“旋轉(zhuǎn)全等”模型圖及結(jié)論的探究與應(yīng)用摘要：兩個具有公共頂點且頂角相等的等腰三角形，其中一個等腰三角形在繞著頂點旋轉(zhuǎn)的過程中，伴隨著有全等三角形的產(chǎn)生.通過得證的全等三角形，利用其性質(zhì)可以順其自然得到更多的邊相等、角相等.在一些幾何綜合問題中，常常隱藏著旋轉(zhuǎn)全等模型，如果能夠找到對應(yīng)模型所需要的條件，拆解出旋轉(zhuǎn)全等基本圖，那么問題就會迎刃而解.本文以一般的等腰三角形和特殊的等腰三角形為例，在信息技術(shù)環(huán)境下利用幾何畫板進行動態(tài)演示，探究旋轉(zhuǎn)全等的模型圖和對應(yīng)結(jié)論以及應(yīng)用上的優(yōu)越性.關(guān)鍵詞：等腰三角形，共頂點旋轉(zhuǎn)，全等三角形引言：全等三角形是兩個三角形中最簡單，最常見的關(guān)系。在滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊第14章全等三角形章節(jié)學(xué)習(xí)中，無論是教材習(xí)題還是在配套練習(xí)中，都有旋轉(zhuǎn)全等模型的存在.接下來我們將從特殊的等邊三角形去研究旋轉(zhuǎn)全等模型的存在性，以此進一步推廣到更為一般的等腰三角形，在相同條件成立的情況下，也存在此模型下相同的結(jié)論.一、模型概述兩個頂角相等且頂點重合的等腰三角形，其中一個等腰三角形在繞著頂點旋轉(zhuǎn)的過程中，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，把這樣的圖形稱作共頂點旋轉(zhuǎn)模型.二、基本模型1．等邊三角形（1）基本模型圖及結(jié)論一已知條件：△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，連接BD、CE.結(jié)論1：△BAD≌△CAE.證明：如圖1-1，∵△ABC、△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE.∠BAC=∠DAE=60°.∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△CAE中，{∠BAD=∠CAEAD=AE，AB=AC∴△ABD≌△CAE.（SAS）小結(jié)：在條件成立時，共頂點旋轉(zhuǎn)過程中，始終有全等三角形.（2）基本模型圖及結(jié)論二已知條件：△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，BD、CE交于點F.結(jié)論2：∠BFC=∠BAC=60°.證明：由結(jié)論1可知∠ABP=∠ACE,如圖2①-③，∵∠BAC+∠ABP=∠BPC,∠BFC+∠ACE=∠BPC,∴∠BAC+∠ABP=∠BFC+∠ACE.∴∠BFC=∠BAC=60°.小結(jié)：等邊三角形共頂點旋轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)全等，并且兩連線BD和AE所在的直線的夾角始終為60°.（3）基本模型圖及結(jié)論三已知條件：△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，BD、CE交于點F，連接FA.結(jié)論3：FA平分∠BAC，F(xiàn)B平分∠AFC.證明：由結(jié)論1：△ABD≌△CAE可知，S△ABD=S△CAE，BD=CE，∴MA=NA，∴FA平分∠BAC.（角平分線的判定定理）FB平分∠AFC.（4）基本模型圖及結(jié)論四已知條件：△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，BD、CE交于點F，連接FA.結(jié)論4：FB=AF+CF，EF=AF+FD.證明：如圖4，在FB上截取FG=AG,可知△ABC為等邊三角形.利用基本結(jié)論得到△ABG≌△ACF.∴BG=CF，∴BG+GF=CF+AF，∴FB=AF+CF.同理得證：EF=AF+FD.小結(jié)：如圖，四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°，∠ADC=120°.則DB平分∠ADC，BD=AD+CD.對角互補，鄰邊相等的四邊形例1.△ABC和△EDC均為等邊三角形，且B、C、E在同一條直線上，連接BD交AC于點M，連接AE交CD于點N，連接MN，點F為AE與BD的交點.求證：（1）△BCM≌△ACN；（2）△DCM≌△ECN；（3）MN∥BE；（4）△CMN是等邊三角形.分析：由旋轉(zhuǎn)型全等易證△BCD≌△ACE，從而∠CBM=∠CAN，又由已知條件可得△BCM≌△ACN，同理可證△DCM≌△ECN，進而CM=CN，又∵∠MCN=60°，∴△CMN是等邊三角形，再由平行線的判定可得MN∥BE.證明：模型基本結(jié)論1易證△BCD≌△ACE，∴∠CAN=∠CBM.∵B、C、E三點共線，△ABC和△EDC是等邊三角形，∴∠BCM=∠ACN=∠ECN=60°，BC=AC.在△BCM和△ACN中，，{∠BCM=∠ACNBC=AC∠CBM=∠CAN∴△BCM≌△ACN（ASA）.同理可證△DCM≌△ECN，∴CM=CN，∴△CMN是等邊三角形，∴∠NMC=∠ACB=60°，∴MN∥BE.小結(jié)：此題所利用的正是旋轉(zhuǎn)型全等的基本結(jié)論1，由基礎(chǔ)結(jié)論1進而證明B、C、E三點共線時的特殊結(jié)論.例2.點E是菱形ABCD的對角線CA延長線上的任意一點，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且∠EAG=∠DAB，連接EB，GD.（1）求證：EB=GD.（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=3，求GD的長.（1）證明：∵四邊形AEFG、ABCD是菱形，∠EAG=∠DAB，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD.∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD.∴EB=GD.（2）解：如圖7，連接BD交AC于點P，則BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，1∴BP=AB=1，AP=2AB2?BP2=3，AE=AG=3，∴EP=23，∴EB=EP2+BP2=13，∴GD=13.2．等腰直角三角形（1）基本模型圖及結(jié)論兩個共頂點的等腰三角形，繞著點C旋轉(zhuǎn)過程中，始終有如下結(jié)論：①△ABD≌△ACE;②BD⊥CE（位置關(guān)系）且BD=CE（數(shù)量關(guān)系）；③FA平分∠BFE.證明方法與等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型類似.證明：如上圖8-①，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC,AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）.由△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，即BD⊥CE.由△ABD≌△ACE，S△ABD=S△CAE，BD=CE，∴MA=NA，∴FA平分∠BFE.（角平分線的判定定理）（2）例題例3.如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點.求證（1）△ACE≌△BCD；（2）2CD2=AD2+DB2.證明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD.（2）∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠CAE=45°,∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=90°,∴AD2+AE2=DE2.由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2,∴2CD2=AD2+DB2.例4.如圖，將等腰直角△ABC和等腰直角△ADE按圖①放置，∠A=90°，AD邊與AB邊重合，AB=2AD=4.將△ADE繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α（0°<α<180°），BD的延長線交CE于點P.（1）如圖11-②，證明：BD=CE，BD⊥CE；（2）如圖11-③，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AD⊥BD時，求CP的長.（1）證明：∵△ABC、△ADE為等腰直角三角形,∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.∵∠DAB=90°-∠CAD，∠CAE=90°-∠CAD，∴∠DAB=∠CAE.∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE.∴∠DBA=∠ECA.∴∠CPB=∠CAB.∴BD⊥CE.（2）解：由（1）得BP⊥CE.又∵AD⊥BD，∠DAE=90°，AD=AE，∴四邊形ADPE為正方形.∴AD=PE=2.∵∠ADB=90°,AD=2,AB=4,∴BD=CE=23.∴CP=CE-PE=23?2.3．任意頂角相等的等腰三角形（1）基本模型圖及結(jié)論等腰△ABC和等腰△ADE，∠BAC=∠DAE，△ADE繞著點C旋轉(zhuǎn)過程中，始終有如下結(jié)論：①△ABD≌△ACE；②∠BFC=∠BAC=∠DAE；③FA平分∠BFE.證明方法與等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型類似.證明：如上圖12-①，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BFC，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE.由△ABD≌△ACES△ABD=S△CAE，BD=CE，∴MA=NA，∴FA平分∠BFE.（角平分線的判定定理）（2）例題例5.如圖，點C為線段AB上任意一點（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交點P，連接PC.（1）求證：△ACE≌△DCB，（2）求證：∠APC=∠BPC.證明：（1）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.（2）分別過點C作CH⊥AE，垂足為H，作CG⊥BD，垂足為G.∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，三、特殊模型1．B、D、E三點共線（1）模型圖及結(jié)論等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，當(dāng)B、D、E三點共線時，則A、B、C、D四點共圓.（2）例題例6.四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AB=AC，點E是BD上一點，且AE=AD，∠EAD=∠BAC.（1）求證：∠BAD=∠ACD.（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度數(shù).證明：（1）∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD，∴∠BAD=∠ACD.（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BAC，∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC，∵∠ABD=∠ACD，∴∠BAC=∠BDC.∵∠ACD=65°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∴∠BDC=∠BAC==50°.2．D點在BC上運動時（1）模型圖及結(jié)論等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，當(dāng)D點在BC上運動時，則CA平分∠BCE，A、B、C、D四點共圓.（2）例題例7.如圖，在△ABC中，AB=AC,點D是BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠BAC=∠DAE，連接CE.（1）如圖，若∠BAC=90°，①求證△ABD≌△ACE；②求∠BCE的度數(shù).（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，則α，β之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論.解：（1）①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE（SAS）；②∵△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°，∴∠BCE=90°.（2）α+β=180°.理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE.∴∠B+∠ACB=∠AC