2.3.1離散型隨機變量的均值2.3.1離散型隨機變量的均值

引入：某商場為滿足市場需求要將單價分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg

的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質量都相等，如何對混合糖果定價才合理？定價為可以嗎？引入：某商場為滿足市場需求要將單價分別為18元/kg(如果混合糖果中的每一顆質量都相等,你能解釋權數的實際意義嗎?)從混合糖果中任取一顆,它單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的概率分別是用X表示糖果價格,則它是一個離散型隨機變量,其分布列為:問題1.某商場要將單價為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售,如何對混合糖果定價才合理?權數恰好就是概率(如果混合糖果中的每一顆質量都相等,你能解釋權數的實際意義嗎18×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)如果你買了1kg這種混合糖果，你要付多少錢？

而你買的糖果的實際價值剛好是23元嗎？

樣本平均值權數加權平均18×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×

則稱為隨機變量X的均值或數學期望,數學期望又簡稱為期望。

一般地,若離散型隨機變量X的概率分布為它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。1、離散型隨機變量均值的定義平均水平：反復隊這個隨機變量進行獨立觀測，隨著觀測次數的增加，所得到的各個觀測值的算術平均值越來越接近于這個隨機變量的均值則稱歸納求離散型隨機變量的均值(期望)的步驟：①、確定離散型隨機變量可能的取值。②、寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。③、求出均值(期望)。歸納求離散型隨機變量的均值(期望)的步驟：①、確定離散型隨例1、隨機拋擲一個均勻的骰子，求所得骰子的點數X的均值解：隨機變量X的取值為1，2，3，4，5，6其分布列為所以隨機變量X的均值為E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能理解3.5的含義嗎？變式：將所得點數的2倍加1作為得分數，即Y=2X+1，試求Y的均值？例1、隨機拋擲一個均勻的骰子，求所得骰子解：隨機變量X的取值解：隨機變量Y的取值為3，5，7，9，11，13其分布列為所以隨機變量Y的均值為E（Y）=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2E（X）+1Y35791113變式：將所得點數的2倍加1作為得分數，即Y=2X+1，試求Y的均值？解：隨機變量Y的取值為3，5，7，9，11，13其分布列為所設X為離散型隨機變量，若Y=aX+b,其中a,b為常數，則Y也是離散型隨機變量且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b2、隨機變量的期望值（均值）的線性性質設X為離散型隨機變量，若Y=aX+b,其中a,b為常數，則Y······························特別地：E(c)=c(其中c為常數)······························1、隨機變量ξ的分布列是(1)則Eξ=.

2、隨機變量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，則Eη=.

5.8Eξ=7.5,則a=

b=

.0.40.1練習：1、隨機變量ξ的分布列是(1)則Eξ=解:ξ的分布列為所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例2、籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明目前罰球命中的概率為0.85，求他罰球1次的得分ξ的均值？3、幾個特殊分布的期望1-PPP1-PP結論1：兩點分布的期望：若X～B（1，p），則EX=p解:ξ的分布列為所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(

求證：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k證明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)ξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np求證：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np∴由題ξ～B(10，0.85),則Eξ=10×0.85=8.5例3：籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明目前罰球命中的概率為0.85，求他罰球10次時進球個數ξ的均值？結論2：二項分布的期望：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np變式1：罰球10次的得分ξ的均值？變式2：若罰球命中得2分，罰不中得0分，罰球10次的得分X的均值？由題ξ～B(10，0.85),則Eξ=10×0.85=8.5變式3：若罰球命中得3分，罰不中得-1分，罰球10次的得分Y的均值？由題ξ～B(10，0.85),則Eξ=10×0.85=8練習：一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數的數學期望是

.3練習：一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中有例3、一次英語單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分。學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇一個。求學生甲和學生乙在這次英語單元測驗中的成績的均值。

例3、一次英語單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選解：

設學生甲和學生乙在這次英語測驗中選擇了正確答案的選擇題個數分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答對每題得5分，學生甲和學生乙在這次英語測驗中的成績分別是5ξ和5η。所以，他們在測驗中的成績的均值分別是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．解：設學生甲和學生乙在這次英語測驗中選擇了正確答案的選擇題例4：根據氣象預報,某地區近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地區某工地上有一臺大型設備,遇到大洪水時損失60000元,遇到小洪水損失10000元.為保護設備,有以下3種方案:

方案1:運走設備,搬運費為3800元;

方案2:建保護圍墻,建設費為2000元,

但圍墻只能防小洪水;

方案3:不采取任何措施,希望不發生洪水.

試比較哪一種方案好?例4：根據氣象預報,某地區近期有小洪水的概率為0.25,有大例5、袋中有4個紅球,3個黑球,從袋中隨機取球,每取到1個紅球得2分,取到一個黑球得1分.(1)今從袋中隨機取4個球,求得分ξ的概率分布與期望.(2)今從袋中每次摸1個球,看清顏色后放回再摸1個球,求連續4次的得分η的期望.例5、袋中有4個紅球,3個黑球,從袋中隨機取球,每取到1個紅練習：某商場的促銷決策：

統計資料表明，每年國慶節商場內促銷活動可獲利2萬元；商場外促銷活動如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨則損失4萬元。9月30日氣象預報國慶節下雨的概率為40%，商場應選擇哪種促銷方式？練習：某商場的促銷決策：作業：P68A2，3，4B1（