鏡像法與點電荷的對比分析

1.提出問題1.1各不含金質體的q“電燈”是一門關于電氣工程和其他專業的技術基礎課程。鏡像法作為等效方法的一種,在電磁場中具有廣泛的應用。在解決靜電場邊值問題的時候,我們用到了鏡像法。其中最簡單的例子就是當接地無限大導體平面上方只有一個點電荷q的情形。由于q的存在,使得無限大導體表面感應出一定量的電荷。如圖1(a)所示的導體上方一點P處的電場,即是由此點電荷與這些感應電荷共同產生的。此時,從等效的角度來說,我們就可把此無限大導體平面撤去,對上半空間任一點P的電場或電位,可看成是q和它對稱位置上放置一個q1=-q共同作用的結果。這些感應電荷的作用等效為該鏡像電荷q1=-q的作用,如圖1(b)所示;同理,對下半空間任一點P′而言,由于電荷上下的對稱性,這些感應電荷的作用相當于在原q的位置上再放一個q1=-q,由于二者帶等值的異號電荷,所以處的場強為零,這也符合導體內場強為零這一結論,如圖1(c)所示。1.2上半空間p處的場現在討論點電荷介質極化情況。為簡明起見,討論點電荷的雙層介質情況。假設平面的上、下半空間分別充滿介電常數為ε1與ε2的均勻介質,在上半空間有一點電荷q。雙層介質中任一點P處的電場分布如圖2(a)所示。我們在這里使用這樣的鏡像系統:即認為上半空間P處的場由原來電荷q和鏡像點的像電荷q′所產生(這時介電常數ε1的介質布滿整個空間);又認為下半空間P′處的場由q″產生(這時介電常數ε2的介質布滿整個空間),如圖2(b)與2(c)所示。這里有一個問題:根據在1.1中的討論,從極化的角度,在下半空間應該為原點電荷與鏡像電荷的疊加,即q″=q+ε1-ε2ε1+ε2q=2ε1ε1+ε2q(1)q′′=q+ε1?ε2ε1+ε2q=2ε1ε1+ε2q(1)而實際結果為圖2(c)所示,有q″=2ε2ε1+ε2q(2)q′′=2ε2ε1+ε2q(2)將上式與(1)相比有明顯的差別,此時便產生了一個悖論,到底哪個正確呢?2.空間上半空間的電場分布的方法對于這個問題,我們須從其物理本質上進行分析。當點電荷q所在空間的介電常數為ε1時,q的周圍會產生一定量的極化電荷,設空間任一點的電位移向量為→DD?,電極化強度為→ΡP?,則??→D=Ρ??D?=P;??→Ρ=-ρΡ(3)??P?=?ρP(3)又有→D=ε0→E+→ΡD?=ε0E?+P?,即→Ρ=→D-ε0→E=→D(ε1-ε0)/ε1,所以q處的實際電量為原q與q表面所有極化電荷之和:qΣ=q+qp=q-∮sp·dS=q+[(ε0-ε1)/ε1]∮sD·dS=q+q(ε0-ε1)/ε1=qε0/ε1(4)至于兩層介質分界面,可從物理底層看成一層分布在表面的極化電荷,即相當于q′Σ的作用。此時已經考慮到不同介質對于電荷量的影響,則可將整個空間視為介電常數為ε0,即真空。同理有q′Σ=ε0ε1q′=ε0ε1?ε1-ε2ε1+ε2q如圖3(a)所示,此時再利用開始的結論,對于下半空間p′處,與1.1原理相對應。此處相當于有實際的自由電荷為q″Σ=qΣ+q′Σ=ε0ε1q+ε0ε1?ε1-ε2ε1+ε2q=2ε0ε1+ε2qq″Σ為獨自在P′處產生電場,如圖3(b)所示。在前面的推導過程中,我們將整個空間的介電常數都視為ε0。但在這個實際問題中,研究空間下半平面的電場分布時,空間的介電常數是ε2。依據上述結論,如果下半空間的介電常數是ε2,則在此空間作用的電荷為q″Σ=ε0ε1q′?q″=ε2ε0q″Σ=ε2ε1?2ε2ε1+ε2q=ε1-ε2ε1+ε2q(5)可見它與公式(2)的結果是一樣的。我們再一次驗證一下q′,同理在上半空間作用的電荷為q′Σ=ε0ε1q′?q′=ε1ε0q′Σ=ε1ε0?ε0ε1?ε1-ε2ε1+ε2q=ε1-ε2ε1+ε2q(6)電荷的分布如圖4(a)與4(b)所示。至此,我們完成二者在形式上的統一。3.學生在進行磁場分析中的應用極化和鏡像的概念一直都是電磁場教學中的一個難點。本文通過對點電荷在介質鏡像和導體鏡像中的對比研究,從物理現象底層出發,對極化的本質進行了較為深入的分析,實現了兩者完全的統一