冀教版九年級數學下冊全冊課件合集+全冊習題講評課件68套課件均可修改，便于分解使用1-1018頁—授課課件1019—1308頁—習題講評課件第二十九章直線與圓的位置關系29.1點和圓的位置關系1課堂講解點與圓的位置關系的判定點與圓的位置關系的性質2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升我國射擊運動員在奧運會上屢獲金牌，為祖國贏得

榮譽．你知道運動員的成績是如何計算的嗎？1知識點點與圓的位置關系的判定思考：

足球運動員踢出的足球在球場上滾動，在足球穿越中圈區（中間圓形區域）的過程中，可將足球看成一個點，這個點與圓具有怎樣的位置關系？知1－導知1－導在同一個平面內,點與圓有三種位置關系:點在圓外、點在圓上和點在圓內.點P與☉O的位置關系如圖所示.知1－導設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d=r；點P在圓內d＜r.符號“

”讀作“等價于”，它表示從符號“

”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端.如圖，在△ABC

中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，以點A為圓心、3cm為半徑畫圓，并判斷：(1)點C與⊙A的位置關系.(2)點B與⊙A的位置關系.(3)AB的中點D與⊙A的

位置關系.知1－講例1

（來自《教材》）知1－講解：已知⊙A的半徑r=3cm.(1)因為所以點C在⊙A上(2)因為AB=5cm>3cm=r，所以點B在⊙A外.(3)因為DA=AB=2.5cm＜3cm=r，

所以點

D在⊙A

內.例2

已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線l的距離d＝

OD＝3cm，在直線l上有P，Q，R三點，且有PD＝

4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三

點與⊙O的位置關系各是怎樣的？

要判斷點和圓的位置關系，實質上是要比較點到圓

心的距離與半徑的大小，而半徑為已知量，即需求

出相關點到圓心的距離．

知1－講導引：解：如圖，連接OR，OP，OQ.∵PD＝4cm，OD＝3cm，且OD⊥l，∴點P在⊙O上；∵QD＝5cm，∴點Q在⊙O外；∵RD＝3cm，∴點R在⊙O內．知1－講總

結知1－講判斷點和圓的位置關系，關鍵是計算出點到圓心的距離，再與圓的半徑比較大小，由數量關系決定位置關系；構造直角三角形并運用勾股定理是求距離的常用輔助方法．在直角坐標系中，以原點為圓心的⊙O的半徑為5.判斷以下各點與⊙O的位置關系：A(4,2)，B(－3,4)，C(4，－4)，D(1，5).知1－練（來自《教材》）1解：已知⊙O的半徑r＝5，過點A向x軸作垂線，交x軸于點M，連接OA，易得OM＝4，AM＝2，所以所以點A在⊙O內．同理可得，OB＝5＝r，所以點B在⊙O上．OC＝

＞5＝r，所以點C在⊙O外．OD＝

＞5＝r，所以點D在⊙O外．【中考·湘西州】⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離OA＝3cm，則點A與⊙O的位置關系為(

)A．點A在圓上

B．點A在圓內C．點A在圓外

D．無法確定知1－練2B若⊙O的面積為25π，在同一平面內有一個點P，且點P到圓心O的距離為4.9，則點P與⊙O的位置關系是(

)A．點P在⊙O外

B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內

D．無法確定知1－練3C【中考·宜昌】在公園的O處附近有E，F，G，H四棵樹，位置如圖所示(圖中小正方形的邊長均相等)．現計劃修建一座以O為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E，F，G，H四棵樹中需要被移除的為(

)A．E，F，G

B．F，G，HC．G，H，E

D．H，E，F知1－練4A在平面直角坐標系中，⊙P、⊙Q的位置如圖所示，下列四個點中，在⊙P外部且在⊙Q內部的是(

)A．(1，2)

B．(2，1)

C．(2，－1)

D．(3，1)知1－練5C如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是AB的中點，以B為圓心，BC的長為半徑作⊙B，則點D和⊙B的位置關系是(

)A．點D在⊙B內B．點D在⊙B上C．點D在⊙B外D．不能確定知1－練6A如圖所示.∵點B在⊙A內部，∴|a－1|＜2.∴－1＜a＜3.知2－講導引：例3若點B(a，0)在以點A(1，0)為圓心，2為半徑的圓內，則a的取值范圍為(

)A．－1＜a＜3B．a＜3C．a＞－1D．a＞3或a＜－1A2知識點點與圓的位置關系的性質總

結知2－講解答本題運用了轉化思想，關鍵是將條件轉化成點到圓心的距離與圓的半徑之間的大小關系，即列出方程或不等式來解答．知2－講例4如圖，鐵路MN和公路PQ在點O處交匯，∠QON＝30°，公路PQ上A處距離O點240米，如果火車行駛時，周圍200米以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿MN方向以72千米/時的速度行駛時，A處受到噪音影響的時間是多長？過點A作AC⊥ON于C，求出AC的長，以點A為圓心，200米為半徑作圓，與MN交于點B，D，則當火車到B點時開始對A處產生噪音影響，直到火車到D點時噪音才消失．知2－講導引：如圖，過點A作AC⊥ON于C，以點A為圓心，200米為半徑作圓，與MN交于點B，D，連接AB，AD，則AB＝AD＝200米，解：∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米．當火車到B點時對A處產生噪音影響，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得BC＝160米，同理可得CD＝160米，∴BD＝320米．∵72千米/時＝20米/秒，∴A處受到噪音影響的時間應是320÷20＝16(秒)．知2－講總

結知2－講本題考查的是點與圓的位置關系，根據火車行駛的方向，速度，以及它在以A為圓心，200米為半徑的圓內行駛的弦BD的長，求出A處受到噪音影響的時間．如圖，某海域以點A為圓心、3km為半徑的圓形區域為多暗礁的危險區，但漁業資源豐富.漁船要從點B

處前往點A處進行捕魚，B，A兩點之間的距離是10km.如果漁船始終保持10km/h的航速行駛，那么在什么時段內，漁船是安全的？漁船何時進入危險區域？知2－練（來自《教材》）1漁船在圓形區域外是安全的，＝0.7(h)，0.7h＝42min，所以漁船從點B出發，在42min以內是安全的，從42min后進入危險區域．知2－練解：已知點A在半徑為r的⊙O內，點A與點O的距離為6，則r的取值范圍是(

)A．r＞6B．r≥6C．r＜6D．r≤6知2－練2A已知矩形ABCD的邊AB＝6，AD＝8，如果以點A為圓心作⊙A，使B，C，D三點中在圓內和圓外都至少有一個點，那么⊙A的半徑r的取值范圍是(

)A．6<r<10B．8<r<10C．6<r≤8D．8<r≤10知2－練3A采石廠工人爆破時，為了安全，點燃炸藥導火線后，要在炸藥爆炸前轉移到400m以外的安全區域，導火線燃燒的速度是1cm/s，工人離開的速度是5m/s，至少需要導火線的長度是(

)A．70cmB．75cmC．79cmD．80cm知2－練4D如圖，王大伯家屋后有一塊長12m，寬8m的矩形空地，他在以長BC為直徑的半圓內種菜，他家養的一只羊平時拴在A處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長可以選用(

)A．3mB．5mC．7mD．9m知2－練5A點和圓的三種位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則1知識小結若⊙O所在平面內一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b(a>b)，則此圓的半徑為(

)A.B.C.或D．a＋b或a－b2易錯小結C易錯點：考慮問題不全面而致錯第二十九章

直線與圓的位置關系29.2直線與圓的位置關系1課堂講解直線與圓的位置關系與直線與圓的公共點個數間的關系直線與圓的位置關系的判定直線與圓的位置關系的性質2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升點和圓的位置關系有哪幾種？

（1）d<r（2）d=r（3）d>rABCd點A在圓內點B在圓上點C在圓外三種位置關系O點到圓心距離為d⊙O半徑為r回顧：1知識點直線與圓的位置關系與直線與圓的公共點個數間的關系知1－導清晨,一輪紅日從東方冉冉升起,太陽的輪廓就像一個運動的圓,從地平線下漸漸升到空中.在此過程中,太陽輪廓與地平線有幾種不同的位置關系呢?知1－導●O●O

把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，注意觀察直線與圓的公共點的個數.a(地平線)a(地平線)●O●O●O三你發現這個自然現象反映出直線和圓的公共點個數有________種情況.●●●●知1－導如圖（2），在紙上畫一條直線l，把鑰匙環看作一個圓.在紙上移動鑰匙環，你能發現在移動鑰匙環的過程中，它與直線l的公共點個數的變化情況嗎？lO知1－講

直線和圓只有一個公共點，這時我們就說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

直線和圓有兩個公共點，這時我們就說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線.

直線和圓沒有公共點，這時我們就說這條直線和圓相離.知1－講例1若直線l與⊙O有公共交點，則直線l與⊙O

的位置關系是()A．相交B．相切C．相離D．相切或相交直線l與⊙O有公共交點有兩種情況：(1)有惟一公共交點，此時直線l與⊙O相切；(2)有兩個交點，此時直線l與⊙O相交，故應選D．D導引：若直線m與⊙O的公共點個數不小于1，則直線m與⊙O的位置關系是(

)A．相交

B．相切C．相交或相切

D．相離知1－練1C下列命題：①如果一條直線與圓沒有公共點，那么這條直線與圓相離；②如果一條射線與圓沒有公共點，那么這條射線所在的直線與圓相離；③如果一條線段與圓沒有公共點，那么這條線段所在的直線與圓相離．其中為真命題的是(

)A．①

B．②C．③

D．①②③知1－練2A2知識點直線與圓的位置關系的判定知2－導思考：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，在直線和圓的不同位置關系中，你能根據d與r的大小關系確定直線和圓的位置關系嗎？知2－導如圖，圓心O到直線的距離d與⊙O的半徑r的大小有什么關系?●O●O相交●O相切相離rrr┐dd┐d┐1)直線和圓相交d______r;2)直線和圓相切3)直線和圓相離＜d______r;＝d______r;＞如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.以點C為圓心，2cm，2.4cm，3cm分別為半徑畫⊙C，斜邊AB分別與⊙C有怎樣的位置關系？為什么？知2－講例2

（來自《教材》）如圖，過點C作CD丄AB，垂足為D.在Rt△ABC中，由三角形的面積公式，并整理，得AC

?

BC=AB

?

CD.從而即圓心C到斜邊AB的距離d=2.4cm.當r=2cm時，d＞r，斜邊AB與⊙C相離.當r=2.4cm時，d＝r，斜邊AB與⊙C相切.當r=3cm時，d＜r，斜邊AB與⊙C相交.知2－講解：（來自《教材》）已知一個圓的直徑為10.如果這個圓的圓心到一條直線的距離分別等于3,5,6，那么這條直線與這個圓的位置關系分別是怎樣的？知2－練（來自《教材》）1因為圓的直徑為10，所以圓的半徑為5.當直線與圓心的距離等于3時，因為3＜5，所以直線與圓相交；當直線與圓心的距離等于5時，因為5＝5，所以直線與圓相切；當直線與圓心的距離等于6時，因為6＞5，所以直線與圓相離．解：如圖，∠AOB=30°，M為OB

上一點，且OM=6cm.以點M為圓心畫圓，當其半徑r分別等于2cm，3cm，4cm時，直線OA與⊙M分別有怎樣的位置關系？為什么？知2－練（來自《教材》）2知2－練（來自《教材》）過點M作OA的垂線，垂足為N.因為∠AOB＝30°，∠ONM＝90°，OM＝6cm，所以MN＝12OM＝3cm.當r＝2cm時，MN＞r，所以⊙M與直線OA相離；當r＝3cm時，MN＝r，所以⊙M與直線OA相切；當r＝4cm時，MN＜r，所以⊙M與直線OA相交解：【中考·湘西州】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以點C為圓心，以2.5cm為半徑畫圓，則⊙C與直線AB的位置關系是(

)A．相交

B．相切C．相離

D．不能確定知2－練3A已知⊙O的半徑為3，M為直線AB上一點，若MO＝3，則直線AB與⊙O的位置關系為(

)A．相切

B．相交C．相切或相離

D．相切或相交知2－練4D如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分別是AC，AB的中點，則以DE為直徑的圓與BC的位置關系是(

)A．相交B．相切C．相離D．無法確定知2－練5A如圖，在直角坐標系中，⊙O的半徑為1，則直線y＝－x＋

與⊙O的位置關系是(

)A．相離B．相交C．相切D．以上三種情形都有可能知2－練6C3知識點

直線與圓的位置關系的性質知3－講

例3在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝

90°.若以點C為圓心，r為半徑的圓與直線AB不相離，求r的取值范圍．⊙C與直線AB不相離，即⊙C與直線AB相交或相切，因此只需點C到直線AB的距離小于或等于r.

導引：知3－講如圖，過點C作CD⊥AB于點D.

在Rt△ABC中，

AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，

∴AB＝又∵S△ABC＝AB?CD=AC?BC,∴CD＝2.4cm.∴r≥2.4cm.解：總

結知3－講(1)直線和圓的位置關系的應用過程實質是一種數形

結合思想的轉化過程，它始終是“數”：圓心到

直線的距離與圓的半徑大小，與“形”：直線和

圓的位置關系之間的相互轉化．(2)圓心到直線的距離通常用勾股定理與面積相等法

求出．【中考·永州】如圖，給定一個半徑長為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM＝d.我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數記為m.如d＝0時，l為經過圓心O的一條直線，此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點，即m＝4，由此可知：(1)當d＝3時，m＝________；(2)當m＝2時，d的取值范圍

是___________．知3－練111＜d＜3【中考·百色】以坐標原點O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y＝－x＋b與⊙O相交，則b的取值范圍是(

)A．0≤b＜2B．－2≤b≤2C．－2＜b＜2D．－2＜b＜2知3－練2D【中考·益陽】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為(－3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為(

)A．1

B．1或5

C．3

D．5知3－練3B【中考·臺州】如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是(

)A．6

B．

C．9

D.知3－練4C1.直線和圓的位置關系：相交、相切、相離.（1）從公共點數來判斷；（2）從d與r間的數量關系來判斷.2.直線和圓的位置關系的性質與判定：（1）直線和圓相離d＞r；（2）直線和圓相切d=r；（3）直線和圓相交d＜r.1知識小結如圖，在平面直角坐標系第一象限內有一矩形OABC，B(4，2)，現有一圓同時和這個矩形的三邊都相切，則此圓的圓心P的坐標為______________________________．易錯點：判斷圓和各邊相切時考慮不全而漏解.(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)2易錯小結第二十九章直線與圓的位置關系29.3切線的性質與判定第1課時切線的性質1課堂講解切線的性質定理切線性質定理的應用2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升前一節課已經學到點和圓的位置關系．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?

d>r，如圖（a）所示；點P在圓上?d=r，如圖（b）所示；點P在圓內?d<r，如圖（c）所示．1知識點切線的性質定理知1－導前面我們已學過的切線的性質有哪些？答：①切線和圓有且只有一個公共點；②切線和圓心的距離等于半徑.切線還有什么性質？知1－導切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.例1

[中考·梅州]如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切

線，A為切點，BC經過圓心．若∠B＝20°，則

∠C的大小為(

)A．20°

B．25°C．40°D．50°知1－講D如圖，連接OA，根據切線的性質，先求出∠OAC＝90°，再根據等腰三角形的性質和∠B＝20°，可以求出∠AOC＝40°，最后根據直角三角形中兩銳角互余就可以求出∠C＝50°.答案：D知1－講（來自教材）導引:總

結知1－講(1)半徑處處相等可得等腰三角形，從而底角相等；(2)切線垂直于過切點的半徑得直角三角形，從而

兩銳角互余．如圖，PA為⊙O的切線，切點為A，OP=2，∠APO=30°求⊙O的半徑.知1－練（來自教材）1連接OA，則OA為⊙O的半徑，因為PA是⊙O的切線，所以OA⊥AP，又∠APO＝30°，OP＝2，所以OA＝

OP＝1，即⊙O的半徑為1.解:如圖，CD為⊙O的直徑，點A在DC的延長線上，直線AE與⊙O相切于點B，∠A=28°.求∠DBE的度數.知1－練（來自教材）2知1－練（來自教材）連接OB，則OB＝OD，因為AE與⊙O相切于點B，所以OB⊥AE，即∠ABO＝90°，又因為∠A＝28°，所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°.所以∠OBD＝∠ODB＝12∠AOB＝31°.所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°.解:下列說法正確的是(

)A．圓的切線垂直于半徑B．垂直于切線的直線經過圓心C．經過圓心且垂直于切線的直線經過切點D．經過切點的直線經過圓心知1－練3C【中考·吉林】如圖，直線l是⊙O的切線，A為切點，B為直線l上一點，連接OB交⊙O于點C.若AB＝12，OA＝5，則BC的長為(

)A．5B．6C．7D．8知1－練4D【中考·無錫】如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，BC交⊙O于點D，若∠C＝70°，則∠AOD的度數為(

)A．70°B．35°C．20°D．40°知1－練5D【中考·湖州】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB＝90°，∠A＝25°，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點D，則∠D的度數是(

)A．25°B．40°C．50°D．65°知1－練6B【中考·邵陽】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD＝30°，則∠DBA的大小是(

)A．15°B．30°C．60°D．75°知1－練7B【中考·泰安】如圖，圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M，若∠ABC＝55°，則∠ACD等于(

)A．20°B．35°C．40°D．55°知1－練8A2知識點切線性質定理的應用知2－講例2如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝2∠B，⊙O的切線AP與OC的延長線相交于點P，若PA＝6cm，求AC的長．知2－講根據AB是⊙O的直徑求出∠ACB＝90°，再根據∠BAC＝2∠B求出∠B＝30°，∠BAC＝60°，得出△AOC是等邊三角形，得出∠AOC＝60°，OA＝AC，在Rt△OAP中，求出OA，即可求出AC的長．導引：知2－講∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝30°，∠BAC＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，AC＝OA.∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°.在Rt△OAP中，∵PA＝6cm，∠AOP＝60°，∴OA＝＝6(cm)，∴AC＝OA＝6cm.解：總

結知2－講圓的切線垂直于過切點的半徑，這個性質為解題提供了隱含條件．當已知直線為圓的切線時，可以連接過切點的半徑，由切線的性質得出直角三角形，再根據銳角三角函數求解．如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D，若OD＝2，tan∠OAB＝

，則AB的長是(

)A．4B．2C．8D．4知2－練1C【中考·無錫】如圖，菱形ABCD的邊AB＝20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO＝10，則⊙O的半徑長等于(

)A．5B．6C．2D．3知2－練2C如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限內，x軸與⊙P相切于點Q，y軸與⊙P相交于M(0，2)，N(0，8)兩點，則點P的坐標是(

)A．(5，3)B．(3，5)C．(5，4)D．(4，5)知2－練3D【中考·宜昌】如圖，圓形薄鐵片與直角三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上．已知鐵片的圓心為O，三角尺的直角頂點C落在直尺的10cm處，鐵片與直尺的唯一公共點A落在直尺的14cm處，鐵片與三角尺的唯一公共點為B.下列說法錯誤的是(

)A．圓形鐵片的半徑是4cmB．四邊形AOBC為正方形C．弧AB的長度為4πcmD．扇形OAB的面積是4πcm2知2－練4C圓的切線垂直于過切點的半徑.已知直線滿足：(1)過圓心；(2)過切點；(3)垂直于直線任意兩個，就可得到第三個.1知識小結【中考·嘉興】如圖，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為(

)A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6易錯點：忽視“過切點”這一條件而致錯.B2易錯小結第二十九章

直線與圓的位置關系29.3切線的性質與判定第2課時

切線的判定1課堂講解切線的判定定理切線的性質和判定的應用2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升1.直線和圓有哪些位置關系？

相交、相切、相離2.切線的性質是什么？性質:圓的切線垂直于過切點的半徑.

幾何語言：如圖所示，∵直線l切☉O于T，∴OT⊥l.回顧舊知1知識點切線的判定定理知1－導如圖，在⊙O中，經過半徑OA的外端點A

作直線

l⊥OA，則圓心O到直線l的距離是多少？直線l和⊙O

有什么位置關系？經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．lOA

例1如圖，已知AB為⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，

BD＝OB，點C在圓上，∠CAB＝30°.

求證：DC是⊙O的切線．

因為點C在圓上，所以連接OC，

證明OC⊥CD，而要證OC⊥CD，

只需證△OCD為直角三角形．知1－講導引：知1－講證明：如圖，連接OC，BC.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝OB.又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝OD，∴∠OCD＝90°.∴DC是⊙O的切線．知1－講切線的判定方法有三種：①直線與圓有唯一公共點；②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；③切線的判定定理．即

經過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的

切線.如圖，直線AB經過⊙O上一點C，并且OA=OB，CA=CB.直線AB與⊙O具有怎樣的位置關系？請說明理由.知1－練（來自《教材》）1AB與⊙O相切，理由如下：連接OC，因為OA＝OB，CA＝CB，所以△AOB是等腰三角形，且OC是△AOB底邊上的中線，所以OC⊥AB.又因為直線AB經過半徑OC的外端，所以AB與⊙O相切．解：下列四個命題：①與圓有公共點的直線是圓的切線；②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；③到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；④過直徑端點，且垂直于此直徑的直線是圓的切線．其中是真命題的是(

)A．①②B．②③C．③④D．①④知1－練2C如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，下列選項中，能使過點A的直線EF與⊙O相切于點A的條件是(

)A．∠EAB＝∠C

B．∠EAB＝∠BACC．EF⊥AC

D．AC是⊙O的直徑知1－練3A如圖所示，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點C，點B是優弧CA上一點，若∠P＝26°，則∠ABC的度數為(

)A．26°B．64°C．32°D．90°知1－練4C如圖，點P在⊙O的直徑BA延長線上，PC與⊙O相切，切點為C，點D在⊙O上，連接PD、BD，已知PC＝PD＝BC.下列結論：①PD與⊙O相切；②四邊形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中，正確的有(

)A．4個B．3個C．2個D．1個知1－練5A如圖，AB是⊙O的直徑，線段BC與⊙O的交點D是BC的中點，DE⊥AC于點E，連接AD，則下列結論中正確的個數是(

)①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切線．A．1B．2C．3D．4知1－練6D2知識點切線的性質和判定的應用知2－導[中考·湖州]如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，

求切線AC的長；(2)求證：DE是⊙O的切線．

例2(1)已知BC是⊙O的直徑，可連接CD，構造直徑

所對的圓周角，結合AD＝DB，可得AC＝BC；(2)要證DE是⊙O的切線，而點D在圓上，可聯想

到連接OD，設法證DE⊥OD即可．知2－講導引：(1)連接CD，如圖.∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AD＝DB，

∴AC＝BC＝2OC＝10.知2－講解：(2)連接OD，如圖.∵∠ADC＝90°，E為AC的中點，∴DE＝EC＝

AC，∴∠1＝∠2，∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，∵AC切⊙O于點C，∴AC⊥OC，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．知2－講證明：總

結知2－講看到切線，就想到作過切點的半徑，看到直徑就想到直徑所對的圓周角是直角；看到切線的判定，就想到：①有切點，連半徑，證垂直；②無切點，作垂線，證相等．如圖，P是⊙O外一點，OP交⊙O于點A，OA＝AP.甲、乙兩人想作一條過點P且與⊙O相切的直線，其作法如下：甲：以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，

交⊙O于B點，則直線BP即為所求．乙：過點A作直線MN⊥OP，以點O為圓心，OP為半徑畫弧，交射線AM于點B，連接OB，交⊙O于點C，直線CP即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是(

)A．甲正確，乙錯誤B．甲錯誤，乙正確C．兩人都正確D．兩人都錯誤知2－練1C如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是(

)A．點(0，3)

B．點(2，3)

C．點(5，1)

D．點(6，1)知2－練2C如圖，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作∠ABC的角平分線交AC于D，以D為圓心，DA為半徑作圓，與射線BD交于點E，F.有下列結論：①△ABC是直角三角形；②⊙D與直線BC相切；③點E是線段BF的黃金分割點；④tan∠CDF＝2.其中正確的結論有(

)A．4個B．3個C．2個D．1個知2－練3A圓的切線切線的判定切線的性質定義法數量法d=r判定定理切線和圓只有一個公共點圓心到切線的距離等于半徑圓的切線垂直于過切點的半徑↗↗↗↘↘↘→→1知識小結如圖，點O為∠MPN的平分線上一點，以點O為圓心的⊙O與PN相切于點A.求證：PM為⊙O的切線．2易錯小結易錯點：判定直線與圓相切時理由不充分.如圖，連接OA，過點O作OB⊥PM于點B.∵PN與⊙O相切于點A，∴OA⊥PN.∵點O在∠MPN的平分線上，

OB⊥PM，∴OB＝OA.∴點O到直線PM的距離等于⊙O的半徑．∴PM為⊙O的切線．證明：易錯總結：利用切線的判定定理需滿足兩個條件：(1)經過半徑外端，(2)與這條半徑垂直，這兩個條件缺一不可．證明一

條直線是圓的切線時，當直線和圓未明確是否有

公共點時，應“作垂線，證半徑”，而本題易錯

解為“連半徑，證垂直”．第二十九章

直線與圓的位置關系29.4切線長定理第1課時

切線長定理1課堂講解切線長定理切線長定理的應用2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升前面我們已經學習了切線的判定和性質，已知⊙O和⊙O外一點P，你能夠過點P畫出⊙O的切線嗎？1.猜想：圖中的線段PA與PB有什么關系？2.圖中還有哪些量？猜想它們之間有什么關系？1知識點切線長定理知1－講PBCO切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長.思考：切線長和切線的區別和聯系？歸納知1－講切線是直線，不可以度量；切線長是指切線上的一條線段的長，可以度量.知1－講切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.PABO請你們結合圖形用數學語言表達定理PA、PB分別切⊙O于A、B,連結POPA=PB∠OPA=∠OPB已知：如圖，過點P的兩條直線分別與⊙O相切于點A，B，Q為劣弧AB上異于點A，B的任意一點，過點Q的切線分別與切線PA，PB相交于點C，D.求證：△PCD的周長等于2PA.知1－講⌒

例1（來自《教材》）（來自《教材》）知1－講∵PA，PB，CD都是⊙O的切線，∴PA=PB

，

CQ=CA，DQ=DB.△PCD的周長=PC+PD+CD

=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB

=PA+PB=2PA.證明：總

結知1－講利用切線長定理，可以進行線段的替換，從而求線段的和或差的長度.1下列說法正確的是(

)A．過任意一點總可以作圓的兩條切線

B．圓的切線長就是圓的切線的長度

C．過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等

D．過圓外一點所畫的圓的切線長一定大于圓的半徑知1－練C如圖，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，連接OP，AB.下列結論不一定正確的是(

)A．PA＝PB

B．OP垂直平分AB

C．∠OPA＝∠OPB

D．PA＝AB知1－練2D【中考·南充】如圖，PA和PB是⊙O的切線，點A和B是切點，AC是⊙O的直徑，已知∠P＝40°，則∠ACB的大小是(

)A．60°

B．65°C．70°

D．75°知1－練3C如圖，PA，PB是⊙O的切線，且∠APB＝50°，下列結論不正確的是(

)A．PA＝PB

B．∠APO＝25°C．∠OBP＝65°D．∠AOP＝65°知1－練4C2知識點切線長定理的應用知2－講如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別為A，B，BC為⊙O的直徑，連接AB，AC，OP.求證：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.例2知2－講(1)由切線長定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

而要證∠APB＝2∠ABC，即證明∠ABC＝

∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可證；(2)證明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也

可用同位角相等來證．（來自教材）導引：知2－講(1)∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，

∴由切線長定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

PA＝PB，∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.又∵PB是⊙O的切線，∴OB⊥PB.∴∠ABP＋∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠BPO＝∠APB，即∠APB＝2∠ABC.證明：知2－講(2)∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.知2－講總結切線長定理的內容揭示兩個方面，一是切線長相等，揭示線段之間的數量關系；二是與圓心的連線平分兩切線的夾角．

這兩個方面的內容為證明線段之間的關系或者角之間的關系提供了大量的條件．為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個含有30°角的三角尺和一把刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑．若P為切點，測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是________．知2－練1【中考·南京】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為(

)B.

C.

D．知2－練2A【中考·荊州】如圖，過⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，OP交⊙O于點C，點D是優弧AC上不與點A、點C重合的一個動點，連接AD，CD.若∠APB＝80°，則∠ADC的度數是(

)A．15°B．20°C．25°D．30°知2－練3C如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，點C是劣弧AB上一點，過點C的切線分別交PA，PB于點M，N，若⊙O的半徑為2，∠P＝60°，則△PMN的周長為(

)A．4B．6C．4D．6知2－練4C如圖，AB為半圓O的直徑，AD，BC分別切⊙O于A，B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于點D，BC與CD相交于點C，連接OD，OC，對于下列結論：①OD2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝

CD·OA；⑤∠DOC＝90°.其中正確的結論是(

)A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤知2－練5A切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.1知識小結既有外接圓，又有內切圓的平行四邊形是(

)A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形2易錯小結C易錯點：變式應用切線長定理時因考慮不全而致錯.第二十九章

直線與圓的位置關系29.4切線長定理第2課時

三角形的內切圓1課堂講解三角形內切圓及相關概念三角形內切圓的性質2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升復習回顧什么是切線長定理？1知識點三角形內切圓及相關概念知1－講從一塊三角形的材料上截下一塊圓形的用料，怎樣才能使圓的面積盡可能最大呢？知1－講作圓：使它和已知三角形的各邊都相切已知：△ABC求作：和△ABC的各邊都相切的圓作法：1、作∠B,∠C的平分線BM和CN，交點為O2、過點O作OD

⊥BC.垂足為D.3、以O為圓心，OD為半徑作圓O.如圖，點O是△ABC的內切圓的圓心，若∠BAC＝80°，則∠BOC的度數為(

)A．130°

B．100°

C．50°

D．65°知1－講由題意知BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)

＝×(180°－80°)＝50°，∴∠BOC＝180°－50°＝130°.例1導引：A總

結知1－講根據內心的確定方法可知，內心就是三角形三條內角平分線的交點．解決此類問題可以轉化為三角形中求兩條角平分線的夾角問題．如圖，⊙O為△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F.(1)圖中有幾對相等的線段？(2) 若AD=2，BE=3，CF=1，求△ABC的周長.知1－練（來自《教材》）1知1－講(1)因為⊙O為△ABC的內切圓，切點分別為D，

E，F，

所以AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，

所以圖中有3對相等的線段．(2)因為AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，

所以△ABC的周長＝AB＋BC＋AC

＝2(AD＋BE＋CF)

＝2×(2＋3＋1)＝12.解：如圖，在△ABC中，∠A=50°，它的內心為I.求∠BIC的度數.知1－練（來自《教材》）2因為I是△ABC的內心，所以⊙I是△ABC的內切圓，所以BI，CI分別是∠ABC，∠ACB的平分線．又因為∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝130°，所以∠IBC＋∠ICB＝65°，所以∠BIC＝180°－65°＝115°.解：下列說法錯誤的是(

)A．三角形的內切圓與三角形的三邊都相切B．一個三角形一定有唯一一個內切圓C．一個圓一定有唯一一個外切三角形D．等邊三角形的內切圓與外接圓是同心圓知1－練3C【中考·廣州】如圖，⊙O是△ABC的內切圓，則點O是△ABC的(

)A．三條邊的垂直平分線的交點B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點D．三條高的交點知1－練4B【中考·河北】如圖為4×4的網格圖，A，B，C，D，O均在格點上，點O是(

)A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的內心D．△ABC的內心知1－練5B下列說法：①三角形的內心不一定在三角形的內部；②若點I是△ABC的內心，則AI平分∠BAC；③三角形有唯一的內切圓，圓有唯一的外切三角形．其中正確的有(

)A．0個B．1個C．2個D．3個知1－練6B【中考·眉山】如圖，在△ABC中，∠A＝66°，點I是內心，則∠BIC的大小為(

)A．114°B．122°C．123°D．132°知1－練7C知2－講2知識點三角形內切圓的性質如圖所示，⊙O是Rt△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半徑r.例2知2－講連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解，還可以發現四邊形OECD為正方形，則可利用切線長定理，用含r的代數式表示AB的長再求解．導引：知2－講方法一：如圖，連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，則OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝

＝5.∵S△ABC＝

S△COB＋

S△BOA＋

S△AOC，∴AC·BC＝BC·r＋AB·r＋AC·r

＝(BC＋AB＋AC)·r.∴r＝

＝1.解：知2－講方法二：如圖，連接OD，OE，則OE⊥AC，OD⊥BC，又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r，∴四邊形OECD是正方形．∴EC＝CD＝r.∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD

＝(AC－EC)＋(BC－CD)

＝3－r＋4－r＝7－2r.又易知AB＝＝5，∴7－2r＝5，即r＝1.【中考·德州】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步．問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步(如圖)，問該直角三角形能容納的圓形(內切圓)直徑是多少？”(

)A．3步B．5步C．6步D．8步知2－練1C在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則它的內切圓半徑是(

)A.B．1C．2D.知2－練2B如圖，正三角形ABC的內切圓半徑為1，那么這個正三角形的邊長為(

)A．2B．3C.D．2知2－練3D【中考·武漢】已知一個三角形的三邊長分別為5，7，8，則其內切圓的半徑為(

)A.B.C.D．知2－練4C【中考·遵義】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，連接AC，⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內切圓，則PQ的長是(

)A.B.C.D．知2－練5B如圖，O是△ABC的內心，過點O作EF∥AB，與AC，BC分別相交于點E，F，則(

)A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF知2－練6C內切圓：與三角形的三邊都相切的圓有且只有一個,我們稱這個圓為三角形的內切圓.內心：內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內心.1知識小結如圖，在△ABC中，點I是△ABC的內心，∠BAC的平分線和△ABC的外接圓相交于點D和BC交于點E.求證：DI＝DB.2易錯小結易錯點：混淆外心與內心的概念.如圖，連接BI.∵點I是△ABC的內心，∴BI平分∠ABC.∴∠ABI＝∠CBI.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠DAC與∠DBC均為DC所對的圓周角，∴∠DAC＝∠DBC.∴∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠BID＝∠IBD.∴DI＝DB.證明：︵三角形的內心是三角形內切圓的圓心，即三角形三條角平分線的交點；三角形的外心是三角形外接圓的圓心，即三角形三邊垂直平分線的交點．本題中既出現了三角形的外接圓，又出現了三角形的內切圓，易混淆三角形的內心與外心的概念，造成證明錯誤．易錯總結：第二十九章

直線與圓的位置關系29.5正多邊形與圓第1課時圓內接正多邊形1課堂講解圓內接正多邊形及相關定義圓內接正多邊形的畫法2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升1.觀察下面的三幅圖片，說說圖片中各包含哪些多邊形.2.日常生活中我們經常看到哪些多邊形形狀的物體?1知識點圓內接正多邊形及相關定義

頂點都在同一圓上的正多邊形叫做圓內接正多邊形.這個圓叫做該正多邊形的外接圓.知1－導知1－講正n邊形的各角相等，且每個內角為：每個外角為：知1－講下列說法不正確的是(

)A．等邊三角形是正多邊形B．各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形C．菱形不一定是正多邊形D．各角相等的多邊形是正多邊形例1導引：等邊三角形是正三角形；各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形；當菱形的四個角相等時才是正多邊形(正方形)，所以菱形不一定是正多邊形；D說法不正確.答案：DD總

結知1－講正多邊形的識別要從兩個角度去看，一是邊都相等；二是內角都相等．知1－講如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求證：五邊形ABCDE是正五邊形．例2導引：根據同圓中相等的圓周角所對的弧相等，得出

利用等式的性質，兩邊同時減去

，即可得到

，根據等弧所對的弦相等，得出BC＝AE.知1－講解：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圓周角∠A對

，

圓周角∠B對

，∴.∴，即.∴BC＝AE.同理可證其余各邊都相等．∴五邊形ABCDE是正五邊形．總

結知1－講(1)證正多邊形和圓的關系，在圖形中找到圓的弧、弦等，利用同(等)弧所對的圓周角相等、所對的弦相等解答．其證明思路如下：角相等?弧相等?弦相等??正多邊形．(2)證明一個多邊形是正多邊形的方法：①利用定義，證出各邊相等，各角相等；②利用圓內接多邊形，證明各邊所對的弧相等，即把圓n等分，依次連接各等分點，所得多邊形即為正多邊形．知1－練（來自《教材》）對于三角形，如果三邊相等，那么它的三個角一定相等.反過來，如果三個角相等，那么它的三邊也一定相等.對于其他多邊形，如果去掉“各邊相等”和“各角相等”兩個條件中的任意一個，還能保證這個多邊形是正多邊形嗎？請舉例說明.1解：不能．例如：菱形的各邊都相等，但不是正多邊形．知1－練（來自《教材》）一個正多邊形的邊心距與邊長的比為

，求這個正多邊形的邊數.2解：連接OA，OB，如圖．設OC＝a，則AB＝2a.∴AC＝BC＝a.∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°.∵360°÷90°＝4.∴這個正多邊形的邊數為4.知1－練【中考·株洲】下列圓的內接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是(

)A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形正多邊形的一邊所對的中心角與該多邊形的一個內角的關系為(

)A．兩角互余B．兩角互補C．兩角互余或互補D．不能確定34AB知1－練【中考·濱州】若正方形的外接圓半徑為2，則其內切圓半徑為(

)A．B.C．D．15A知1－練【中考·沈陽】正六邊形ABCDEF內接于⊙O，正六邊形的周