用心愛心專心 用心愛心專心 #第講棄九法從第講知道，如果一個數的各個數位上的數字之和能被整除，那么這個數能被整除；如果一個數各個數位上的數字之和被除余數是幾，那么這個數被除的余數也一定是幾。利用這個性質可以迅速地判斷一個數能否被整除或者求出被除的余數是幾。例如， 這個數，各個數位上的數字之和為++++++= 0被除余，所以這個數不能被整除，且被除后余數為。但是，當一個數的數位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被除的余數，所以凡是若干個數的和是時，就把這些數劃掉，如+=9+=9+=9把這些數劃掉后，最多只剩下一個（如下圖），所以這個數除以的余數是。這種將和為或的倍數的數字劃掉，用剩下的數字和求除以的余數的方法，叫做棄九法。一個數被除的余數叫做這個數的九余數。利用棄九法可以計算一個數的九余數，還可以檢驗四則運算的正確性。例求多位數 除以的余數。分析與解：利用棄九法，將和為的數依次劃掉。76葬區履區76葬區履區1342於4又15只剩下7 6 1四個數，這時口算一下即可。口算知，7 6的和是的倍數，又可劃掉，只剩下。所以這個多位數除以余。例將自然數12，…依次無間隔地寫下去組成一個數 …如果一直寫到自然數，那么所得的數除以的余數是多少？分析與解：因為這個數太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為或的倍數的數，所以要配合適當的分析。我們已經熟知+++…+=,而是的倍數，所以每一組12，…，都可以劃掉。在?這九十九個數中，個位數有十組123…，，都可劃掉；十位數也有十組12，…，9也都劃掉。這樣在這個大數中，除了以外，只剩下最后的中的數字。所以這個數除以余。在上面的解法中，并沒有計算出這個數各個數位上的數字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數與它的各個數位上的數字之和除以的余數相同，所以題中這個數各個數位上的數字之和，與++…+除以的余數相同。利用高斯求和法，知此和是 。因為 的數字和為+++ ,利用棄九法，棄去一個余，故除以余。因此題中的數除以余。例檢驗下面的加法算式是否正確：+ + = 。分析與解：若干個加數的九余數相加，所得和的九余數應當等于這些加數的和的九余數。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數的九余數依次為8,6 的九余數為0和的九余數為。因為W1所以這個算式不正確。例檢驗下面的減法算式是否正確：分析與解：被減數的九余數減去減數的九余數（若不夠減，可在被減數的九余數上加9然后再減）應當等于差的九余數。如果不等，那么這個減法計算肯定不正確。上式中被減數的九余數是3減數的九余數是，由（）=知，原題等號左邊的九余數是。等號右邊的九余數也是。因為=6所以這個減法運算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數只有。1，…，九種情況，不同的數可能有相同的九余數。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。例檢驗下面的乘法算式是否正確：X= 5分析與解：兩個因數的九余數相乘，所得的數的九余數應當等于兩個因數的乘積的九余數。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數的九余數是4乘數的九余數是6X=,的九余數是。乘積的九余數是7W7所以這個算式不正確。TOC\o"1-5"\h\z說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數除數X商余數，所以當余數為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗 8的正確性，只需檢驗 X 的正確性。練習1求下列各數除以的余數：() 8 5) ；() ；() 。2求下列各式除以的余數：() + 5() -()X5() X63用棄九法檢驗下列各題計算的正確性