2022年河南省開封市自立學校高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，M為AB中點，將△ACM沿CM折起，使A、B間的距離為，則M到面ABC的距離為（

）（A）（B）（C）1（D）參考答案：A略2.在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展開式中，含x3的項的系數是(

)(A)74

(B)121

(C)－74

(D)－121參考答案：答案：D3.函數的圖象大致是

（

）參考答案：C4.如果函數的圖像與函數的圖像關于坐標原點對稱，則的表達式為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是

（

）A．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)

B．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)

D．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)參考答案：D略6.設為互不重合的平面，l,m,n為互不重合的直線，給出下列四個命題：①若則∥；②若∥∥，則∥；③若∥則∥；④若∥則m∥n.其中真命題的個數是（

）（A）1

（B）2

（C）3

（D）4參考答案：答案：B7.定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）A．0B．6C．12D．18參考答案：D8.函數圖象交點的橫坐標所在區間是（

）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）參考答案：C9.如圖，設點A是單位圓上的一定點，動點P從A出發在圓上按逆時針方向旋轉一周，點P所轉過的弧AP的長為l，弦AP的長度為d，則函數的圖象大致是（

）參考答案：C10.已知函數，若a，b，c互不相等，且，則a+b+c的取值范圍是（

）A．(1,2017)

B．(1,2018)

C．[2,2018]

D．(2,2018)參考答案：D由正弦函數圖像得，所以，選D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設F1和F2是雙曲線﹣y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是

．參考答案：1【考點】雙曲線的應用；雙曲線的簡單性質．【專題】計算題．【分析】設|PF1|=x，|PF2|=y，根據根據雙曲線性質可知x﹣y的值，再根據∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，進而根據2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，進而可求得△F1PF2的面積．解：設|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根據雙曲線性質可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面積為xy=1故答案為：1．【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質．要靈活運用雙曲線的定義及焦距、實軸、虛軸等之間的關系．12.設函數，則的值為

。參考答案：答案：13.已知集合，，且，則實數a的取值范圍是______________________.參考答案：a≤1解析：因為A∪B=R，畫數軸可知，實數a必須在點1上或在1的左邊，所以，有a≤1。14.已知變量滿足，若目標函數（其中）僅在點處取得最大值，則a的取值范圍是__________.

參考答案：15.已知正數x、y滿足，則的最小值為____________.參考答案：16.已知向量的值為_________參考答案：117.的展開式中除去常數項的所有項的系數和等于

．參考答案：-2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.從某校高三年級800名學生中隨機抽取50名測量身高．據測量，被抽取的學生的身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果分成八組得到的頻率分布直方圖如右．（Ⅰ）試估計這所學校高三年級800名學生中身高在180cm以上（含180cm）的人數為多少；（Ⅱ）在樣本中，若學校決定身高在185cm以上的學生中隨機抽取2名學生接受某軍校考官進行面試，求：身高在190cm以上的學生中至少有一名學生接受面試的概率．參考答案：【解】：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，樣本中身高介于185cm~190cm的頻率為：，…………3分∴800名學生中身高在180cm以上的人數為：人．

…………6分（Ⅱ）樣本中，身高介于185cm~190cm的學生人數為人，身高介于190cm~195cm的學生人數為人．………………8分∴“身高在185cm以上的學生5人中隨機抽取2名學生”的基本事件數共10種，………………10分其中抽取的2名學生中“身高在190cm以上的學生中至少有一名學生”的基本事件數有7種．∴所求事件的概率為．

…………12分

略19.已知點C為圓（x+1）2+y2=8的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A（1，0）和AP上的點M，滿足?=0，=2．（Ⅰ）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；（Ⅱ）若斜率為k的直線l與圓x2+y2=1相切，直線l與（Ⅰ）中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F，H，O是坐標原點，且≤?≤時，求k的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（I）利用線段的垂直平分線的性質、橢圓的定義即可得出．（II）設直線l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直線l與圓x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直線方程與橢圓方程聯立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用數量積運算性質、根與系數的關系及其≤?≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由題意知MQ中線段AP的垂直平分線，∴，∴點Q的軌跡是以點C，A為焦點，焦距為2，長軸為的橢圓，，故點Q的軌跡方程是．（II）設直線l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直線l與圓x2+y2=1相切聯立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴為所求．20.（本小題滿分12分）已知數列滿足，.猜想數列的單調性，并證明你的結論；(Ⅱ)證明：。參考答案：解析:證（1）由由猜想：數列是遞減數列下面用數學歸納法證明：（1）當n=1時，已證命題成立

（2）假設當n=k時命題成立，即易知，那么

=即也就是說，當n=k+1時命題也成立，結合（1）和（2）知，命題成立（2）當n=1時，，結論成立當時，易知

21.（本題15分）已知是實數，函數．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）設為在區間上的最小值．（i）寫出的表達式；（ii）求的取值范圍，使得．

參考答案：本題主要考查函數的性質、求導、導數的應用等基礎知識，同時考查分類討論思想以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．滿分15分．（Ⅰ）解：函數的定義域為，（）．若，則，有單調遞增區間．若，令，得，當時，，當時，．有單調遞減區間，單調遞增區間．（Ⅱ）解：（i）若，在