直角三角形與勾股定理一.選擇題1.（2020?河南省?3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分別以點A，C為圓心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（）A．6 B．9 C．6 D．3【分析】連接BD交AC于O，根據已知條件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根據等腰三角形的性質得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根據等邊三角形的性質得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到結論．【解答】解：連接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四邊形ABCD的面積＝2×＝3，故選：D．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．2.（2020?貴州省銅仁市?4分）已知等邊三角形一邊上的高為2，則它的邊長為（）A．2 B．3 C．4 D．4【分析】根據等邊三角形的性質：三線合一，利用勾股定理可求解即可．【解答】解：根據等邊三角形：三線合一，設它的邊長為x，可得：，解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故選：C．3.（2020?河北省?3分）在如圖所示的網格中，以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是（）A．四邊形NPMQ B．四邊形NPMR C．四邊形NHMQ D．四邊形NHMR【分析】由以點O為位似中心，確定出點C對應點M，設網格中每個小方格的邊長為1，則OC＝，OM＝2，OD＝，OB＝，OA＝，OR＝，OQ＝2，OP＝2，OH＝3，ON＝2，由＝2，得點D對應點Q，點B對應點P，點A對應點N，即可得出結果．【解答】解：∵以點O為位似中心，∴點C對應點M，設網格中每個小方格的邊長為1，則OC＝＝，OM＝＝2，OD＝，OB＝＝，OA＝＝，OR＝＝，OQ＝2，OP＝＝2，OH＝＝3，ON＝＝2，∵＝＝2，∴點D對應點Q，點B對應點P，點A對應點N，∴以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ，故選：A．【點評】本題考查了位似變換、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握位似中心，找出點C對應點M是解題的關鍵．4.（2020?河北省?2分）如圖，從筆直的公路l旁一點P出發，向西走6km到達l；從P出發向北走6km也到達l．下列說法錯誤的是（）A．從點P向北偏西45°走3km到達l B．公路l的走向是南偏西45° C．公路l的走向是北偏東45° D．從點P向北走3km后，再向西走3km到達l【分析】先作出圖形，根據勾股定理和等腰直角三角形的性質即可求解．【解答】解：如圖，由題意可得△PAB是腰長6km的等腰直角三角形，則AB＝6km，則PC＝3km，則從點P向北偏西45°走3km到達l，選項A錯誤；則公路l的走向是南偏西45°或北偏東45°，選項B，C正確；則從點P向北走3km后，再向西走3km到達l，選項D正確．故選：A．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．5.（2020?河北省?2分）如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案．現有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復選取）按圖的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 【分析】根據題意可知，三塊三角形的面積中，兩個較小的面積之和等于最大的面積，再根據三角形的面積，分別計算出各個選項中圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題．【解答】解：當選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時，圍成的直角三角形的面積是＝，當選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時，圍成的直角三角形的面積是＝；當選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時，圍成的三角形不是直角三角形；當選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時，圍成的直角三角形的面積是＝，∵，∴所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．【點評】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．6.（2020?廣東省廣州市?3分）往直徑為的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為，求得OA的長，然后根據勾股定理，即可求得OD的長，進而求得油的最大深度的長．【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：，∵⊙O的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度為，故選：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關鍵是注意輔助線的作法，構造直角三角形，利用勾股定理解決．二.填空題1.（2020?河南省?3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F分別是邊AB，BC的中點，連接EC，FD，點G，H分別是EC，FD的中點，連接GH，則GH的長度為1．【分析】設DF，CE交于O，根據正方形的性質得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根據線段中點的定義得到BE＝CF，根據全等三角形的性質得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根據勾股定理得到CE＝DF＝＝，點G，H分別是EC，FD的中點，根據射影定理即可得到結論．【解答】解：設DF，CE交于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵點E，F分別是邊AB，BC的中點，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵點G，H分別是EC，FD的中點，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF?DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵OC2＝OF?OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了射影定理，勾股定理，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．2.（2020?貴州省貴陽市?4分）如圖，△ABC中，點E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點D，BD＝8，AC＝11，則邊BC的長為4．【分析】延長BD到F，使得DF＝BD，根據等腰三角形的性質與判定，勾股定理即可求出答案．【解答】解：延長BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，過點C點作CH∥AB，交BF于點H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC＝＝4，故答案為：4【點評】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用等腰三角形的性質與判定，本題屬于中等題型．3.（2020?貴州省銅仁市?4分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，將∠A向內翻析，點A落在BC上，記為A1，折痕為DE．若將∠B沿EA1向內翻折，點B恰好落在DE上，記為B1，則AB＝．【分析】依據△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根據折疊的性質，即可得到A1C＝BC＝2，最后依據勾股定理進行計算，即可得到CD的長，即AB的長．【解答】解：由折疊可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，∴∠DA1B1＝∠CA1D，又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），∴A1C＝A1B1∴BA1＝A1C＝BC＝2，∴Rt△A1CD中，CD＝＝，∴AB＝，故答案為：．4.（2020?貴州省遵義市?4分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，延長AD交⊙O于點E，若BD=4，CD=1，則DE的長是____.【分析】連結OB，OC，OA，過O點作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根據圓周角定理可得∠BOC=90°，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根據相交弦定理可求DE．【解答】解：連結OB，OC，OA，過O點作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∵BD=4，CD=1，∴BC=4+1=5，∴OB=OC=，在Rt△AGO中，∴AD×DE=BDXCD，故答案為:5.（2020?湖北孝感?3分）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1＝S2，則的值為．【分析】可設直角三角形另一條直角邊為x，根據S1＝S2，可得2x2＝m2，則x＝m，再根據勾股定理得到關于m，n的方程，可求的值．【解答】解：設直角三角形另一條直角邊為x，依題意有2x2＝m2，解得x＝m，由勾股定理得（m）2+（n+m）2＝m2，m2﹣2mn﹣2n2＝0，解得m1＝（﹣1﹣）n（舍去），m2＝（﹣1+）n，則的值為．故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理的證明，根據正方形的面積公式和三角形形的面積公式得出它們之間的關系是解題的關鍵．6.（2020?湖北省黃岡市?3分）我國古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何？”（注：丈，尺是長度單位，1丈＝10尺）這段話翻譯成現代漢語，即為：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，則水池里水的深度是12尺．【分析】根據勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：設水池里水的深度是x尺，由題意得，x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水池里水的深度是12尺．故答案為：12．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，掌握勾股定理、根據勾股定理正確列出方程是解題的關鍵．7.(2020?江蘇省徐州市?3分)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D.E.F分別為AB.BC.CA的中點，若BF＝5，則DE＝5．【分析】首先由直角三角形的性質求得AC＝2BF，然后根據三角形中位線定理得到DE＝AC，此題得解．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F為CA的中點，BF＝5，∴AC＝2BF＝10．又∵D.E分別為AB.BC的中點，∴DE是Rt△ABC的中位線，∴DE＝AC＝5．故答案是：5．【點評】本題考查了三角形中位線定理和直角三角形斜邊上中線的性質，此題中，AC是聯系線段DE和BF間數量關系的一條關鍵性線段．8(2020?江蘇省揚州市?3分)《九章算術》是中國傳統數學的重要著作之一，奠定了中國傳統數學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面4.55尺高．【分析】根據題意結合勾股定理得出折斷處離地面的高度即可．【解答】解：設折斷處離地面x尺，根據題意可得：x2+32＝(10－x)2，解得：x＝4.55．折斷處離地面4.55尺．故答案為4.55．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，根據題意正確應用勾股定理是解題關鍵．9.（2020年內蒙古通遼市）16.如圖，在中，，點P在斜邊上，以為直角邊作等腰直角三角形，，則三者之間的數量關系是_____．【答案】PA2+PB2=PQ2【解析】【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出來，結合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的關系，從而可找到PA2，PB2，PQ2三者之間的數量關系；【詳解】解：過點C作CD⊥AB，交AB于點D∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，∵△CPQ為等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴2PC2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2，故答案為PA2+PB2=PQ2.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，關鍵是作出輔助線，利用三線合一進行論證.10.（2020?江蘇省淮安市?3分）已知直角三角形斜邊長為16，則這個直角三角形斜邊上的中線長為8．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線性質得出CD＝AB，代入求出即可．【解答】解：∵在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AB＝16，∴CD＝AB＝8，故答案為：8．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質，能熟記直角三角形斜邊上的中線性質的內容是解此題的關鍵，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．11.（2020?湖北孝感?3分）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1＝S2，則的值為．【分析】可設直角三角形另一條直角邊為x，根據S1＝S2，可得2x2＝m2，則x＝m，再根據勾股定理得到關于m，n的方程，可求的值．【解答】解：設直角三角形另一條直角邊為x，依題意有2x2＝m2，解得x＝m，由勾股定理得（m）2+（n+m）2＝m2，m2﹣2mn﹣2n2＝0，解得m1＝（﹣1﹣）n（舍去），m2＝（﹣1+）n，則的值為．故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理的證明，根據正方形的面積公式和三角形形的面積公式得出它們之間的關系是解題的關鍵．12（2020?貴州省安順市?4分）如圖，△ABC中，點E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點D，BD＝8，AC＝11，則邊BC的長為4．【分析】延長BD到F，使得DF＝BD，根據等腰三角形的性質與判定，勾股定理即可求出答案．【解答】解：延長BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，過點C點作CH∥AB，交BF于點H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC＝＝4，故答案為：4【點評】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用等腰三角形的性質與判定，本題屬于中等題型．三.解答題1.（2020?湖北武漢?10分）問題背景如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC邊上，＝，求的值；拓展創新如圖（3），D是△ABC內一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接寫出AD的長．【分析】問題背景由題意得出，∠BAC＝∠DAE，則∠BAD＝∠CAE，可證得結論；嘗試應用連接EC，證明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性質得出，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可證明△ADF∽△ECF，得出＝3，則可求出答案．拓展創新過點A作AB的垂線，過點D作AD的垂線，兩垂線交于點M，連接BM，證明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性質得出，證明△BDM∽△CDA，得出，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性質可求出AD的長．【解答】問題背景證明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；嘗試應用解：如圖1，連接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展創新解：如圖2，過點A作AB的垂線，過點D作AD的垂線，兩垂線交于點M，連接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴AM＝＝＝2，∴AD＝．【點評】此題是相似形綜合題，考查了直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．2.（2020?貴州省貴陽市?8分）如圖，在4×4的正方形網格中，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖①中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數；（2）在圖②中，畫一個直角三角形，使它的一邊長是有理數，另外兩邊長是無理數；（3）在圖③中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數．【分析】（1）構造邊長3，4，5的直角三角形即可．（2）構造直角邊為2，斜邊為4的直角三角形即可（答案不唯一）．（3）構造三邊分別為2，，的直角三角形即可．【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求．（2）如圖②中，△ABC即為所求．（3）△ABC即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計，無理數，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．3.（2020?湖南省張家界·）如圖，在矩形中，過對角線的中點O作的垂線，分別交于點．（1）求證：；（2）若，連接，求四邊形的周長．【答案】（1）證明過程見解析；（2）25【解析】【分析】（1）根據矩形的性質可得，，，即可證的兩個三角形全等；（2）設，根據已知條件可得，由（1）可推得，可得ED=EB，可證得四邊形EBFD是菱形，根據勾股定理可得BE的長，即可求得周長；【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴，，∴，又∵，∴，在△DOE和△BOF中，，∴．（2）由（1）可得，，，∴四邊形BFDE是平行四邊形，在△EBO和△EDO中，，∴，∴，∴四邊形BFDE是菱形，根據，設，可得，在Rt△ABE中，根據勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴四邊形的周長=．【點睛】本題主要考查了矩形的性質應用，結合菱形的判定與性質、全等三角形的判定進行求解是解題的關鍵．4.（2020?湖北武漢?10分）問題背景如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC邊上，＝，求的值；拓展創新如圖（3），D是△ABC內一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接寫出AD的長．【分析】問題背景由題意得出，∠BAC＝∠DAE，則∠BAD＝∠CAE，可證得結論；嘗試應用連接EC，證明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性質得出，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可證明△ADF∽△ECF，得出＝3，則可求出答案．拓展創新過點A作AB的垂線，過點D作AD的垂線，兩垂線交于點M，連接BM，證明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性質得出，證明△BDM∽△CDA，得出，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性質可求出AD的長．【解答】問題背景證明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；嘗試應用解：如圖1，連接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展創新解：如圖2，過點A作AB的垂線，過點D作AD的垂線，兩垂線交于點M，連接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴AM＝＝＝2，∴AD＝．【點評】此題是相似形綜合題，考查了直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．5（2020?湖南省株洲市·）某高速公路管理部門工作人員在對某段高速公路進行安全巡檢過程中，發現該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患．該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線l1∥l2，點A.B分別在l1.l2上，斜坡AB的長為18米，過點B作BC⊥l1于點C，且線段AC的長為2米．（1）求該斜坡的坡高BC；（結果用最簡根式表示）（2）為降低落石風險，該管理部門計劃對該斜坡進行改造，改造后的斜坡坡角α為60°，過點M作MN⊥l1于點N，求改造后的斜坡長度比改造前的斜坡長度增加了多少米？【分析】（1）運用勾股定理解題即可；（2）根據勾股定理列出方程，求出AM，問題得解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，；（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，∴AN2+300＝4AN2∴AN＝10，∴AM＝20，∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．綜上所述，長度增加了2米．【點評】本題考查了解直角三角形，題目難度不大，理解好題意運用勾股定理解題是關鍵．6.(2020?江蘇省泰州市?10分)如圖，已知線段a，點A在平面直角坐標系xOy內．(1)用直尺和圓規在第一象限內作出點P，使點P到兩坐標軸的距離相等，且與點A的距離等于a．(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，若a≈2，A點的坐標為(3，1)，求P點的坐標．【分析】(1)根據角平分線的性質即可用直尺和圓規在第一象限內作出點P，使點P到兩坐標軸的距離相等，且與點A的距離等于a；(2)在(1)的條件下，根據a≈2，A點的坐標為(3，1)，利用勾股定理即可求P點的坐標．【解答】解：(1)如圖，點P即為所求；(2)由(1)可得OP是角平分線，設點P(x，x)，過點P作PE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，AD⊥PE于點D，∵PA＝a≈2，A點的坐標為(3，1)，∴PD＝x－1，AD＝x－3，根據勾股定理，得PA2＝PD2+AD2，∴(2)2＝(x－1)2+(x－3)2，解得x1＝5，x2＝－1(舍去)．所以P點的坐標為(5，5)．【點評】本題考查了作圖－復雜作圖、坐標與圖形的性質、角平分線的性質、勾股定理，解決本題的關鍵是掌握角平分線的性質．\7.（2020?廣東省深圳市?9分）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發現BE=DG且BE⊥DG。小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，（如圖2）試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE=DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG。小組發現：在旋轉過程中，BG2+DE2是定值，請求出這個定值背景圖圖3圖2圖1背景圖圖3圖2圖1【考點】手拉手，相似，勾股【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形∴AB=AD，∵四邊形AEFG為正方形∴AE=AG，∴在△EAB和△GAD中有：∴△EAB≌△GAD∴BE=DG(2)當∠EAG=∠BAD時，BE=DG成立。證明：∵四邊形ABCD菱形∴AB=AD∵四邊形AEFG為正方形∴AE=AG∵∠EAG=∠BAD∴∴在△EAB和△GAD中有：∴△EAB≌△GAD∴BE=DG(3)連接EB，BD，設BE和GD相交于點H∵四邊形AEFG和ABCD為矩形∴∴∵∴△EAB∽△GAD∴∴∴，∴，∴8（2020?廣東省?4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓、老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如題17圖，∠ABC=90°，點M、N分別在射線BA.BC上，MN長度始終不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA.BC的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為_________________．【答案】【解析】點B到點E的距離不變，點E在以B為圓心的圓上，線段BD與圓的交點即為所求最短距離的E點，BD=，BE=2【考點】直角三角形的性質、數學建模思想、最短距離問題9（2020?廣東省?8分）已知關于x、y的方程組與的解相同．（1）求A.b的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為2，另外兩條邊的長是關于x的方程x2+ax+b=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說明理由．【答案】解：由題意得，解得由，