/專(zhuān)題4.11線(xiàn)段公理與直線(xiàn)公理（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】認(rèn)識(shí)并理解公理的含義；理解并掌握兩點(diǎn)之間距離公式；理解并掌握線(xiàn)段、直線(xiàn)公理；初步認(rèn)識(shí)最短路徑問(wèn)題，并求最簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、公理概念：公理是指依據(jù)人類(lèi)\t"/item/%E5%85%AC%E7%90%86/_blank"理性的不證自明的基本事實(shí)，經(jīng)過(guò)人類(lèi)長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐的考驗(yàn)，不需要再加證明的基本命題。要點(diǎn)二、直線(xiàn)公理經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一條直線(xiàn)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)．特別說(shuō)明：（1）“有一條直線(xiàn)”中的有表示“存在”，“只有一條直線(xiàn)”中“只有”表示“唯一”；（2）過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)。要點(diǎn)三、線(xiàn)段公理兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短．簡(jiǎn)記為：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短．如圖1所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線(xiàn)中，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是最短的．圖1圖1要點(diǎn)四、兩點(diǎn)之間距離兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)之間的距離．【典型例題】類(lèi)型一、線(xiàn)段公理——兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)1．木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在木板上畫(huà)出兩個(gè)點(diǎn)，然后過(guò)這兩點(diǎn)彈出一條墨線(xiàn)，這是為什么？【答案】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線(xiàn)．【分析】根據(jù)確定一條直線(xiàn)的方法求解即可．解：根據(jù)直線(xiàn)公理：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，∴答案為：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)．【點(diǎn)撥】此題考查了確定一條直線(xiàn)的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握確定一條直線(xiàn)的方法：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)．舉一反三：【變式1】小明和小亮在討論“射擊時(shí)為什么槍管上要準(zhǔn)星？”小明：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，所以槍管上要有準(zhǔn)星．小亮：若將人眼看成一點(diǎn)，準(zhǔn)星看成一點(diǎn)，目標(biāo)看成一點(diǎn)，這不就有三點(diǎn)了嗎？多了一個(gè)點(diǎn)呀！請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)你的觀(guān)點(diǎn)．【答案】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線(xiàn)試題分析：此題根據(jù)直線(xiàn)的性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)進(jìn)行解答即可．解：若將人眼看成一點(diǎn)，準(zhǔn)星看成一點(diǎn)，目標(biāo)看成一點(diǎn)，那么要想射中目標(biāo)，人眼與目標(biāo)確定的這條直線(xiàn)，應(yīng)與子彈所走的直線(xiàn)重合，即與準(zhǔn)星和目標(biāo)所確定的這條直線(xiàn)重合，即達(dá)到看到哪打到哪兒．換句話(huà)說(shuō)要想射中目標(biāo)就必須使準(zhǔn)星在人眼與目標(biāo)所確定的直線(xiàn)上．【變式2】如圖，將甲?乙兩個(gè)尺子拼在一起，兩端重合，如果甲尺經(jīng)校訂是直的，那么乙尺是直的嗎？為什么？【答案】見(jiàn)分析【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)分析即可．解：乙尺不是直的，因?yàn)槿绻页呤侵钡?，那么過(guò)兩點(diǎn)A，B就有兩條直線(xiàn)了，這是不可能的，所以乙尺不是直的．【點(diǎn)撥】本題考查了過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，掌握過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、線(xiàn)段公理——兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短2．如圖，已知平面上有四個(gè)村莊，用四個(gè)點(diǎn)，，，表示．（1）連接，作射線(xiàn)，作直線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)；（2）若要建一供電所，向四個(gè)村莊供電，要使所用電線(xiàn)最短，則供電所應(yīng)建在何處？請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由．【答案】（1）如圖所示．見(jiàn)分析；（2）如圖，見(jiàn)分析；供電所應(yīng)建在與的交點(diǎn)處．理由：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短．【分析】（1）根據(jù)射線(xiàn)、直線(xiàn)的定義進(jìn)而得出E點(diǎn)位置；（2）根據(jù)線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段距離最短；結(jié)合題意，要使它與四個(gè)村莊的距離之和最小，就要使它在AC與BD的交點(diǎn)處．解：（1）如圖所示：點(diǎn)E即為所求；（2）如圖所示：點(diǎn)M即為所求．理由：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短．【點(diǎn)撥】本題主要考查了作圖與應(yīng)用作圖，關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段距離最短．舉一反三：【變式1】知識(shí)是用來(lái)為人類(lèi)服務(wù)的，我們應(yīng)該把它們用于有意義的方面．下面就兩個(gè)情景請(qǐng)你作出評(píng)判．情景一：從教室到圖書(shū)館，總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪，這是為什么呢？試用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題．情景二：A、B是河流l兩旁的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)抽水站向兩村供水，問(wèn)抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請(qǐng)?jiān)趫D中表示出抽水站點(diǎn)P的位置，并說(shuō)明你的理由：你贊同以上哪種做法？你認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)為人類(lèi)服務(wù)時(shí)應(yīng)注意什么？【答案】情景一：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；情景二：畫(huà)圖見(jiàn)分析；兩點(diǎn)指點(diǎn)線(xiàn)段最短解：情景一：因?yàn)榻虒W(xué)樓和圖書(shū)館處于同一條直線(xiàn)上，兩點(diǎn)之間的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短，所以這樣走比較近；情景二：抽水站點(diǎn)P的位置如右圖所示：理由：兩點(diǎn)之間的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短；贊同情景二中運(yùn)用知識(shí)的做法，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)為人類(lèi)服務(wù)時(shí)應(yīng)注意：不能以破壞環(huán)境為代價(jià)．【變式2】如圖，已知直線(xiàn)l和直線(xiàn)外三點(diǎn)A，B，C，按下列要求畫(huà)圖：（1）畫(huà)射線(xiàn)AB；（2）連接BC；（3）反向延長(zhǎng)BC至D，使得BD=BC；（4）在直線(xiàn)l上確定點(diǎn)E，使得AE+CE最小．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；（3）見(jiàn)分析；（4）見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可．（2）根據(jù)題意作圖即可．（3）以BC為半徑，B點(diǎn)為圓心畫(huà)弧，交BC反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．（4）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，即連接AC交l于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．解：（1）如圖，射線(xiàn)AB即為所求作射線(xiàn)；（2）如圖，連接BC；（3）如圖，BD=BC；（4）連接AC，交直線(xiàn)l于點(diǎn)E，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可得此時(shí)AE+CE?。军c(diǎn)撥】本題考查幾何作圖，熟練掌握作圖的方法和理解兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短是解答本題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、兩點(diǎn)之間距離3．如圖，線(xiàn)段AB＝20，BC＝15，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．（1）求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)度；（2）在CB上取一點(diǎn)N，使得CN：NB＝2：3．求MN的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)圖示知AM＝AC，AC＝AB﹣BC；（2）根據(jù)已知條件求得CN＝6，然后根據(jù)圖示知MN＝MC+NC．解：（1）線(xiàn)段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．∴AM＝AC＝×5＝，即線(xiàn)段AM的長(zhǎng)度是．（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN＝BC＝×15＝6．又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC+NC＝，即MN的長(zhǎng)度是．【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線(xiàn)段的和差，線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的定義是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，B、C兩點(diǎn)把線(xiàn)段AD分成2：5：3的三部分，M為AD的中點(diǎn)，BM＝9cm，求CM和AD的長(zhǎng)．【答案】CM=6cm，AD=30cm【分析】由已知B，C兩點(diǎn)把線(xiàn)段AD分成2：5：3三部分，所以設(shè)AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，根據(jù)已知分別用x表示出AD，MD，從而得出BM，繼而求出x，則求出CM和AD的長(zhǎng)．解：設(shè)AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm所以AD=AB+BC+CD=10xcm因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)所以AM=MD=AD=5xcm所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm因?yàn)锽M=9cm，所以3x=9，x=3故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×3=6cm，AD=10x=10×3=30cm．考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離．【變式2】如圖，已知線(xiàn)段AB＝12cm，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)，則DE＝cm；（2）若AC＝4cm，求DE的長(zhǎng)；（3）試說(shuō)明無(wú)論AC取何值（不超過(guò)12cm），DE的長(zhǎng)不變．【答案】（1）6；（2）6cm；（3）見(jiàn)分析．【分析】（1）由AB＝12cm，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，得出DE＝DC+CE＝（AC+CB），即可求解；（2）由AC＝4cm，推出CD＝2cm，根據(jù)AB＝12cm，AC＝4cm，得出BC＝8cm，由DE＝DC+CE即可求DE的長(zhǎng)；（3）根據(jù)點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，得出DC＝AC，CE＝CB，由DC+CE＝（AC+CB），即可得證．解：（1）∵點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴DC＝AC，CE＝CB，∴DE＝DC+CE＝（AC+CB）＝6cm；故答案為：6．（2）∵AC＝4cm，∴CD＝