陜西省人口增長問題摘要建立了人口增長模型，在己知各年份人口普查數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，預(yù)測出人口的增長趨勢和人口數(shù)量。建立模型1,根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，分別計算出人口增長率，以及增長率的平均值為0.003992。將人口增長率帶入公式x(t)=x°尹，運用Matlab編程，得到人口增長曲線，近似為一條直線。并用誤差度對模型1進(jìn)行分析，得出用模型1做中短期預(yù)測較為合理的結(jié)果。由于資源等因素的影響，人口數(shù)量不會持續(xù)增長,r■是隨時間變化的函數(shù)，建立模型2,得到x(t)=x°*ef1°一抵2+4斗10-3壯，最終預(yù)測出不同年份的人口數(shù)量。考慮老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素的影響，建立模型2,。從圖形對比和spss軟件線性規(guī)劃兩方面入手，進(jìn)行分析。得出出生人口性別比趨于穩(wěn)定，老齡化進(jìn)程加速是減緩人口增長的。鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化是加快人口增長的因素。關(guān)鍵詞：人口增長老齡化趨勢預(yù)測spss線性回歸Matlab擬合1問題重述人口增長預(yù)測的研究是國家（地區(qū)）制定未來人口發(fā)展目標(biāo)和生育政策等有關(guān)人口政策的基礎(chǔ)，對于經(jīng)濟計劃的制定和社會戰(zhàn)略目標(biāo)的決策具有重要參考價值。近年來陜西省的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著陜西省人口的增長。試從陜西省的實際情況和人口增長的特點出發(fā)，參考收集的相關(guān)數(shù)據(jù)，（1）建立陜西省人口增長的數(shù)學(xué)模型；（2）由此對陜西省人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；（3）指出模型中的優(yōu)點與不足之處。2問題分析（1）通過收集的相關(guān)數(shù)據(jù)，建立人口模型1：指數(shù)增長模型，預(yù)測出中短期的人口增長趨勢。對指數(shù)增長模型進(jìn)行優(yōu)化，建立模型2,對長期人口增長趨勢做出合理的預(yù)測。（2）考慮老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，對城市人口增長的影響。建立人口模型2,通過求解得出結(jié)果。（3）通過預(yù)測數(shù)據(jù)及人口趨勢，對比實際人口的增長，指出模型的優(yōu)劣。3模型假設(shè)（1）預(yù)測的未來20年人口生存的社會環(huán)境相對穩(wěn)定。（2）預(yù)測的未來20年陜西省人口的遷入和遷出量相同。（3）政府的生育政策對人口的增長沒有太大影響。4定義與符號說明x（t）：t時刻人口的數(shù)量。Xo：初始時刻人口的數(shù)量,即x（o）。r：人口增長常數(shù)。（在模型1中是常數(shù)；在模型2中是關(guān)于人口數(shù)量線性遞減的函數(shù)）。xi：總?cè)丝谛詣e比。X2：老齡化指數(shù)。X3：城鎮(zhèn)化指數(shù)。y:每十年增長率。5模型的建立與求解模型1的建立與求解5.1.1模型1的建立根據(jù)模型假設(shè)，可以得到從t到t+At時間，人口的增量為：x（t+At）—x（t）=r*x（t）*At上式兩邊同時除以At,得

x(t+At)-x(t)Atx(t+At)-x(t)At=r*x(t)取極限，得dxdT=r*x(t)綜上所述，整個人口模型的微分方程為：(dx

dF=r*x(t)(x(0)=x0解得x(t)=Xo&t5.1.2模型1的求解根據(jù)己知的數(shù)據(jù)，計算出人口增長率及平均值。將人口增長率帶入公式，運用Matlab編程，得到人口增長曲線。圖1圖1中短期預(yù)測圖表1人II增長率表格年份200020012002200320042005200620072008人數(shù)(萬人)364436593674369037053720373537483762增長率(10-3)4.1164.14.3554.0654.0494.0323.4813.735平均增長率0.0039925.1.3誤差度分析：誤差度等于當(dāng)年的預(yù)測值減去實際人口數(shù)量的絕對值除以當(dāng)年實際人口數(shù)量。

表2不同年份的誤差表年份200020012002200320042005200620072008誤塗(*10-4)c1.092.185696.216.727231.870.80從表中可以看出預(yù)測值與實際值的誤差在10一4數(shù)量級，誤差非常小，用于估計中短期人口數(shù)量基本準(zhǔn)確。模型1是在人口自然增長率為常數(shù)的情況下建立的,即人口處于自然增長狀態(tài)，由于環(huán)境、資源等因素的限制，人口數(shù)量不會持續(xù)增長，所以此模型只適用于中短期的人口預(yù)測。為得到長期人口的預(yù)測值，對模型進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化，建立模型2。模型2的建立與求解5.2.1模型2的建立因為環(huán)境、資源等因素的限制，人口數(shù)量不會持續(xù)增長，設(shè)r是隨時間變化的函數(shù)：r(t)o通過對所求增長率進(jìn)行擬合得到r(t)的表達(dá)式，最后解出人口增長隨時間變化的表達(dá)式。5.2.2模型2的求解根據(jù)所求的增長率，用Matlab擬合，得到：r(t)=—8*10-5*t+4.4*IO-3整個模型用微分表達(dá)式表示為：fdx(t)j-=衛(wèi))*x(t)[x(O)=x0從而解得x(t)=x0x(t)=x0*e-4*10_5*t2+4.4*10_3*t3950390038503800039503900385038000102030405060703600111111111102468101214161820圖2考慮其他因素后人II變化圖4200410040003900380037003600圖32000年至2070年人II變化圖表3不同年份人II數(shù)量預(yù)測值102102年份200020012002200320042005200620072008人口36443659.9367563691.13706.33721.33736.1375063764.9年份200920102011201220132014201520162017人口3778.937917380623819.5383253845.33857.738703881.9年份201820192020202120222023202420252026人口3893.63904.939163926.93937.43947.73957.6396733976.7年份202720282029203020312032203320342035人口3985.73994.540034011.24019402664033.9404084047.4年份203620372038203920402041204220432044人口4053.74059.84065.44070.84075.94080.64085408914092.9年份204520462047204820492050205120522053人口4096.34099.44102.24104.74106.84108.64110.14111.241111年份205420552056205720582059206020612062人口411154112.74112.5411114111.24110.14110.14108.64104.7年份20632064206520662067206820692070人口4102.24099.4409634092.94089.140854080.64075.95.3模型3的建立與求解5.3.1模型3的建立考慮老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，對城市人口增長的影響。建立人口模型2,通過求解得出結(jié)果。5.3.2模型3的求解（一）通過Matlab編程，做出圖形，對比各個因素對人口增長的影響。1141121101081061.52.54.55.51141121101081061.52.54.55.56050圖4性別比例對人II6050y2城鎮(zhèn)化比例yi老齡化比例y年平均增長率TOC\o"1-5"\h\z40--/f/a30--20--10?-QIIIIIIIIII11.522.533.544.555.56圖5城鎮(zhèn)化比例及老齡化比例對人II的影響（二）每十年的增長率和總?cè)丝谛詣e比、老齡化指數(shù)、城鎮(zhèn)化指數(shù)的線性關(guān)系。設(shè)y=卩。+Pixi+険+卩3X3根據(jù)己知人口普查的數(shù)據(jù)，運用SPSS軟件對進(jìn)行分析，得出多元線性回歸方程。y=776.23—7.92xj—7.92x2+10.662x3從上圖和上述表達(dá)式得出，出生人口性別比趨于穩(wěn)定，老齡化進(jìn)程加速、鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化是減緩人口增長的。6模型評價與推廣6.1模型的優(yōu)點模型是在實際人口普查數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立的，可行性較強。結(jié)合原有的人口模型的優(yōu)點，并對其進(jìn)行優(yōu)化，加入了出生人口性別比、老齡化進(jìn)程和鄉(xiāng)村人口城市化等不可避免的實際因素。分別對中段期和長期人口進(jìn)行預(yù)測，并通過誤差度分析，得出模型的合理性。6.2模型的缺陷及改進(jìn)模型雖然考慮了一些不可避免的實際因素，但是還沒考慮遷出遷入人口對總?cè)丝跀?shù)的影響。沒有分年齡段對人口進(jìn)行預(yù)測，使得預(yù)測不夠仔細(xì)。7參考文獻(xiàn)姜啟源謝金星葉俊，《數(shù)學(xué)模型(第三版)》，北京：高等教育出版社，2003。張志涌楊祖櫻等，?MAELAB教程》，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2006。韓中庚，《數(shù)學(xué)建模方法及其運用》，北京：高等教育出版社，2005.6。8附件8.1求解增長率clear;clc;a=[364436593674369037053720373537483762];fori=l:8b(i)=(a(i+l)-a(i))/a(i)endb=0.00411640.00409950.00435490.0040650.00404860.00403230.00348060.0037353人口預(yù)測模型1dear;clc;tl=0:20;t2=0:8;bl=3644*exp(0.003992*tl);b2=[364436593674369037053720373537483762];plot(tl,bl,f);holdon;卩10上02少2,1<');優(yōu)化模型dear;clc;tl=0:20;t2=0:8;bl=3644*exp(-4*10A(-5).*tl.A2+4.4*10A(-3).*tl);b2=[364436593674369037053720373537483762];plot(tl,bl,f);holdon;卩10上02少2,1<');8.3性別比例對人口的影響t=l:6;y=[113.2,110.4,107.4,108,108.4,106.92];tl=l:0.01:6;yl=103;y2=107;plot(t,y