列{14－2n}的前n項和為Sn，數列{︱14－2n︱}的前n項和為Sn′，若Sn的最大值為Sm，則n≥m時，Sn′＝

參考答案：16.已知f（x）=2cos（ωx+φ）+b，對于任意x∈R，f（x+）=f（﹣x），且f（）=﹣1，則b=．參考答案：1或﹣3【考點】函數的零點．【專題】三角函數的求值．【分析】由知函數的對稱軸為x=，由三角函數的圖象和性質知，對稱軸處取得函數的最大值或最小值，而函數f（x）=2cos（ωx+φ）+b的最大值和最小值分別為2+b，b﹣2，由此可求實數b的值．【解答】解：∵f（x+）=f（﹣x），∴函數f（x）關于x=對稱，∵f（）=﹣1，∴2+b=﹣1或﹣2+b=﹣1，∴b=﹣3或b=1，故答案為：﹣3或1．【點評】本題考查了三角函數的圖象和性質，函數性質的抽象表達，運用三角函數的對稱性解題是解決本題的關鍵17.每年的三月十二號是植樹節，某學校組織高中個學生及其父母以家庭為單位參加“種一棵小樹，綠一方凈土”的義務植樹活動．活動將個家庭分成兩組，組負責種植棵銀杏樹苗，組負責種植棵紫薇樹苗．根據往年的統計，每個家庭種植一棵銀杏樹苗用時，種植一棵紫薇樹苗用時.假定兩組同時開始種植,若使植樹活動持續時間最短，則組的家庭數為

，此時活動持續的時間為

．參考答案：【知識點】函數模型及其應用【試題解析】因為由已知得，得

所以，

故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（α為參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+）=4．（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程；（2）設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）利用三種方程的轉化方法，即可求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程；（2）設P為曲線C上的動點，利用參數方程，求點P到直線l的距離的最小值．【解答】解：（1）曲線C的參數方程為（α為參數），普通方程為=1直線l的極坐標方程為ρsin（θ+）=4化為：（ρsinθ+ρcosθ）=4，化成直角坐標方程為：x+y﹣8=0；（2）P（cosα，sinα）到直線x+y﹣8=0的距離d==，∴sin（α+θ）=1時，d的最小值為．19.（本小題滿分12分）

已知等比數列中，項的和為Sn．

（1）若的值；

（2）求不等式的解集．參考答案：解：（Ⅰ）得

是以為首項，２為公差的等差數列.

..8分

（Ⅱ）

即，所求不等式的解集為

…12分略20.在某市高中某學科競賽中，某一個區4000名考生的參賽成績統計如圖所示.（1）求這4000名考生的競賽平均成績（同一組中數據用該組區間中點作代表）；（2）記70分以上為優秀，70分及以下為合格，結合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有99%的把握認為該學科競賽成績與性別有關？

合格優秀合計男生

女生

合計

附：.參考答案：（1）由題意，得：中間值概率∴.∴名考生的競賽平均成績為分.（2）

合格優秀合計男生女生合計.故有的把握認為有關.21.如圖,在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.(Ⅰ)求證：平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值.

參考答案：解析：（I）提示:先證CD⊥平面PAD;

（Ⅱ）提示:取PC的中點為M,AB的中點為N,選結EM、MN、PN,先證ANME是平行四邊形,得MN∥＝AE,∴∠PMN或其補角為所求角,連AC可求得,.22.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】余弦定理．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）由余弦定理和題設條件求得cosB的值，進而利用誘導公式和二倍角公式對化簡整理，最后把cosB