北京昌平區下莊學校2022-2023學年高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）（2014?天津學業考試）已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l∥m，則α⊥β其中正確命題的個數是（）A．0B．1C．2D．3參考答案：C【分析】：利用直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系逐一判斷，成立的證明，不成立的可舉出反例．解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m?β，∴l⊥m，①正確．②由l⊥m推不出l⊥β，②錯誤．③當l⊥α，α⊥β時，l可能平行β，也可能在β內，∴l與m的位置關系不能判斷，③錯誤．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m?β，∴α⊥β故選C【點評】：本題主要考查顯現，線面，面面位置關系的判斷，屬于概念題．2.的內角A、B、C的對邊分別為，若成等比數列，且，則A． B．

C． D．參考答案：B3.若等邊的邊長為，平面內一點滿足，則(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略4.設，，則雙曲線的離心率的概率是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A5.如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，Q為A1B1上任意一點，E，F為CD上任意兩點，且EF的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是（）A．點Q到平面PEF的距離 B．直線PE與平面QEF所成的角C．三棱錐P﹣QEF的體積 D．二面角P﹣EF﹣Q的大小參考答案：B【考點】直線與平面所成的角．【分析】根據線面平行的性質可以判斷A答案的對錯；根據線面角的定義，可以判斷C的對錯；根據等底同高的三角形面積相等及A的結論結合棱錐的體積公式，可判斷B的對錯；根據二面角的定義可以判斷D的對錯，進而得到答案．【解答】解：A中，取B1C1的中點M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF為定值；B中，∵P是動點，EF也是動點，推不出定值的結論，∴就不是定值．∴直線PE與平面QEF所成的角不是定值；C中，∵△QEF的面積是定值．（∵EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值），再根據A的結論P到QEF平面的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定．∴三棱錐P﹣QEF的體積是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q為A1B1上任意一點，E、F為CD上任意兩點，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小為定值．故選：B．【點評】本題考查的知識點是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點到平面的距離，其中兩線平行時，一條線的上的點到另一條直線的距離相等，線面平行時直線上到點到平面的距離相等，平面平行時一個平面上的點到另一個平面的距離相等是解答本題的關鍵．6.設函數，則“是偶函數”是“的圖象關于原點對稱”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B若是偶函數,而不一定是奇函數,故的圖象不一定關于原點對稱;當的圖象關于原點對稱時,函數是奇函數,則是偶函數,因此“是偶函數”是“的圖象關于原點對稱”的必要不充分條件.故選B.

7.投擲一枚質地均勻的骰子兩次，若第一次面向上的點數小于第二次面向上的點數我們稱其為前效實驗，若第二次面向上的點數小于第一次面向上的點數我們稱其為后效實驗，若兩次面向上的點數相等我們稱其為等效試驗.那么一個人投擲該骰子兩次后出現等效實驗的概率是（）．

．

．

．

參考答案：B投擲該骰子兩次共有中結果，兩次向上的點數相同，有6種結果，所以投擲該骰子兩次后出現等效實驗的概率是，選B.8.若復數且，則＝A．

B．

C． D．1參考答案：A9.若的展開式中常數項為20，則實數a的值是（

）

A．1

B．-1

C．6

D．-6參考答案：A10.若關于的不等式≥在上恒成立，則的最大值為（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知；，若是的充分不必要條件，

則實數的取值范圍是___________________參考答案：略12.設,則的展開式中含項的系數是

參考答案：40略13.在邊長為a的等邊三角形ABC中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a,這時二面角B-AD-C的大小為

．參考答案：60°

略14.已知，函數若函數恰有2個不同的零點，則的取值范圍為

▲

．參考答案：（0,2）由已知可得在區間上必須要有零點，故解得：，所以必為函數的零點，故由已知可得：在區間上僅有一個零點.又在上單調遞減，所以，解得15.從某項綜合能力測試中抽取50人的成績，統計如表，則這50人成績的平均數等于

▲

、方差為

▲.分數54321人數10515155參考答案：3

(2分)，

(3分)略16.如圖，是二面角內的一點于點，于點，且，則二面角的大小是

.參考答案：略17.已知函數的導函數為，且滿足，則______.參考答案：－2.【分析】對函數的解析式求導，得到其導函數，把代入導函數中，列出關于的方程，進而得到的值，確定出函數的解析式，把代入解析式，即可求出的值【詳解】解：求導得：，令，得，解得：∴，，故答案為-2．【點睛】此題考查了導數的運算，以及函數的值．運用求導法則得出函數的導函數，求出常數的值，從而確定出函數的解析式是解本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2013?烏魯木齊一模）選修4﹣4：坐標系與參數方程將圓x2+y2=4上各點的縱坐標壓縮至原來的，所得曲線記作C；將直線3x﹣2y﹣8=0繞原點逆時針旋轉90°所得直線記作l．（I）求直線l與曲線C的方程；（II）求C上的點到直線l的最大距離．參考答案：考點： 點、線、面間的距離計算．

專題： 轉化思想；圓錐曲線中的最值與范圍問題；空間位置關系與距離．分析： （I）設曲線C上任一點為（x，y），則（x，2y）在圓x2+y2=4上，代入即可求得曲線C的方程，寫出直線3x﹣2y﹣8=0的極坐標方程，記作l0，設直線l上任一點為（ρ，θ），則點（ρ，θ﹣90°）在l0上，代入化簡，再轉化為普通方程即可；（II）設曲線C上任一點為M（2cosψ，sinψ），到直線l的距離為d=，利用三角知識化為即可求得其最大值；解答： （Ⅰ）設曲線C上任一點為（x，y），則（x，2y）在圓x2+y2=4上，于是x2+（2y）2=4，即．直線3x﹣2y﹣8=0的極坐標方程為3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣8=0，將其記作l0，設直線l上任一點為（ρ，θ），則點（ρ，θ﹣90°）在l0上，于是3ρcos（θ﹣90°）﹣2ρsin（θ﹣90°）﹣8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0，故直線l的方程為2x+3y﹣8=0；（Ⅱ）設曲線C上任一點為M（2cosψ，sinψ），它到直線l的距離為d==，其中ψ0滿足：cosψ0=，sinψ0=．∴當ψ﹣ψ0=π時，dmax=．點評： 本題考查直線、橢圓的極坐標方程，考查直線與圓錐曲線上點的距離問題，考查學生對問題的轉化能力．19.箱子中有4個形狀、大小完全相同的小球，其中紅色小球2個、黑色和白色小球各1個，現從中有放回的連續摸4次，每次摸出1個球．（1）求4次中恰好有1次紅球和1次黑球的概率；（2）求4次摸出球的顏色種數ξ的分布列與數學期望．參考答案：（1）記事件A“摸出1個球，是紅色小球”，事件B“摸出1個球，是黑色小球”，所以數學期望．20.一個楔子形狀幾何體的直觀圖如圖所示，其底面ABCD為一個矩形，其中AB=6，AD=4，頂部線段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，二面角F﹣BC﹣A的余弦值為．設M，N分別是AD，BC的中點．（I）證明：平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直線BF與平面EFCD所成角的正弦值．參考答案：考點：直線與平面所成的角；平面與平面垂直的判定．專題：綜合題；空間位置關系與距離；空間角．分析：（I）根據線面平行的性質定理推斷出EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點，推斷出MN∥AB，進而可知EF∥MN，推斷出E，F，M，N四點共面．根據FB=FC，推斷出BC⊥FN，又BC⊥MN，根據線面垂直的判定定理推斷出，BC⊥平面EFNM，即可證明平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）在平面EFNM內F做MN的垂線，垂足為H，則由第（1）問可知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，進而可知FH⊥平面ABCD，又因為FN⊥BC，HN⊥BC，可知二面角F﹣BC﹣A的平面角為∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，分別求得FN和HN，過H做邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，建立空間直角坐標系，由此能求出直線BF與平面EFCD所成角的正弦值．解答：（I）證明：∵EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，∴EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點，∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F，M，N四點共面．∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∵BC⊥AB，∴BC⊥MN，∵FN∩MN=N，∴BC⊥平面EFNM，∵BC?平面ABCD，∴平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在平面EFNM內F做MN的垂線，垂足為H，則由第（I）問可知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，∴FH⊥平面ABCD，又∵FN⊥BC，HN⊥BC，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角為∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN=，HNHN=FNcos∠FNH=2，∴FH=8，過H做邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，以H為坐標原點，以HS，HN，HF方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，則F（0，0，8），S（2，0，0），C（﹣2，2，0），D（﹣2，﹣4，0），則=（2，2，﹣8），=（﹣2，2，﹣8），=（0，﹣6，0）設平面EFCD的一個法向量為=（x，y，z），則，取z=1，得=（﹣4，0，1），設直線BF與平面EFCD所成角為θ，則sinθ==．點評：本題主要考查了空間點，線面的位置關系，空間的角的計算．考查學生的空間想象能力和運算能力．屬于中檔題．21.已知函數.（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）證明：.參考答案：（Ⅰ）當時，，原不等式等價于或或解得或所以，不等式的解集為（Ⅱ）證明：（當且僅當且時等號成立）22.設橢圓E：+=1（a＞0）的焦點在x軸上．（Ⅰ）若橢圓E的離心率e=a，求橢圓E的方程；（Ⅱ）設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為直線x+y=2與橢圓E的一個公共點，直線F2P交y軸于點Q，連結F1P，問當a變化時，與的夾角是否為定值，若是定值，求出該定值，若不是定值，說明理由．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由題知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由得a4﹣25a2+1