平面向量數量積的坐標表示平面向量應用舉例向量加法三角形法則

a+b=(x1+x2，y1+y2)

向量減法三角形法則

a

–

b=(x1–

x2，

y1–

y2)

數乘（實數與向量的積）

ma=(mx1，my1)

aa+bba-babamaθbaθ內積（向量的數量積）

a?b=|a||b|cos

(x1，y1)?(x2，y2)=x1x2+y1y2

a∥b(a≠0)，即a、b共線

存在實數m，使b=ma

x1y2=x2y1

a

b

a?b=0

x1x2+y1y2=0

例1已知四點坐標：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5)．

（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；

（2）求∠DAB的大小．(1)證明：∴AB//DC．AB=(1–(-1)，1–3)=(2，-2)，BC=(4–1，4–1)=(3，3)．DC=(4–3，4–5)=(1，-1)，∵AB=2DC，xABCDy∴

AB⊥BC．∵

AB·BC=2×3+(-2)×3=0，∴ABCD是直角梯形．又∵AB≠DC，xABCDy（2）解：|AB|=√(1–(-1))2+(1–3)2=2√2，AD=(3–(-1)，5–3)=(4，2)，|AD|=√(3–(-1))2+(5–3)2=2√5，AD·AB=4×2+2×

(-2)=4，cos∠DAB===，

AD·AB|AD||AB|42√5·2√2√1010∴∠DAB=arccos．√1010例2

M是?OAB中AB邊上的中點，且|OA|=|OB|，

利用向量證明:OM⊥AB．

AMBO證明：設OA=a，OB=b，ab則AB=b–a，OM=(a+b)．12∵|OA|=|OB|，∴|a|=|b|．∴OM⊥AB．∴OM·AB=(a+b)(b–a)=(b2–a2)=0，1212OABCxyDM例3

已知正方形ABCD的兩個頂點坐標:A(0，1)、C(4，3)，且A、B、C、D按逆時針排列，求頂點B、D的坐標．分析一：|AC|=√2

|AD|?>>AC⊥DM?分析二：>AD⊥DC?>AD·AC=|AD||AC|cos45?

?解法一：設D(x，y)，AC中點M(xo，yo)，則

xo==2，yo==2．0+421+32|AC|=√42+(3–1)2=2√5，|AD|=√x2+(y–1)2

，由AC=√2|AD|，

得2√5=√2√x2+(y–1)2

，①由AC⊥DM，AC·DM=4(2–x)+(2–y)=0．②由①、②解得x=1，y=4y=0．x=3，{或{∴D、B坐標分別是（1，4）、（3，0）．得OABCxyDM又

AC=(4，2)，DM=(2–x，2–y)．解法二：（略寫）AD⊥DC>x(4–x)+(y–1)(3–y)=0．>AD·AC=|AD||AC|cos45?

4x+2(y–1)=|AC|2．√22√22OABCxyDMABCPabp

例4?ABC內有一點P，設CA=a，CB=b，CP=p

(1)用a，b，p表示AP2+BP2+CP2;

(2)求AP2+BP2+CP2的最小值，并求取得最小值時P點的位置．

AP2=AP·AP=(p–a)2;∴AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2．解:(1)BP2=BP·BP=(p–b)2;CP2=p2．(2)AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2∴AP2+BP2+CP2的最小值為(a2+b2–a·b)，

取得最小值時P點為ΔABC的重心．23=3(p–)2+(a2+b2–a·b)，23a+b3ABCPabp(1)

若P分線段AB為1:k

，試以k表示點P的坐標;

(2)

求AB?CP;

(3)若CP

AB，

求P點的坐標．練習

已知A、B、C的坐標分別為(3，4)、(9，1)和(7，7)，OABxyPCP解:(1)則x=，9+3k1+ky=．1+4k1+k即P點坐標為（，）．9+3k1+k1+4k1+k由已知，點P分BA的比為k，設P(x，y)，AB·CP=–．6(2–4k)1+k3(-6–3k)1+k(3)∵CP⊥AB，∴AB·CP=0，解得k=2，∴P點坐標為（5，3）．OABxyPCP(2)AB=(6，-3)，CP=(–7，–7)，1+4k1+k9+3k1+k已知正方形ABCD兩頂點的坐標A(1，0)