2021年高考數學圓錐題目匯總

22

5.（2021年新高考I）已知K，F,是橢圓C：二+二=1的兩個焦點，點〃在C上，

94

則|阿卜|兒里|的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

14.已知0為坐標原點，拋物線C：丁=2內（〃>0）的焦點為尸，P為C上一點,PF

與X軸垂直，。為“軸上一點，且若怛。|=6,則。的準線方程為.

21.在平面直角坐標系X。），中，已知點月（—J萬,0）、工（國,0）附間一眼用=2,點M

的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=，上，過丁的兩條直線分別交。于A、3兩點和P,。兩點，且

2

|7X|-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

第1頁共23頁

5.（2021年全國高考甲）己知耳，鳥是雙曲線C的兩個焦點，一為。上一點，且

/4Pg=60。，歸耳|=3戶閭，則C的離心率為（）

A.立B.巫C.V7D.V13

22

22

15.已知耳，心為橢圓0土-+匕=1兩個焦點，尸,0為C上關于坐標原點對稱的兩點，

164

且|尸。|=舊可，則四邊形P￡Q用的面積為_______.

20.拋物線，的頂點為坐標原點0.焦點在x軸上，直線/：x=l交。于尺0兩點，且

OPLOQ.已知點“（2,0）,且與1相切.

（1）求C,M的方程；

（2）設4，人,43是C上的三個點，直線AA「4A3均與M相切.判斷直線人4與M

的位置關系，并說明理由.

第2頁共23頁

工+父

11.（2021年乙）設3是橢圓C:=1(。＞分＞0)的上頂點，若。上的任意一點P都

?2b1

滿足區2人，則c的離心率的取值范圍是()

A.［制41

13.已知雙曲線C：L—V=i(機＞o)的一條漸近線為&+^=0,則。的焦距為

m

21.已知拋物線。：/=2〃＞，(/?＞0)的焦點為尸，且尸與圓M：/+(y+4)2=l上點的

距離的最小值為4.

(1)求〃；

(2)若點尸在M上，PAP8是C的兩條切線，A6是切點，求△PAB面積的最大值.

第3頁共23頁

C:---Fy2=1Ipnl

11.（河南省2021）設8是橢圓5”的上頂點，點產在。上，則甲勺的最大值

為（）

A.-B.>/6C.yfsD.2

22

14.雙曲線三一匕=1的右焦點到直線x+2y-8=O的距離為.

45

20.已知拋物線C:丁=2px（p>0）的焦點b到準線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知。為坐標原點，點一在C上，點。滿足PQ=9QF,求直線。。斜率的最大值.

第4頁共23頁

29

xy

16.（2021年浙江）已知橢圓J+=l(a>Z?>0),焦點片(-c,0),F(C,0)(C>0),

a'2

若過”的直線和圓（x—g

c+y2=c，2相切，與橢圓在第一象限交于點只且「鳥_Lx軸，

7

則該直線的斜率是,橢圓的離心率是.

21.如圖，已知尸是拋物線y2=2px（〃>0）的焦點，也是拋物線的準線與不軸的交點，且

\MF\=2,

（1）求拋物線的方程；

（2）設過點￡的直線交拋物線與46兩點，斜率為2的直線1

與直線x軸依次交于點尸，0,兄兒且

=|PNHQN|,求直線/在x軸上截距的范圍.

第5頁共23頁

16.（2021年乙）已知6,E為橢圓C：土+匕=1的兩個焦點，P,0為C上關于坐標

164

原點對稱的兩點，且|PQ|=|耳6|,則四邊形尸大。亮的面積為.

21.拋物線C的頂點為坐標原點0.焦點在X軸上，直線/：x=l交C于只。兩點，且

OPA.OQ.已知點用（2,0）,且O/與/相切.

（1）求C,一”的方程；

（2）設4,4,4是C上的三個點，直線A4，均與M相切.判斷直線與M

的位置關系，并說明理由.

第6頁共23頁

答案

22

5.（2021年新高考I）已知耳，K是橢圓C：工+匕=1的兩個焦點，點”在。上，

94

則|阿卜|兒里|的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本題通過利用橢圓定義得至制+|噌|=2。=6,借助基本不等式

\MF{\-\MF2\<際|+附居|即可得到答案.

I2）

【詳解】由題，/=9,〃=4,則|阿|+|昨|=2。=6,

所以|孫卜阿瑪區也當竺力=9（當且僅當|町|=|帆|=3時，等號成立）.

故選：C.

【點睛】本題關鍵在于正確理解能夠想到求最值的方法，即通過基本不等式放縮得到.

14.已知0為坐標原點，拋物線C：丁=2內（〃>0）的焦點為尸，P為C上一點,PF

與x軸垂直，。為“軸上一點，且若怛。|=6,則。的準線方程為.

【答案】》=一三

【解析】

【分析】先用坐標表示P，Q,再根據向量垂直坐標表示列方程，解得〃，即得結果.

【詳解】不妨設P（g,p），Q（6+g,0）,尸。=（6,—p）

因為PQ_LOP,所以Ux6“=oQp>o...p=3...。的準線方程為x=—g

3

故答案為：x=—

2

【點睛】利用向量數量積處理垂直關系是本題關鍵.

21.在平面直角坐標系xOy中，已知點［（-比7,0）、鳥（歷,0）|嗎|一四用=2,點M

的軌跡為C.

第7頁共23頁

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=1上，過T的兩條直線分別交。于A、3兩點和P,。兩點，且

2

\T^-\TB\^\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線產。的斜率之和.

【答案】（1）X2--^=1（%＞1）;（2）0.

【解析】

【分析】（1）利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點耳、乃為左、右焦點雙曲線的右支，求

出。、〃的值，即可得出軌跡C的方程；

（2）設點T,設直線AB的方程為y-f=匕［］一；，設點A（石,凹）、8（9,%），

聯立直線AB與曲線。的方程，列出韋達定理，求出|酬-|7^|的表達式，設直線尸。的斜

率為網，同理可得出17H?|丁。|的表達式，由|24卜|7^=|72卜|丁。|化簡可得匕+/：2的值.

【詳解】因為|"制一|"|=2＜忸聞=2后,

所以，軌跡C是以點匕、K為左、右焦點的雙曲線的右支，

22_________

設軌跡C的方程為三一,=1（。＞0力＞0）,則2a=2,可得a=l,/?二府二7=4,

2

所以，軌跡。的方程為了2-匕v=1（尤21）；

（2）設點若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點，

{

不妨直線AB的方程為y~-f%--,即,=k］x+t—^k］,

.1,

y=k.x+t——k.

聯立，121,消去y并整理可得

16x2-y2=16

（左；—16）x?+%］（2.—4）x+［.—耳左］）+16=0?

第8頁共23頁

設點A(%，X)、8(%,%)，則玉〉g且

m+16

kr-2k,t

L

由韋達定理可得％+x2=個---,

Aq--16中

2^2—16

所以,

附?附=(i+#)?內_曰?卜_g=(i+幻｛中2―+\=?+；："：；')，

(產+⑵(1+團

設直線PQ的斜率為&2，同理可得|TP”TQ|=

^-16

因為網如研盛即審了二審翳

整理可得片=片,

即化一%)(%+4)=0,顯然匕一七工0,故占+&=0.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

2021年全國高考甲

5.己知耳，工是雙曲線。的兩個焦點，戶為。上一點，且/耳桃=6()。,歸國=3仍用，則

C的離心率為()

A.也B.叵C.V?D.V13

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據雙曲線的定義及條件，表示出|班|,|尸耳|,結合余弦定理可得答案.

【詳解】因為歸制=3|尸閭,由雙曲線的定義可得|「制一忸由|=2|「的|=勿,

所以|P周=a,歸周=31；

因為/月尸鳥=60。，由余弦定理可得4c2=9"+/一2x3a?a?cos60°，

第9頁共23頁

整理可得4c2=7/,所以e2=g=Z,即e=YZ.

a242

故選：A

【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立“，c間的等量關系是求解的

關鍵.

22

15.己知E，凡為橢圓G工+二=1兩個焦點，R0為，上關于坐標原點對稱的兩點，

164

且|尸。|=山用，則四邊形PGQ鳥的面積為.

【答案】8

【解析】

【分析】根據已知可得？耳，尸瑪，設|P耳|=九|P8|="，利用勾股定理結合加+〃=8,

求出相〃，四邊形P耳。鳥面積等于加〃，即可求解.

【詳解】因為P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，

且IPQR6鳥I,所以四邊形為矩形，

2

設|P4|=m,\PF2\=n,則=+〃=8,〃/+n=48.

所以64=（加+n）2=nr+2mn+n2=48+2mn,

〃加=8,即四邊形P片。鳥面積等于8.

故答案：8.

20.拋物線C的頂點為坐標原點0.焦點在x軸上，直線/：x=l交C于只。兩點，且

OPA.OQ.已知點M（2,0）,且0M與/相切.

（1）求C,的方程；

（2）設4，A2，A3是，上的三個點，直線A4,AA3均與M相切.判斷直線44與M

的位置關系，并說明理由.

【答案】（1）拋物線C:y2=x,M方程為*-2）2+丁=1：（2）相切，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據已知拋物線與x=l相交，可得出拋物線開口向右，設出標準方程，再利

第10頁共23頁

用對稱性設出P,。坐標，由QP_LOQ,即可求出P；由圓M與直線x=l相切，求出半

徑，即可得出結論；

(2)先考慮斜率不存在，根據對稱性，即可得出結論；若44,斜率存在，

由4,4,A3三點在拋物線上，將直線A4,44,44斜率分別用縱坐標表示，再由

44，A4與圓M相切，得出必+為，%。為與y的關系，最后求出M點到直線44的

距離，即可得出結論.

【詳解】(1)依題意設拋物線C:y2=2px(p>O),P(l,yo),Q(l,-y0)，

OP±OQ,:.OPOQ=l-yl=l-2p^O,:.2p=i,

所以拋物線。的方程為V=x,

M(0,2),M與x=l相切，所以半徑為1，

所以CM的方程為(x—2)2+丁=1；

(2)設4(%%)，4(%2，%)，4。3，)’3)

若44斜率不存在，則A4方程為X=1或x=3,

若44方程為x=i,根據對稱性不妨設A(L1)，

則過4與圓M相切的另一條直線方程為y=1,

此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在&,不合題意;

若44方程為x=3,根據對稱性不妨設A(3,6),4(3,—百),

則過4與圓M相切的直線44為y—6=*

d），

y—%11率，%=°，

又

ky內一&y+為6+%

芻=0,4(0,0),此時直線4人3,44關于X軸對稱,

所以直線44與圓”相切;

若直線Aa，AIA3，4A3斜率均存在,

第11頁共23頁

I11

則々、,+、,，&伙=

X+%%+為

所以直線44方程為y—x=---------（》一玉）,

'x+%

整理得x-（y+%）y+y>2=°，

同理直線4A3的方程為x-（M+必），+必必=0，

直線42人的方程為彳一（y2+乂））'+必為=0，

|2+弘為11

與圓M相切‘飛+……

整理得（#-1）￡+2、%+3-犬=o，

AA與圓”相切,同理（犬一1）￥+2必%+3-＞：=0

所以為，為為方程（#-1）9+2%卜+3-才=0的兩根,

v+v---v7-2z￡

%十必一21，，2%—21，

弘-1必-1

M到直線4A3的距離為：

i2+^i|

|2+%%1_犬-1

1+（%+%『2巫y

\y.2-i

一〃及；+1|一3+i=i

7（^-1）2+4/犬+1

所以直線42人與圓M相切；

綜上若直線A4與圓M相切，則直線44與圓M相切.

【點睛】關鍵點點睛：（1）過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標（或橫坐標）表示,

將問題轉化為只與縱坐標（或橫坐標）有關；（2）要充分利用A4，A4的對稱性，抽象出

%+力，＞2.必與必關系，把必，為的關系轉化為用M表示.

2021年乙

第12頁共23頁

11.設3是橢圓。:0+斗=1(。>人>0)的上頂點，若C上的任意一點P都滿足

IPB|<2b,則C的離心率的取值范圍是()

「近八「1八L1]

A.,1B.一』|C.0,D.0,—

L2)L2)(2「I2」

【答案】C

【解析】

【分析】設尸(%,%),由5(01),根據兩點間的距離公式表示出|尸耳，分類討論求出歸目

的最大值，再構建齊次不等式，解出即可.

22

【詳解】設P(%,%)，由8(0,。)，因為其+4=1,所以

a~b~

234

?,(v2>,r(hYh

|PB|=%O+(J-b\=a~1--1-+(%-)=-Qy+~+—+a2+b2,

0kh)bI0c)c

因』&為",當一W《—b,即從Ze?時，=4凡即戶用=2/>,符合題

/?Imax1imax

意，由可得a222c2,即0<e4注；

2

當上>-b,即。<。2時，|p劇2=*/+/,即4+/+644〃,化簡得，

c21lmaxc2c2

(c2-/>2)2<0,顯然該不等式不成立.

故選：C.

【點睛】本題解題關鍵是如何求出歸卻的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要

根據定義域討論函數的單調性從而確定最值.

2

13.已知雙曲線C:工一y2=i(機>o)的一條漸近線為0X+加>=0,則。的焦距為

m

【答案】4

【解析】

第13頁共23頁

【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關系，再結合雙曲線中后,從對應關系，聯

立求解加，再由關系式求得c,即可求解

【詳解】由漸近線方程+=化簡得y=-@x,即2=同時平方得耳=3，

mamam

又雙曲線中a2=m,b2=\,故A=-，解得加=3必=0（舍去），

m~m

c2=a2+^2=3+l=4=>c=2,故焦距2c=4

故答案為：4

【點睛】本題為基礎題，考查由漸近線求解雙曲線中參數，焦距，正確計算并聯立關系式求

解是關鍵

21.已知拋物線。：/=2刀（〃>0）的焦點為尸，且尸與圓M：/+（y+4）2=l上點的

距離的最小值為4.

（1）求P；

（2）若點p在A/上，PAPB是C的兩條切線，是切點，求面積的最大值.

【答案】（1）〃=2；（2）2075.

【解析】

【分析】（1）根據圓幾何性質可得出關于〃的等式，即可解出"的值；

（2）設點A（x，y）、3（占,%）、P（x（p%）,利用導數求出直線24、PB,進一步可求

得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，求出|A8|以及點P到直線AB

的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數的基本性質可求得△尸面積的最大值.

【詳解】（1）拋物線C的焦點為|月0|=巴+4,

\2/2

所以，尸與圓M:Y+（y+4）2=l上點的距離的最小值為5+4-1=4,解得〃=2；

2Y

（2）拋物線。的方程為f=4y,即曠=亍，對該函數求導得y=5，

設點A（X1，X）、3（々,必）、P（Xo，）'o），

直線P4的方程為y_y=5（"_玉），即,=當_）'|，即X科_2y_2y=0,

第14頁共23頁

同理可知，直線尸8的方程為%-2y=0,

再/_2%―2%=0

由于點P為這兩條直線的公共點,則＜

x2xo-2y2-2yo=O

所以，點A、3的坐標滿足方程飛》一2丁一2%=0,

所以，直線A3的方程為不工一2>-2yo=0,

xox-2y-2yo=0

聯立“x2，可得f—2x(>x+4>0=0,

由韋達定理可得用+々=2x（）,為赴=4%,

片一4%=1-(%+4『-4%=-尤-12%-15=-(%+6『+21,

13

由已知可得—54％4-3,所以，當為=-5時，△尸A3的面積取最大值上x202=20

2

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；

二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基

本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值.

河南省2021

11.設8是橢圓。:三+），2=1的上頂點，點—在。上，則1PBi的最大值為（）

第15頁共23頁

【答案】A

【解析】

2

【分析】設點尸(天,為),由依題意可知，8(0,1),段+y：=l,再根據兩點間的距離公

式得到|PB『，然后消元，即可利用二次函數的性質求出最大值.

2

【詳解】設點P(Xo，)'o)，因為8(0,1),.+y；=l,所以

\PBf=%+(%_1)2=5(1-尤)+(%-1)2nfdyo+GnY卜0一；)+今

而一所以當%=g時，?尸耳的最大值為g.

故選：A.

【點睛】本題解題關鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質，由兩點間的距離公式，并利用消元思想

以及二次函數的性質即可解出.易錯點是容易誤認為短軸的相對端點是橢圓上到上定點B

最遠的點，或者認為是橢圓的長軸的端點到短軸的端點距離最大，這些認識是錯誤的，要注

意將距離的平方表示為二次函數后，自變量的取值范圍是一個閉區間，而不是全體實數上求

最值..

r2V2

14.雙曲線二一乙=1的右焦點到直線x+2y-8=o的距離為

45

【答案】亞

【解析】

【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.

【詳解】由已知，0='/+/=石百=3,所以雙曲線的右焦點為(3,0),

°八|3+2x0-8|5位

所以右焦點(3,0)到直線x+2y—8=0的距離為」,干+？丁-=忑=爽.

故答案為：75

20.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點戶到準線的距離為2.

(1)求C的方程；

第16頁共23頁

（2）已知。為坐標原點，點尸在C上，點0滿足PQ=9QF,求直線。。斜率的最大值.

【答案】（1）y2=4x；（2）最大值為L

3

【解析】

【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；

（2）設。（毛,%）,由平面向量的知識可得P（10M一9,10%），進而可得%=25；了9,

再由斜率公式及基本不等式即可得解.

【詳解】（1）拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點尸（5,（）］,準線方程為x=—

由題意，該拋物線焦點到準線的距離為^一］-=P=2,

所以該拋物線的方程為>2=4尤；

（2）設。（毛,%），則PQ=9Q尸=（9一%,—9%）,

所以*10%-9,10%），

由P在拋物線上可得（10%）2=4（10%—9），即/=25：\+9,

k=%=%=10%

所以直線的斜率0Q/25y；+925乂+9,

10

當先=0時，左00=0;

,10

當"。時，。。-25%+2，

%

當%>0時，因為25yo------225yo——30,

%V%

193

此時。〈攵OQ<￡，當且僅當25%=一，即為=￡時,等號成立;

3%5

當%<0時，k°Q<0；

第17頁共23頁

綜上，直線。。的斜率的最大值為

3

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用平面向量的知識求得點。坐標的關系，在求

斜率的最值時要注意對先取值范圍的討論.

2021年浙江16.已知橢圓=+二=1(。>匕>0),焦點片(-c,O),居(c,0)(c>0),若

ab

(iv

過”的直線和圓x—+y2=/相切，與橢圓在第一象限交于點尸，且軸，

則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.

【答案】(1).拽(2).正

55

【解析】

2

【分析】不妨假設c=2,根據圖形可知，sin/P耳居=],再根據同角三角函數基本關系

即可求出左=1211/2"8=|石；再根據橢圓的定義求出。，即可求得離心率.

【詳解】

如圖所示：不妨假設c=2,設切點為8,

\AB\2,22/-

昌=；，tan/P￡K=='5

sinNPFE=sinZBFtA=

百43A/32-225

所以女=拽，由女=將，恒用=2C=4,所以|「周=量5,已用=為叵，于是

5|12155

c_2_V5

2a=\PFi\+\PF2\=4y/5,即a=26,所以e

a~2y[5~5

故答案為：乎；*

21.如圖，已知尸是拋物線y2=2px(〃>0)的焦點，材是拋物線的準線與x軸的交點，且

第18頁共23頁

畫卜2,

（1）求拋物線的方程；

（2）設過點廠的直線交拋物線與兩點，斜率為2的直線，與直線MA,MB,AB,x軸

依次交于點只。，R,N,且|/?N「=|RVHQN|,求直線1在x軸上截距的范圍.

【答案】（1））2=4x；⑵卜8,-7—4>/§],[-7+46,1）（1,+8）.

【解析】

【分析】（1）求出P的值后可求拋物線的方程.

⑵設AB:x=）+l,4（3,凹）,6（號必），N（〃,0）,聯立直線AB方程和拋物線的

方程后可得y%=-4,y+%=4心求出直線M4,MB的方程，聯立各直線方程可求出

（/7+1V3+4產

y，y,y,根據題設條件可得一；——從而可求〃的范圍.

PQR（2Z-1）

【詳解】（1）因為|用曰=2,故〃=2,故拋物線的方程為：y2=4x.

（2）設AB:x=/y+l,A（^,y1）,B（x2,y2）,N（n,O）,

所以直線/:%=￡+〃，由題設可得〃且

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x=(y+l.

由，2;可得>2-49一4=0,故乂%=-4，,+%=今,

y=4x

因為|RN「=|PN|.|QN|,故

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y=y'（x+1）/］、

-x+r72（〃+i）y

又"A：y=/h（x+i），由'1

y2玉+2-y

x=—+n

2

同理為=盤點

*"+1-2（〃-1）

由，y可得y=---------

x=-+n八2t-\

2

2

2（n-l）2（〃+1）為x2（"+l）X

所以

2r-l2x2+2-y22尤1+2-y

整理得到

〔痣Zf（2々+2-%）（2%+2-yj

4⑵-I）?

5+2一15+2f

2

4（21）2（2—1）2

3+4產

+（%+力->2%-氣2txM%-2（%+y）+4

〃+1j3+4產

故1=（W1

〃一1

s+1

令s=2/-1,則r=-----且s，0,

2

3+4/52+25+424

故；-----B,21+-+—=4

（2—）ss"

（n+\

I>-fn2+14n+l>0

故，（幾-1?4即《

〃H1

n，1

解得〃4一7-或一7+46?〃<1或附>1.

故直線/在x軸上的截距的范圍為〃4-7-或一7+4G<〃<l或〃>1.

【點睛】方法點睛：直線與拋物線中的位置關系中的最值問題，往往需要根據問題的特征合

理假設直線方程的形式，從而便于代數量的計算，對于構建出的函數關系式，注意利用換元

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法等把復雜函數的范圍問題轉化為常見函數的范圍問題.

2021年乙

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16.已知與，F2為橢圓aL+上=1的兩個焦點，尸,。為。上關于坐標原點對稱的兩點，

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且|尸。|=舊段，則四邊形至口后的面積為.

【答案】8

【解析】

【分析】根據已知可得P耳，。工，設IP片1=加,1261=”，利用勾股定理結合加+〃=8,

求出如7,四邊形。片。鳥面積等于加〃，即可求解.

【詳解】因為P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，

且|PQI=I68I,所以四邊形「片?，敒榫匦危?/p>

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設I尸耳|=m,\PF21=n,則m+n=8,/n+n-48,

所以64=（m+〃>-mi1+Imn+n2=48+2mn,

〃切=8,即四邊形鳥面積等于8.

故答案為:8.

21.拋物線C的頂點為坐標原點0.焦點在x軸上，直線/：x=l交C于2。兩點，且

OPA.OQ.己知點M（2,0）,且。M與/相切.

（1）求GM的方程；

（2）設4，4，4是C上的三個點，直線A4,4人3均與CM相切.判斷直線4