重難點專題14導數壓軸小題十四大題型匯總TOC\o"13"\h\z\u題型1恒成立問題之直接求導型 1題型2恒成立問題之分離參數型 2題型3恒成立問題之隱零點型 4題型4恒成立問題之洛必達法則 5題型5恒成立問題之兩個函數問題 6◆類型1同變量型 6◆類型2不同變量型 7◆類型3函數相等型 7題型6恒成立問題之構造函數 9題型7零點問題 10題型8同構問題 11題型9整數解問題 12題型10函數凹凸性問題 13題型11倍函數問題 14題型12二次型函數問題 16題型13嵌套函數問題 17題型14切線放縮法 18題型1恒成立問題之直接求導型無論大題小題，分類討論求參是導數基礎，也是復習訓練重點之一：1.移項含參討論是所有導數討論題的基礎，也是學生日常訓練的重點.2.討論點的尋找是關鍵.3.一些題型，可以適當的借助端點值來"壓縮"參數的討論范圍【例題1】（2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）已知a∈R，設函數fx=x2-3x+2a,x≤1x-alnx,x>1A．[0,1] B．1,2 C．0,e D．【變式11】1.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）對正實數a有fxA．0,1 B．1,e2 C．0,【變式11】2.（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安區新安中學校考階段練習）若不等式ex-1-mx-2n-3?0對?x∈R恒成立，其中m≠0，則A．-ln3e2 B．-【變式11】3.（2023春·四川南充·高三閬中中學校考階段練習）一般地，對于函數y=ft和t=gx復合而成的函數y=fgx，它的導數與函數y=ft，t=gx的導數間的關系為yx'=A．12 B．1 C．e2【變式11】4.（2023·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）已知函數fx=mex-x-n-1m,n∈R，若A．e-2 B．-e-2 C．【變式11】5.（2022春·安徽滁州·高三校考階段練習）已知函數fx=x-a-1ex+b，若存在b∈R，對于任意題型2恒成立問題之分離參數型分離參數是屬于“暴力計算”型方法，分離參數：將參數提取到單獨的一側，然后通過求解函數的最值來求解參數的取值范圍.1.分離參數思維簡單，不需過多思考；2.參變分離原則是容易分離且構造的新函數不能太過復雜3.缺點是，首先得能分參，其次求導計算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階..等等求導.【例題2】（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）若關于x的不等式ex3k-x<2x+3對任意的x∈A．-1 B．0 C．1 D．3【變式21】1.（2022秋·四川內江·高三威遠中學校校考階段練習）已知不等式xex+1-x≥lnx+2m+3A．m≤-12 B．m≥-12【變式21】2.（2023·全國·高三專題練習）已知f(x)，g(x)分別為定義域為R的偶函數和奇函數，且f(x)+g(x)=ex，若關于x的不等式A．-∞,409 B．40【變式21】3.（2022秋·山西運城·高三校考階段練習）已知x1，x2是函數f(x)=x2-2ax+2lnxA．-98C．-98【變式21】4.（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式m+2x+lnx+1A．-∞,0C．-∞,題型3恒成立問題之隱零點型解題框架（主要的）：（1）導函數（主要是一階導函數）等零這一步，有根x0（2）知原函數最值處就是一階導函數的零點處，可代入虛根x（3）利用x0與參數互化得關系式，先消掉參數，得出x0不等式，求得（4）再代入參數和x0【例題3】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）已知函數fx=1x+lnx【變式31】1.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校考階段練習）若關于x的不等式ex-a≥lnx+a對一切正實數A．-∞,1e B．-∞,e C．-∞,1【變式31】2.（2023·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=exx-1x-1，對任意x>0【變式31】3.（2023·廣東深圳·深圳中學校聯考模擬預測）若關于x的不等式ex(2k-x)<x+3對任意的x∈0,+【變式31】4.（2022·安徽·巢湖市第一中學校聯考模擬預測）已知不等式ax-lnxxA．14 B．13 C．題型4恒成立問題之洛必達法則如果最值恰好在“斷點處”，則可以通過洛必達法則求出“最值”.【例題4】(多選)已知函數f(x)=e|x|sinA．f(x)是周期為2π的奇函數 B．f(x)在(-πC．f(x)在(-10π,10π)內有21個極值點 D．f(x)?ax在[0,π4【變式41】1.（2020春·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實驗中學校考開學考試）已知函數f(x)=x2lnx-a(x2-1)A．［24,+∞） B．[12,+∞)【變式41】2.（2020·江西九江·統考三模）若對任意x∈0,π，不等式ex-A．-2,2 B．-∞,e C．【變式41】3.（2020春·河北唐山·期中）若12(a-1)x2+1<A．(-∞,2] B．(-∞,2) C．(-∞,1] D．(-∞,3]【變式41】4.(多選)（2023春·河南許昌·）已知函數f(x)=eA．f(x)是周期為2π的奇函數 B．f(x)在(-πC．f(x)在(-10π,10π)內有21個極值點 D．f(x)?ax在[0,π4題型5恒成立問題之兩個函數問題此類函數，多采用兩函數“取最值法”.一般地，已知函數y=fx,x∈（1）若?x1∈a,b，?x（2）若?x1∈a,b，?x（3）若?x1∈a,b，?x（4）若?x1∈a,b，?x2∈◆類型1同變量型【例題51】（2023秋·廣東陽江·高三統考開學考試）已知函數fx=ex-lnx，gA．e B．1 C．-1 D．-【變式51】1.（2022秋·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江中學校考階段練習）已知函數f(x)=-x2+m2x+2(m>0),g(x)=eA．5 B．6 C．7 D．8【變式51】2.（2023·江蘇·統考模擬預測）已知fx=mx+n，gx=lnx，對于A．-ln2 B．－1 C．【變式51】3.（2022·全國·高三專題練習）已知函數fx=x-lnx+1，gx=e【變式51】4.（2020·全國·高三專題練習）設三次函數f(x)=13ax3+12bx2+cx，（a,b,c為實數且a≠0◆類型2不同變量型【例題52】（2022秋·河南·高三校聯考階段練習）設函數fx=x-1ex-e，gx=A．0 B．1 C．1e【例題52】1.（多選）（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）已知fx=xex，gx=xlnA．當t>0時，x1x2=tC．不存在t，使得f'x1=g【變式52】2.（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學階段練習）已知函數fx=lnxx，g(x)=-ex2+ax(e是自然對數的底數)，對任意的x【變式52】3.（2022秋·四川·高三棠湖中學階段練習）函數f(x)=lnx-ax，g(x)=ax2+1，當a≤0時，對任意x1、x【變式52】4.（2021秋·湖北襄陽·高三開學考試）已知函數fx=lnx-14x+34x◆類型3函數相等型【例題53】（2021秋·江西·高三階段練習）已知函數f(x)=(12)x-14,x<1log2A．0,54 B．0,54【變式53】1.（2022·天津和平·耀華中學校考模擬預測）已知函數f(x)=2x-2，g(x)=asinx+2,x≥0x2A．-∞,12C．-∞,12【變式53】2.（2023·新疆烏魯木齊·烏市一中校考三模）已知函數fx=e2x-2x+1,gA．fx1C．ln2x【變式53】3.（2021·河南·統考一模）定義：[ln(g(x))]'=1g(x)?g'(x).設函數f(x)=x2+2x+a，g(x)=8A．(16ln2-15,0)C．(0,8ln2-3)【變式53】4.（2021春·江蘇南通·高三統考階段練習）已知函數fx=x2?e-x，gx=-A．4e2<c<43 B．題型6恒成立問題之構造函數些復雜結構，需要先構造合理的函數形式再求導研究，以達到"化繁為簡"的目的【例題6】（2023·全國·高三專題練習）已知ε>0，x,y∈-π4A．cosx≤cosy B．cosx≥【變式61】1.（2023·全國·模擬預測）已知函數fx=x2+1exA．-∞,1C．-∞,3【變式61】2.（2022秋·重慶·高三校聯考階段練習）已知函數fx=alnx+1+x2，在區間3,4內任取兩個實數x1，A．-9,+∞ B．-7,+∞ C．9,+【變式61】3.（2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）已知函數f(x)=aex+4x，對任意的實數x1,A．2e,+∞ B．2e【變式61】4.（2022秋·湖南長沙·高三長沙市明德中學校考開學考試）已知2021lna=a+m，2021lnb=b+m，其中a≠b，若A．2021e2,+∞ B．2021題型7零點問題1.確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象；2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理，可以通過構造函數的方法、把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；3.利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.【例題7】（2022秋·江西撫州·高三臨川一中校考期中）若函數fx=ex+aA．4e5 B．e2 C．【變式71】1.（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知函數fx=ex,x≤1A．0,14C．0,1515【變式71】2.（2021秋·廣東深圳·高三紅嶺中學校考期末）已知函數fx=aA．1,e2e B．e1【變式71】3.（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考模擬預測）設a>0，b∈R，已知函數fx=xexA．e26 B．e25【變式71】4.（2023·四川廣元·校考模擬預測）若函數fx=2lnA．ln22,1e B．題型8同構問題同構法的三種基本模式：①乘積型，如aea≤blnb②比商型，如eaa<bln③和差型，如ea±a>b±lnb，同構后可以構造函數【例題8】（2023秋·江蘇鎮江·高三統考開學考試）對于實數x∈0,+∞，不等式A．0<m≤1 B．m≤1 C．0<m≤e D．【變式81】1.（2021秋·江蘇揚州·高三揚州中學校考階段練習）設k>0，若存在正實數x，使得不等式log27x-k?3A．1eln3 B．ln3【變式81】2.（2023秋·廣東中山·高三校考階段練習）對任意x∈0,+∞，keA．-1 B．13 C．1e【變式81】3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國語學校校考階段練習）已如函數fx=aex+lna+1a>0A．0,1e2 B．0,1【變式81】4.（2022秋·福建莆田·高三莆田二中校考階段練習）對任意x>0，若不等式ax2≤A．(0，2e] B．(0,e]【變式81】5.（2023春·四川內江·高三威遠中學校校考階段練習）定義：設函數y=fx在a,b上的導函數為f'x，若f'x在a,b上也存在導函數，則稱函數y=fx在a,b上存在二階導函數，簡記為y=f″x．若在區間a,b上f″x題型9整數解問題1.通過函數討論法，參變分離，數形結合等來切入2.討論出單調性，要注意整數解中相鄰兩個整數點函數的符號問題【例題9】（2022·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式x(x-mex)>mexA．(165e4,9【變式91】1.（2023·重慶巴南·統考一模）已知偶函數fx滿足f4+x=f4-x，f0=-1，且當x∈0,4時，fx=lnxA．-1,0 B．0,ln22 C．【變式91】2.（2023·全國·高三專題練習）函數f(x)=(x-1)lnx-ax-1(a∈R)，若不等式f(x)<0最多只有一個整數解，則A．-∞,C．-∞,【變式91】3.（2023春·湖北武漢·高三武漢市黃陂區第一中學校考階段練習）已知函數f(x)=ax+lna，g(x)=x+ex-A．(e,e2] B．【變式91】4.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校考期末）已知fx=ax+1exA．32eC．32e【變式91】5.（2023·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=kx(x+1)-lnx，若A．(ln5C．(ln2題型10函數凹凸性問題凹凸函數常見的圖形【例題10】（2023·云南·高三校聯考階段練習）已知函數fx=ln【變式101】1.（2021春·湖北鄂州·高二統考期末）已知大于1的正數a，b滿足ln2beA．7 B．8 C．9 D．11【變式101】2.（2023秋·江蘇南京·高三南京市中華中學校考階段練習）已知實數x，y滿足ln(4x+3y-6)-ex+y-2A．2 B．1 C．0 D．-1【變式101】3.（2022秋·安徽·高三校聯考階段練習）已知函數f(x)=ex(|A．(-e,+∞) B．(-1e,+∞) C．題型11倍函數問題1.保值函數，包括“倍增函數”，“倍縮函數”，“K倍函數”，等等新定義2.應用函數思想和方程思想.【例題11】（2023春·北京海淀·高二校考階段練習）若存在x1,x2∈a,b且x1≠x2，使gx1-gx2>Lfx1A．-∞,e9C．-∞,e D．-∞,e【變式111】1.（2020秋·海南海口·高三海南中學校考階段練習）對于函數y=f(x)，若存在區間[a，b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb](k>0)，則稱y=f(x)為k倍值函數.若f(x)=ex+3x是k倍值函數，則實數k的取值范圍是（

）A．(e+1e，+∞) B．(e+2C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)【變式111】2.（2022·全國·高三專題練習）如果存在x1，x2∈a,b且x1≠x2，使gx1-gx2>Lfx1-fx2成立，則在區間【變式111】3.（2023·全國·高三專題練習）函數fx的定義域為D，若存在閉區間a,b?D，使得函數fx滿足：①fx在a,b內是單調函數；②fx在a,b上的值域為2a,2b①fx=x③fx=4x【變式111】4.(2023秋·湖北·高三校聯考階段練習）小王準備在單位附近的某小區買房，若小王看中的高層住宅總共有n層（20≤n≤30，n∈N*），設第1層的“環境滿意度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k-1層的“環境滿意度”多出3k2-3k+1；又已知小王有“恐高癥”，設第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k-1層的“高層恐懼度”高出13倍.在上述條件下，若第k層“環境滿意度”與“高層恐懼度”分別為ak，（參考公式及數據：12+22+32【變式111】5.（2022·全國·高三專題練習）若存在實數K，對任意x∈I,gx≥Kfx成立，則稱gx是fx在區間I上的“K倍函數”.已知函數f(x)=-x2-2x-4,x?0lnx+12題型12二次型函數問題【例題12】（2023·江蘇南京·南京市第一中學校考模擬預測）已知函數fx=-x2+x+2,x<02x【變式121】1.（2023·全國·校聯考二模）已知函數fx=1-xex，若關于x【變式121】2.（2023·全國·高三專題練習）函數fx=-x2+4x-4ex，若關于【變式121】3.（2023·全國·高三專題練習）已知函數fx=x+3,x≤0exx,x>0，若關于x的【變式121】4.（2023秋·廣東東莞·高三校考期末）已知函數fx=ex?【變式121】5.（2022秋·山西運城·高三統考期中）已知函數fx=2x+1-1,x?0,lnx題型13嵌套函數問題【例題13】（2023·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=x3+2x-2a，若曲線y=-x2+2x上存在點【變式131】1.（2020春·浙江·高二校聯考期末）已知函數f(x)=2e2xA．若M=1，則N≤2 B．若M=2，則N≥2C．若M=3，則N=4 D．若N=3，則M=2【變式131】2.（2023·天津·二模）已知函數fx=lnx,x≥11-x2A．4-2ln2,+∞ B．1+e,+∞【變式131】3.（2023·浙江·二模）已知函數fx=x-aex【變式131】4.（2023·江蘇·校聯考模擬預測）已知函數f(x)=x3-x,x≤0lnx,x>0，若【變式131】5.（2023·四川·校聯考模擬預測）已知函數fx=x+1,x<0lnx+1,x≥0，若關于x的方程ffx=a題型14切線放縮法【例題1