圓周運動的實例分析【知識鏈接】一、汽車過拱形橋(1)當v＝eq\r(gR)時，N＝0(2)當0≤v<eq\r(gR)時，0<N≤mg.（失重狀態）(3)當v>eq\r(gR)時，汽車將脫離橋面做平拋運動，發生危險（完全失重）汽車在最低點向心力：N－mg＝eq\f(mv2,R)，得N＝mg＋eq\f(mv2,R).由此可知，汽車在最低點對橋面的壓力其自身重力，故凹形橋易被壓垮，汽車處于超重狀態，因而實際中拱形橋多于凹形橋.二、火車轉彎1.向心力來源：在鐵路轉彎處，內、外鐵軌有高度差，火車在此處依規定的速度行駛，轉彎時，向心力幾乎完全由和的合力提供，即F＝。2.規定速度：若火車轉彎時，火車輪緣不受軌道壓力，則mgtanα＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)，故v0＝eq\r(gRtanα)，其中R為彎道半徑，α為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為彎道規定的速度.(1)當v＝v0時，F＝F合，即轉彎時所需向心力等于支持力和重力的合力，這時內、外軌，這就是設計的限速狀態.(2)當v>v0時，F>F合，即所需向心力大于支持力和重力的合力，這時對車輪有側壓力，以彌補向心力不足的部分.(3)當v<v0時，F<F合，即所需向心力小于支持力和重力的合力，這時對車輪有側壓力，以抵消向心力過大的部分.三、離心現象離心運動：在做圓周運動時，由于合外力提供的向心力消失或不足，以致物體沿圓周運動的切線方向飛出或遠離圓心而去的運動叫做離心運動.合力與向心力的關系對圓周運動的影響若F合＝mω2r，物體做勻速圓周運動.若F合<mω2r，物體做離心運動.若F合＝0時，物體沿切線方向飛出.若F合>mω2r，物體做近心運動.【例1】（★★）一輛質量m＝2t的轎車，駛過半徑R＝90m的一段凸形橋面，g＝10m/s2，求：(1)轎車以10m/s的速度通過橋面最高點時，對橋面的壓力是多大？(2)在最高點對橋面的壓力等于零時，車的速度大小是多少？【例2】（★★）如圖所示，已知繩長為L＝0.2m，水平桿長L′＝0.1m，小球質量m＝0.3kg，整個裝置可繞豎直軸勻速轉動.g取10m/s2，問：(1)要使繩子與豎直方向成45°角，試求該裝置必須以多大的角速度轉動才行？(2)此時繩子的張力多大？【例3】（★★）鐵路在彎道處的內、外軌道高度是不同的，已知內、外軌道平面與水平面的夾角為θ，如圖7所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質量為m的火車轉彎時速度等于eq\r(gRtanθ)，則()eq\f(mg,cosθ)eq\f(mg,cosθ)【例4】（★★★）如圖8所示，高速公路轉彎處彎道圓半徑R＝100m，汽車輪胎與路面間的動摩擦因數μ＝0.23.最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，若路面是水平的，問汽車轉彎時不發生徑向滑動(離心現象)所允許的最大速率vm為多大？當超過vm時，將會出現什么現象？(g＝9.8m/s2)四、豎直面內的“繩桿模型”的臨界問題1.輕繩模型(內軌道)(1)繩(內軌道)的施力特點：只能施加向圓心方向的拉力(壓力).(2)在最高點的動力學方程T＋mg＝meq\f(v2,r).(3)在最高點的臨界條件T＝0，此時mg＝meq\f(v2,r)，則v＝eq\r(gr).①v＝eq\r(gr)時，拉力或壓力為零.②v>eq\r(gr)時，小球受向下的拉力或壓力.即輕繩的臨界速度為v臨＝eq\r(gr).③v<eq\r(gr)時，小球不能達到最高點.(4)在任意位置時，動力學方程為：_____________________________。2.輕桿模型(雙軌道、套環)(1)桿(雙軌道)的施力特點：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力。下半圓周小球受到桿（軌道）的作用力指向圓心，上半圓周小球受到桿（軌道）的作用力可能指向圓心也可能背離圓心。(2)在最高點的動力學方程：當v＞eq\r(gr)時，N＋mg＝meq\f(v2,r)，桿對球有向下的拉力，且隨v增大而增大.當v＝eq\r(gr)時，mg＝meq\f(v2,r)，桿對球無作用力.當v＜eq\r(gr)時，mg－N＝meq\f(v2,r)，桿對球有向上的支持力.當v＝0時，mg＝N，球恰好到達最高點.【例5】（★★）一細繩與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細繩一起在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，水的質量m＝0.5kg，水的重心到轉軸的距離l＝50cm.(g取10m/s2)(1)若在最高點水不流出來，求桶的最小速率；(2)若在最高點水桶的速率v＝3m/s，求水對桶底的壓力.【例6】（★★）如圖所示，質量為m的小球固定在長為l的細輕桿的一端，繞輕桿的另一端OA時，線速度的大小為eq\r(\f(gl,2))，此時()eq\f(1,2)mgeq\f(1,2)mg的壓力eq\f(3,2)mgeq\f(3,2)mg的壓力強化練習1.（★★）如圖所示，汽車車廂頂部懸掛一輕質彈簧，彈簧下端拴接一個質量為mL1，當汽車以同一速度通過一個橋面為弧形的拱形橋的最高點時彈簧長度為L2，則()A.L1＝L2B.L1>L2C.L1<L22.（★★★）半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，頂部有一小物體A，今給它一個水平初速度v0＝eq\r(Rg)，則物體將()M點N，便離開球面做斜下拋運動R的新圓弧軌道做圓周運動3.（★★）質量不計的輕質彈性桿P插在桌面上，桿端套有一個質量為m的小球，今使小球沿水平方向做半徑為R的勻速圓周運動，角速度為ω，如圖所示，則桿的上端受到的作用力大小為()A.mω2R B.eq\r(m2g2－m2ω4R2)C.eq\r(m2g2＋m2ω4R2)4.（★★）質量為m的飛機，以速率v在水平面內做半徑為R的勻速圓周運動，空氣對飛機作用力的大小等于()A.meq\r(g2＋\f(v4,R2)) B.meq\f(v2,R)C.meq\r(\f(v4,R2)－g2) D.mg5.（★★）v，則下列說法中正確的是()v的速度通過此彎路時，火車重力與軌道面支持力的合力提供向心力v的速度通過此彎路時，火車重力、軌道面支持力和外軌對輪緣彈力的合力提供向心力v時，輪緣擠壓外軌v時，輪緣擠壓外軌6.（★★）汽車在水平地面上轉彎時，地面的摩擦力已達到最大，當汽車速率增為原來的2倍時，若要不發生險情，則汽車轉彎的軌道半徑必須()eq\f(1,2)eq\f(1,4)C.增為原來的2倍7.（★★）賽車在傾斜的軌道上轉彎的示意圖如圖所示，彎道的傾角為θ，半徑為r，則賽車完全不靠摩擦力轉彎的速率是(設轉彎半徑水平)()A.eq\r(grsinθ) B.eq\r(grcosθ)C.eq\r(grtanθ) D.eq\r(grcotθ)8.（★★）如圖所示，一小球套在光滑輕桿上，繞著豎直軸OO′勻速轉動，下列關于小球的說法中正確的是()A.小球受到重力、彈力和靜摩擦力B.小球受到重力、彈力和向心力D.小球受到重力、彈力的合力是恒力

9.（★★）如圖所示，兩個水平摩擦輪A和B傳動時不打滑，半徑RA＝2RB，AA勻速轉動時，在A輪邊緣處放置的小木塊恰能與AB輪上，為讓其與輪保持相對靜止，則木塊離B輪轉軸的最大距離為(已知同一物體在兩輪上受到的最大靜摩擦力相等)()A.eq\f(RB,4)B.eq\f(RB,2)C.RBD.B輪上無木塊相對靜止的位置10.（★★★）如圖所示，滑塊M能在水平光滑桿上自由滑動，滑桿固定在轉盤上，M用繩跨過在圓心處的光滑滑輪與另一質量為mω轉動時，M離軸距離為r，且恰能保持穩定轉動.當轉盤轉速增大到原來的2倍，調整r使之達到新的穩定轉動狀態，則滑塊M()eq\f(1,2)r變為原來的eq\f(1,2)eq\f(1,2)11.（★★★）如圖所示，細桿的一端與小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉動，細桿長0.5m，小球質量為3kg，現給小球一初速度使它做圓周運動，若小球通過軌道最低點a的速度為va＝4m/s，通過軌道最高點b的速度為vb＝2m/s，取g＝10m/s2，則小球通過最低點和最高點時對細桿作用力的情況是()a處為拉力，方向豎直向下，大小為126Na處為壓力，方向豎直向上，大小為126Nb處為拉力，方向豎直向上，大小為6Nb處為壓力，方向豎直向下，大小為6N12.（★★）如圖所示，一個固定在豎直平面上的光滑圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內徑的小球，小球在管道內做圓周運動，下列說法中正確的是()A.小球通過管道最低點時，小球對管道的壓力向下B.小球通過管道最低點時，小球對管道的壓力向上C.小球通過管道最高點時，小球對管道的壓力可能向上D.小球通過管道最高點時，小球對管道可能無壓力13.（★★）如圖所示，長為l的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直面內做圓周運動，關于最高點的速度v，下列說法正確的是()A.v的最小值為eq\r(gl)B.v由零逐漸增大，向心力也增大v由eq\r(gl)逐漸增大時，桿對小球的彈力逐漸增大v由eq\r(gl)逐漸減小時，桿對小球的彈力逐漸增大14.（★★）有一種叫“飛椅”的游樂項目如圖5所示，長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為rω勻速轉動時，鋼繩與轉軸在同一豎直平面內，與豎直方向的夾角為θ，不計鋼繩的重力，求轉盤轉動的角速度ω與夾角θ的關系.15.（★★）長L＝0.5m的輕桿，其一端連接著一個零件A，A的質量mA在豎直平面內繞OA通過最高點時，求下列兩種情況下A對桿的作用力大小(g＝10m/s2).(1)A的速率為1m/s；(2)A的速率為4m/s.16.（★★★）如圖所示，一質量為0.5kg的小球，用0.4m長的細線拴住，在豎直平面內做圓周運動，g取10m/s2，求：(1)當小球在圓周最高點速度為4m/s時，細線的拉力是多少？(2)當小球在圓周最低點速度為6m/s時，細線的拉力是多少？(3)當小球在與豎直方向成37°位置時的速度為8m/s時，細線的拉力是多少？17.（★★★）如圖所示，一個小球質量為m，從半徑為R的光滑圓形管內的頂部A點水平飛出，恰好又從管口B點射入管內，已知O為圓心，且OB水平，OA豎直，則：(1)小球在A點對上側管壁有彈力作用還是對下側管壁有彈力作用？作用力多大？(2)若要使小球對上側管壁彈力大小等于重力，則小球在A點的速度應為多少？(重力加速度為g)18.（★★★）如圖所示，軌道ABCD的AB段為一