數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步13．2基本圖形位置關(guān)系13.2.4平面與平面的位置關(guān)系第2課時兩平面垂直01預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)02探究案講練互動03自測案當(dāng)堂達(dá)標(biāo)04應(yīng)用案鞏固提升學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.理解二面角的有關(guān)概念，會求簡單的二面角的大小．2.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理．3.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問題．1.直觀想象、邏輯推理：兩平面垂直的判定與性質(zhì)．2.直觀想象、數(shù)學(xué)運算：求二面角的大小．1．二面角(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的____，每個半平面叫作二面角的面．(2)圖形和記法圖形：記作：二面角______________．兩個半平面棱α-AB-β2．二面角的平面角(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．(2)圖形、符號及范圍圖形：

符號：OA⊥l，OB⊥l

?∠AOB是二面角α-l-β

的平面角．范圍：_____≤∠AOB≤_______．平面角是______的二面角叫作直二面角．0°180°直角1．二面角的平面角的大小，是否與角的頂點在棱上的位置有關(guān)？提示：無關(guān)．如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)．3．平面與平面垂直(1)定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是__________，那么就說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理直二面角垂線一個平面內(nèi)交線垂直a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線2．兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個平面嗎？提示：不一定，只有在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線才垂直于另一個平面．3．如果α⊥β，則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線嗎？提示：正確．若設(shè)α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二面角的平面角的大小與其頂點在二面角棱上的位置有關(guān)．(

)(2)二面角可以看成是一個半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的.(

)(3)如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，則α⊥β.(

)(4)如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面．(

)(5)如果兩個平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個平面．(

)××××√2．在二面角α-l-β的棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是(

)A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β√3．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面(

)A．有1個 B．有2個C．有無數(shù)個 D．不存在√4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(

)A．α∥γ B．α⊥γC．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：由題意知α與γ可能平行，也可能相交．如圖，α與δ平行，α與γ相交．√5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關(guān)系是______．(填“垂直”“不垂直”其中的一個)解析：因為在正方體中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C.又BD?平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.答案：垂直√(2)一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關(guān)系為(

)A．相等 B．互補C．相等或互補 D．不確定√【解析】

(1)如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，O為BD的中點，因為A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.又因為在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角．(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，C1D1的中點，二面角D-AA1-E與二面角B1-AB-C的兩個半平面就是分別對應(yīng)垂直的，但是這兩個二面角既不相等，也不互補．(1)求二面角大小的步驟

簡稱為“一作二證三求”．

(2)作出二面角的平面角的方法,方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二：(垂線法)過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角．如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．[提醒]

二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點．【證明】

因為△ABD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE.所以AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A-BD-C的平面角，又因為∠AEC＝90°,所以二面角A-BD-C為直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD.角度二利用判定定理證明平面與平面垂直

(2020·高考江蘇卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．(1)求證：EF∥平面AB1C1；(2)求證：平面AB1C⊥平面ABB1.【證明】

(1)因為E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點，所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因為B1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C?平面AB1C，AC?平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因為AB?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.證明平面與平面垂直的兩種常用方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：①找出兩相交平面的平面角；②證明這個平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直．即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：證明：由四邊形ABCD為正方形，可得CD⊥AD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CD，PD⊥AD，故CD⊥平面AQPD，從而CD⊥PQ.從而四邊形AQED是平行四邊形，則QE∥AD，所以QE⊥PD，所以DQ＝QP.設(shè)QA＝1，則AB＝1，PD＝2.在△DQP中，有DQ＝QP＝，PD＝2.所以DQ2＋QP2＝PD2，故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD∩DQ＝D，所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.探究點3面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.【證明】

如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點D，因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AD⊥BC.因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因為AD∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以BC⊥AC.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)注意的問題若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直．應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，應(yīng)注意三點：①兩個平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．

如圖，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求證：AE∥平面BCD.證明：如圖，取BC的中點M，連接DM，AM，因為BD＝CD，所以DM⊥BC.又因為平面BCD⊥平面ABC，DM?平面BCD，兩平面交線為BC，所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，所以AE∥平面BCD.又因為A′N⊥BE，A′N⊥CD，所以A′N⊥平面BCDE.又因為A′N?平面A′BE，所以平面A′BE⊥平面BCDE.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：1．(多選)下列命題是真命題的是(

)A．如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行B．如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面C．如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線相互平行D．如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直√√√解析：A．線面平行的性質(zhì)定理；B．線面垂直的判定定理；C．這兩條直線可能相交或平行或異面；D．面面垂直的判定定理．2．在下列關(guān)于直線m，l和平面α，β的說法中，

正確的是(

)A．若l?β，且α⊥β，則l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，則l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，則l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，則l∥α√解析：A項中l(wèi)與α可以平行或斜交，A項錯．B項中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正確．C項中，l可在α內(nèi)，C項錯．D項中，l可在α內(nèi)，D項錯．3．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(

)A．平面ABC⊥平面ADC

B．平