2021年湖北省武漢市蔡甸區漢陽一中高考數學仿真模擬試卷

（五）

一、單項選擇題：本題包括8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個選項符合題意.

1.（5分）已知集合滿足{1,2}cAc{l,2,3},則集合A可以是（）

A.{3}B.{1,3}C.{2,3}D.{112}

2.（5分）已知z是復數，i是虛數單位，則“z=-i"是的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（5分）己知。，b,3均為單位向量，且1+潺=20,則）

A.――B.--C.-D.-

2442

4.（5分）正實數”，h,c滿足a+sina=2,。+3"=3,c+log4c=4,則實數a,h>c

之間的大小關系為（）

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

5.（5分）碌磕是我國古代人民發明的一種把米、麥、豆等糧食加工成粉末的器具.如圖，

近似圓柱形碌精的軸固定在經過圓盤圓心且垂直于圓盤的木樁上，當人推動木柄時，碌

德在圓盤上滾動，若人推動木柄繞圓盤轉動1周，碌嬉恰好滾動了3圈，則該圓柱形碌

精的高與其底面圓的直徑之比約為（）

A.3：1B.3：2C.1：3D.2：3

22

6.（5分）已知橢圓C:=+《=l（a>人>0）的焦距為2c（c>0）,右焦點為尸，過C上一點P

a~b-

作直線x=的垂線，垂足為Q.若四邊形OP0尸為菱形，則C的離心率為（）

A.-B.—C.4-2x/3D.6-1

33

7.（5分）將標號為1,2,9的9個球放入標號為1,2,9的9個盒子里，每個

盒內放一個球，恰好3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法種數為（）

A.84B.168C.252D.504

8.（5分）已知函數/（x）=ar3+cx+d（0<a<￡?）沒有極值點，則一^~~巴-的最大值為（

a+b+c

）

A.-B.2>/5-3C.-D.2>/7-5

57

二、多項選擇題：本題包括4小題，每小題5分，共20分，每小題至少有兩個選項符合題

意，全對得5分，漏選得2分，選錯不得分.

9.（5分）已知無窮等差數列｛”“｝的前”項和為5.，4>0,d<0,則（）

A.數列他“｝單調遞減B.數列｛6｝沒有最小值

C.數列｛S“｝單調遞減D.數列｛S,,｝有最大值

10.（5分）設AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2應,b=0,則

角8可以是（）

A.15°B.30°C.45°D.75°

11.（5分）已知曲線C的方程為"x2+升=|x+2y|,M:（x-5）2+>2=，（,->0）,則（）

A.C表示一條直線

B.當r=4時，C與圓M有3個公共點

C.當廠=2時，存在圓N,使得圓N與圓M相切且圓N與C有4個公共點

D.當C與圓M的公共點最多時，r的取值范圍是（4,+00）

12.（5分）已知函數=尸-人的圖象過原點，且無限接近直線y=-2但又不與該直

線相交，貝I"）

A.函數f（x）為奇函數

B.函數/（幻的單調遞減區間是[0,+00）

C.函數/（x）的值域為（-8,0]

D.函數/（x）有唯一零點

三.填空題：本題包括4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若（x+亙）9的展開式中廣的系數為號，則實數。的值為.

14.(5分)若數列口｝滿足4=1,且對于任意的〃eN*,都有%-4=〃+l,則數列｛二｝

的前w項和S“=.

15.(5分)請寫出與曲線+1在點(0,1)處具有相同切線的一個函數(非常數函數)

的解析式為g(x)=.

16.(5分)如圖，OE是邊長為6的正三角形ABC的一條中位線，將△AOE沿直線OE翻

折至△4DE,當三棱錐Ai-CE。的體積最大時，四棱錐4-8CDE外接球。的表面積

為；過后(7的中點M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是.

四、解答題(本題包括6小題。共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(10分)AA8C中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知AA8C的面積為加，

,c,1

b-c=2,cosA=——.

4

(I)求〃和sinC的值;

(II)求cos(2C+g)的值

18.(12分)設數列｛/｝的前"項和為滿足可+牛=牛、(〃€”).

rr+n

(I)求證：數列［,,+—!—］為等比數列；

［+1)J

(H)求S,,,并求5“的最大值.

19.(12分)如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中/

BAD=60°,AB=2AO=2,ZBAE^ZGAD=45°.

(1)求證：平面AOG_L平面BOG；

(2)求直線BG與平面AGFE所成角的正弦值.

20.（12分）某高校籌辦大學生運動會，設計兩種賽事方案：方案一、方案二.為了了解運

動員對活動方案是否支持，對全體運動員進行簡單隨機抽樣，抽取了100名運動員，獲得數

據如表:

方案一方案二

支持不支持支持不支持

男運動員20人40人40人20人

女運動員30人10人20人20人

假設所有運動員對活動方案是否支持相互獨立.

（1）根據所給數據，判斷是否有99%的把握認為方案一的支持率與運動員的性別有關？

（2）視頻率為概率，從全體男運動員中隨機抽取2人，全體女運動員中隨機抽取1人；

（i）估計這3人中恰有2人支持方案二的概率；

（ii）設抽取的3人中支持方案二的人數為X,求X的分布列和數學期望.

(?+b)(c+d){a+c)(b+d)

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓。:二+4=1（。>6>0）的離心率為立

a-b-2

直線/:y=2上的點和橢圓。上的點的距離的最小值為1.

（I）求橢圓復的方程；

（II）已知橢圓。的上頂點為A,點6,C是。上的不同于A的兩點，且點8,C關于原

點對稱，直線加，AC分別交直線/于點￡,F.記直線AC與鉆的斜率分別為4，k2

①求證：勺?自為定值;

②求ACEF的面積的最小值.

22.(12分)已知函數/(x)=a歷x+1(4€R).

X

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若xe(O,e],f(x)..O恒成立，求實數。的取值范圍.

2021年湖北省武漢市蔡甸區漢陽一中高考數學仿真模擬試卷

（五）

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題包括8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個選項符合題意.

1.（5分）已知集合滿足{1,2}cAc{l,2,3）,則集合A可以是（）

A.{3}B.{1,3）C.{2,3}D.{112}

【解答】解：?.?{1，2}=A={1,2,3},

A={\,2}或A={1,2,3）,

故選：D.

2.（5分）已知z是復數，i是虛數單位，則“z=-i”是“z2=-l”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：①當Z=T?時，Z2=-1成立，，充分性成立，

②當Z2=-1時，則Z=±i,.?.必要性不成立，

.?"=7是22=-1的充分不必要條件，

故選：A.

3.（5分）已知1,b,均為單位向量，且1+沙=2人則商-3=（）

11C11

A.-2-B.一4-4-D.2-

【解答】解：?.?萬，b,C均為單位向量，且1+?=2八

a-2c=-2bnar-4d-c+4c2=4/72nl-4萬?不+4=4

ROa-c=—,

4

故選：C.

4.（5分）正實數a,b,c滿足a+sina=2,b+3"=3,c+log4c=4,則實數a,b,c

之間的大小關系為（）

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解答】解：,.?a+sina=2,「.sina=2—a,???sina￡|-l,1],「.峻山3,

?.?f(x)=x+3，為增函數，且/(0)=1,f(1)=4,

二.當。+3”=3時，0</><1,

,.?g(x)=x+log4x為增函數，且g(3)<4.g(4)=5,

當c+log4c=4時，3<c<4,

:.b<a<c■

故選：A.

5.(5分)碌磕是我國古代人民發明的一種把米、麥、豆等糧食加工成粉末的器具.如圖，

近似圓柱形碌li毒的軸固定在經過圓盤圓心且垂直于圓盤的木樁上，當人推動木柄時，碌

健在圓盤上滾動，若人推動木柄繞圓盤轉動1周，碌情恰好滾動了3圈，則該圓柱形碌

堿的高與其底面圓的直徑之比約為()

A.3：1B.3：2C.1：3D.2：3

【解答】解：由題意，人推動木柄繞圓盤轉動1周，碌俺恰好滾動了3圈，

因為圓的周長為c=2irr,

所以它們的半徑之比為3：1,

故圓柱形碌堿的高與其底面圓的直徑之比約為3：2.

故選：B.

22

6.(5分)已知橢圓(7邑+[=13>。>0)的焦距為2?>0),右焦點為上,過C上一點P

Qb

作直線x=的垂線，垂足為。.若四邊形OPQF為菱形，則C的離心率為()

A.-B.—C.4-25/3D.A/3-I

33

22

【解答】解：橢圓C:0+馬=13>10)的焦距為2c(c>0),右焦點為尸，過C上一點P

CTb

作直線X=3c的垂線，垂足為Q.若四邊形OPQE為菱形，

2

1c

可得P的橫坐標Lc,\OP\^OF\=C,可得P的縱坐標為：—C,

22

-rzaC23c213c之

可得--7H---7=1,即一e9H---;----7=［，

4a4b44a-4c

即=ee(O,l),

44-4e-

解得e2=4—2\/3，所以e=+—1.

7.(5分)將標號為1,2,9的9個球放入標號為1,2,9的9個盒子里，每個

盒內放一個球，恰好3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法種數為()

A.84B.168C.252D.504

【解答】解：根據題意，先確定標號與其在盒子的標號不一致的3個球，

即從9個球中取出3個，有C；=84種，

而這3個球的排法有2xlxl=2種；

則共有84x2=168種，

故選：B.

8.(5分)已知函數/(幻=以3+法2+0*+(/(()<。</7)沒有極值點，則b-a的最大值為(

a+/7+c

)

A.-B.275-3C.-D.2>/7-5

57

(解答］解：f(x)=ax3+hx2+ex+d(0<〃</?),

廣(x)=3ax2+2bx+c(0<a<h),

因為函數/(x)=o?+加+cx+d(0<〃</?),沒有極值點,

所以函數在R上單調遞增，

所以/（X）..o在/?上恒成立，

fO<a</?\0<a<b

[小助？-“",，O''[b\,3ac'

2T

所以上<=，,—,

a+h+ca~+ab-\-ac]+（，）+?（。）2

a3a

令t=）,因為0<a<b,所以f>l,

a

所以

…副人1=3________________=3______i______3.」一=3（2幣-5）用

（/一1>+5（"1）+7"i）+J_+52b+53

3f-1

當且僅當r=i+V7時取等號，

故選：D.

二、多項選擇題：本題包括4小題，每小題5分，共20分，每小題至少有兩個選項符合題

意，全對得5分，漏選得2分，選錯不得分.

9.（5分）已知無窮等差數列｛4｝的前〃項和為5“，?,>0,d<0,則（）

A.數列｛4｝單調遞減B.數列｛%｝沒有最小值

C.數列｛S,,｝單調遞減D.數列｛S,,｝有最大值

【解答】解：無窮等差數列｛%｝中，q>（）,d<0,

則數列｛a,J單調遞減，A,8正確;

例如4=4-〃中，?,=3>0,4=2,則S2>E，不滿足數列｛S,｝單調遞減，C錯誤；

4>0,</<0>故存在機使得a”,..0,am+l<0,

故當"=m時，S“取得最大值，D正確.

故選：ABD.

10.（5分）設AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若”=2也，b=五,則

角3可以是（)

A.15°B.30°C.45°D.75°

【解答］解：若a=2&.,b=\［l,

則由正弦定理〃一=，一,可得sinB="^4=1sinA,

sinBsinAa2

因為Ae(0,180。)，sinAe(0,1］,

所以可得sin8=gsinAe(0,；］,

又a>b,3為銳角，

所以BRO,30。］,對比各個選項可得角3可以是15。，或30。.

故選：AB.

11.(5分)已知曲線C的方程為JN+J?=|x+2y|,M:(x-5)2+/=r2(r>0),WO()

A.C表示一條直線

B.當r=4時，C與圓M有3個公共點

C.當廠=2時，存在圓N,使得圓N與圓M相切且圓N與。有4個公共點

D.當C與圓M的公共點最多時，r的取值范圍是(4,小)

【解答】解：曲線C的方程為+=|x+2y|,兩邊平方可得V+y?=Y+49+4孫，

化為y=0或4x+3y=0,即曲線C表示兩條直線，故A錯誤；

當r=4時，圓”的圓心為(5,0),半徑為4,圓例與y=0有兩個交點；

又圓心M到直線4x+3y=0的距離為4=早=4=廠，所以C與圓M有3個公共點，故B

正確；

當r=2時，圓”的圓心為(5,0),半徑r=2,

存在圓N,圓心N(1,O),半徑為2,圓N與圓〃相切且圓N與C有4個公共點，故C正確；

當。與圓M的公共點最多時，且為4個.由/*=4或5時，C與圓〃有3個公共點，

可得當C與圓M的公共點最多時，，?的取值范圍是(4,5)0(5,+00),故。不正確.

故選：BC.

12.(5分)己知函數f(x)=a.(g尸-。的圖象過原點，且無限接近直線y=-2但又不與該直

線相交，貝1」()

A.函數/(x)為奇函數

B.函數/(x)的單調遞減區間是［0,+oo)

C.函數/(x)的值域為(-00,0]

D.函數，(x)有唯一零點

【解答】解：根據題意，函數"x)=a.(g)E-。的圖象過原點，HPf(0)=a-h=0,則有a=b,

又由/(x)的圖象無限接近直線y=-2但又不與該直線相交，則6=2,

2''x-2,x.0

故。=6=2,貝ij/(x)=2x(—尸一2=

2g-2,x<0'

對于A,/(x)的定義域為R,K/(-X)=2X(1)W-2=/(JC),/(x)為偶函數，A錯誤，

對于B,函數/(x)的單調遞減區間是[0,+00),B正確,

對于C,函數/(幻的值域為(-2,0],C錯誤，

對于。，函數f(x)有唯一零點0,D正確，

故選：BD.

三.填空題：本題包括4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若G+曳產的展開式中小的系數為爭，則實數〃的值為

【解答】解：(xm)9的展開式的通項公式為4i=cn~-2『，令9-2r=3,求得r

x9

=3,

可得展開式中小的系數為則實數。=2，

922

故答案為：1.

2

14.(5分)若數列｛a,J滿足4=1,且對于任意的都有4川-a“=”+1,則數列｛2｝

an

的前〃項和S“

〃+1

【解答】解：由q=l,且對于任意的〃wN*,都有〃“+]—〃〃=〃+1,

可得=4+(%-《)+(%-％)+…+3〃-/_1)=l+2+3+.??+〃=g〃5+l)

則_L=，_=2(---彳)

ann(n+1)nn+\

r-r*IXIc-八111112〃

所以S=2(1-----1---------F...H------------)=2(1--------)=------

223n7?+1〃+1〃+1

故答案為：2〃一

〃+1

15.(5分)請寫出與曲線/(x)=d+i在點(0』)處具有相同切線的一個函數(非常數函數)

的解析式為g(x)=_g(x)=V+1或g(x)=-x?+1或g(x)=COSX(答案不唯一)

【解答】解：因為f(x)=/+l,所以r(x)=3f,

把x=0代入，得((0)=0,即曲線/(X)在點(0,1)處切線方程的斜率為0,

所以曲線f(x)=x3+l在點(0,1)處的切線方程為y=l,

因此，所有在點(0,1)處的切線方程為y=1的函數都是正確答案.

故答案為；g(x)=x?+1或g(x)=-V+1或g(x)=cosx(答案不唯一).

16.(5分)如圖，OE是邊長為6的正三角形A8C的一條中位線，將△4OE沿直線OE翻

折至當三棱錐Ai-CED的體積最大時，四棱錐Ai-BCDE外接球。的表面積

為39TT；過EC的中點加作球。的截面，則所得截面圓面積的最小值是_空1_.

【解答】解：由題意可知，當平面AiDEJ■平面8CDE時，三棱錐Ai-CEO的體積最大,

如圖所示，

取。E的中點G,連接A1G,則△A1OE的外接圓的圓心。1位于4G且靠近點G的三等

分點處，

設BC的中點為3,連接O2E,02。，貝IO2B=O2C=O2O=O2E=3,

所以S為四邊形BCOE的外接圓的圓心，

過01作平面A1￡?E的垂線，過3作平面BCZ5E的垂線,

則兩垂線的交點即為四棱錐Ai-BCDE的外接球的球心0,

連結0G,則四邊形。。1,G2。為矩形，002=0IG=返,

2

22+2=

連結。E,在RtZXOOE中，0E=00202E2?號

所以四棱錐A\-BCDE外接球0的表面積為4nR2=39n；

由題意可知，以EC為直徑的球0的截面圓的面積最小，

所以最小值鳴產冗殍k吟小軍兀誓

故答案為：39TT；空L.

四、解答題（本題包括6小題。共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（10分）A4BC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知AABC的面積為而,

b—c=2,cosA=——.

4

(I)求〃和sinC的值；

(II)求cos(2C+^)的值

3

【解答】解：(I)AA3C中，面積為％^=；反疝4=而，

又cosA=--,A為鈍角，

4

所以sinA=A/1-COS2A=^1-(-^-)2=；

所以be=8;

又b-c=2,

所以8=4,c=2；

所以/=b24-c2-2bccosA=16+4-2x4x2x(-^-)=24；

所以a=2A/6；

由正弦定理得，一二」一，

sinAsinC

9岳

所以sinC=2=-^=叵；

a2V68

(II)由題意知，C為銳角，

所以cos(2C+—)=cos2Ccos--sin2Csin—

333

=—(l-2sin2C)--x2sinCcosC

22

1n010AV30VlO376

264288

11-9^

--32--

18.(12分)設數列｛q｝的前w項和為S“，滿足4+5,,=早-(〃€%*).

rr+n

(I)求證：數列14+—!—]為等比數列；

[?(?+!)J

(H)求S,，并求S”的最大值.

【解答】解：(I)證明：當”=1時，4+S1=2q=0,即q=0,

1=-"'又\，

當”..2時，a,i+5,i

n(n-l)n(n+1)

____1_______2_

兩式相減可得2%-a,

"Tn(n-1)n(n+1)

即為a+--—=+—■—J，

n〃(〃+1)2n(n-1)

則數列卜“+京占d是首項為q+g=3，公比為;的等比數列;

⑺由⑴可得見+焉rb

即有

又a..+S?=-~,

當掇上3時，S?+1>S?；當〃..4時，S?+l<S?.

所以”=4時，S,,取得最大值，=U.

51680

19.(12分)如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面AEPG所截后得到的，其中N

BAD=60°,AB=2AD=2,ZBAE=ZGAD=45°.

(1)求證：平面ADGJ_平面B￡)G：

(2)求直線BG與平面AGFE所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：在△8A。中，?.?AB=2A￡>=2,ZBAD=60°.

由余弦定理802=4。2+482-248”戊(《60°,

'：AB2=AD1+DB2,：.AD±DB,

在直平行六面體中，GD_L平面ABC。，￡>8u平面A8CC,

J.GD1DB,

又ADHGZ)=O,AD,OGu平面AOG,

平面ADG；

又因為BCu平面BCG,所以平面AOG_L平面BQG；

(2)解：如圖以。為原點建立空間直角坐標系。-孫z,

；NBAE=/GAO=45°,AB=2AD^2,

：.A(1,0,0),B(0,V3，0),E(0,2),G(0,0,1),

AE=(-1,Vs?2>AG=(-1,0,1),GB=(O,我，-1),

設平面AEFG的法向量W=(x,y,z>

令x=l,得丫=F,z=l,n=(l,])，

33

設直線GB和平面AEFG的夾角為6,

，sin8=|cos<福，R>|=||零

IGBI,InI7

所以直線GB與平面AEFG所成角的正弦值為叵.

7

20.（12分）某高校籌辦大學生運動會，設計兩種賽事方案：方案一、方案二.為了了解運

動員對活動方案是否支持，對全體運動員進行簡單隨機抽樣，抽取了100名運動員，獲得數

據如表：

方案一方案二

支持不支持支持不支持

男運動員20人40人40人20人

女運動員30人10人20人20人

假設所有運動員對活動方案是否支持相互獨立.

（1）根據所給數據，判斷是否有99%的把握認為方案一的支持率與運動員的性別有關？

（2）視頻率為概率，從全體男運動員中隨機抽取2人，全體女運動員中隨機抽取1人；

（i）估計這3人中恰有2人支持方案二的概率；

（ii）設抽取的3人中支持方案二的人數為X,求X的分布列和數學期望.

(〃+b){c+d)(a+c)(b+d)

Pg.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解答】解：⑴由題意可得公=史啜%緇蛆“6667>6635,

.?.有99%的把握認為方案一的支持率與運動員的性別有關.

（2）⑴男生支持的概率為=2,男生不支持的概率為1-2=1；

40+20333

女生支持的概率為S-=L,女生不支持的概率為1-』=■!■；

20+20222

3人中恰有2人支持的概率為2X2XL+2X2X!X'=3；

3323329

(")X的可能取值為0,1,2,3,

P(X=0)=-x-x-=—；

33218

…-111121八5

P(X=1)=—x—x—I—x—x—x2=—

33233218

2212114

P(X=2)=-x-x-+-x-x2x-=-；

3323329

2212

P(X=3)=—x—x—=—；

3329

所以X的分布列為:

X0123

P1542

Is99

L八八八115八4r211

二.E(X)=0xF1x—+2x—F3x-=-?

1818996

21.(12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:0+點■=l(a>A>0)的離心率為等,

直線/:y=2上的點和橢圓C上的點的距離的最小值為1.

(I)求橢圓。的方程;

(II)已知橢圓復的上頂點為A,點5,C是。上的不同于A的兩點，且點5,C關于原

點對稱，直線AB,AC分別交直線/于點E,記直線AC與/W的斜率分別為4，%

①求證：匕?&為定值；

②求ACEF的面積的最小值.

所以/=2,b2=1.

故橢圓的方程為一+V=1.（3分）

2

（n）①證法一：設300，%）（%＞。）,則*_+為2=1，

因為點4,c關于原點對稱，則-

_v

所以仁.七=2上！.衛1=￡2=_1_=一_1.（6分）

%%/X。2

證法二：直線AC的方程為？=%產+1,

V2

由《萬+'T得（1+2形口2+4勺x=0,

y=kxx+\

解得左=一一學一，同理/=――隼

2始+1112e+1

AkAk

因為8,O,C三點共線，則由與+/=--學-----學一=0,