第四章

三角函數、解三角形第四講

正、余弦定理及解三角形要點提煉1.正、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接圓半徑,則考點1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理內容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.變形2R2RsinB2RsinC

注意

已知a,b和A,解的情況如下:考點1正、余弦定理

A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數無解_______________________一解無解一解兩解一解

考點1正、余弦定理

考點1正、余弦定理內切圓實際測量中的常見問題有:測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.說明

測量中的常用術語如下:考點2解三角形的實際應用術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在豎直平面內的目標視線與水平視線所成的角中,目標視線在水平視線______的叫作仰角,目標視線在水平視線______的叫作俯角.方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角叫作方位角.上方下方考點2解三角形的實際應用術語名稱術語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,通常表達為北(南)偏東(西)α.北偏東α

南偏西α坡角坡面與水平面的夾角.坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比.

√??√(5)三角形中的三邊之比等于相應的三個內角之比.(

)2.在△ABC中,若c-acosB=(2a-b)cosA,則這個三角形的形狀為

.

3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,b=2,則△ABC的外接圓面積為

.

?等腰三角形或直角三角形

·考向掃描

考向1利用正、余弦定理解三角形DAB

考向1利用正、余弦定理解三角形方法技巧在△ABC中,(1)已知兩角和任一邊(ASA,AAS),求其他兩邊和一角(唯一解),用正弦定理;(2)已知三邊(SSS),求三個角(唯一解),用余弦定理;(3)已知兩邊和夾角(SAS),求第三邊和其他兩角(唯一解),用余弦定理;(4)已知兩邊和其中一邊的對角(SSA),求第三邊和其他兩角(解的個數不確定),用余弦定理(已知a,b,A,設第三邊為x,則x2+b2-a2=2bxcosA,即關于x的方程x2-2bcosA·x+b2-a2=0的正實數根的個數就是三角形解的個數).考向1利用正、余弦定理解三角形

考向1利用正、余弦定理解三角形

考向1利用正、余弦定理解三角形

考向2判斷三角形的形狀

考向2判斷三角形的形狀方法技巧

判斷三角形形狀的方法1.角化邊:通過正、余弦定理將角化邊,利用因式分解、配方等得出邊之間的關系進行判斷.判斷技巧:考向2判斷三角形的形狀a2+b2<c2cosC<0C為鈍角三角形為鈍角三角形a2+b2=c2cosC=0C為直角三角形為直角三角形a2+b2>c2cosC>0C為銳角無法判斷(只有C為最大角時才可得出三角形為銳角三角形)2.邊化角:通過正、余弦定理將邊化角,通過三角恒等變換公式、三角形的內角和定理得出角之間的關系.注意

(1)不能隨意約掉公因式,要移項、提取公因式,否則會有遺漏一種形狀的可能.(2)注意挖掘隱含條件,在變形過程中注意角的范圍對三角函數值的影響.考向2判斷三角形的形狀

考向2判斷三角形的形狀鈍角三角形

考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題方法技巧

與面積有關問題的常見類型和解題技巧

考向3與面積、周長有關的問題常見類型解題技巧求面積已知面積求其他量應用面積公式及正、余弦定理綜合求解.

考向3與面積、周長有關的問題C

考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題方法技巧

與周長有關問題的常見類型和解題技巧(1)若邊長易求,直接求出邊長,進而求出周長;(2)若邊長不易求,可利用整體思想,構造以兩邊長的和為未知數的方程求解,進而求出周長.考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題

考向3與面積、周長有關的問題

考向4平面圖形中的計算問題

方法技巧

平面圖形中計算問題的解題思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形,然后在各個三角形內利用正弦定理或余弦定理求解;(2)尋找各個三角形之間的聯系,交叉使用公共條件,求出結果.考向4平面圖形中的計算問題

考向4平面圖形中的計算問題

考向4平面圖形中的計算問題

考向5解三角形的實際應用B

考向5解三角形的實際應用方法技巧1.解三角形實際應用問題的常見類型及解題策略注意

向角是相對于某點而言的,因此在確定方向時,必須先弄清是哪一個點的方向角.另外也要注意方位角、俯角和仰角的含義.考向5解三角形的實際應用常見類型解題策略求解與測量距離、高度有關的問題畫出示意圖,先確定所求量所在的三角形,若其他量已知,則直接利用正、余弦定理求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解,有時需設出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的量.求解角度問題根據實際問題畫出圖形,并在圖形中標出有關的角和距離,利用正、余弦定理進行求解,最后將解得的結果轉化為實際問題的解.2.求解解三角形實際應用問題的步驟考向5解三角形的實際應用

考向5解三角形的實際應用A

考向5解三角形的實際應用攻堅克難

數學探索解三角形中的最值(取值范圍)問題

數學探索解三角形中的最值(取值范圍)問題

數學探索解三角形中的最值(取值范圍)問題

數學探索解三角形中的最值(取值范圍)問題方法技巧

解三角形中的最值(取值范圍)問題的求解方法求解三角形的邊、角、面積及周長的取值范圍或最值問題常用方法如下:數學探索解三角形中的最值(取值范圍)問題函數法通過正、余弦定理將邊轉化為角,再根據三角恒等變換及三角形內角和定理轉化為“一角一函數”的形式,最后結合角的范圍利用三角函數的單調性和值域求解.基本不等式法利用正、余弦定理,面積公式建立a+b,ab,a2+b2之間的等量關系與不等關系,然后利用基本不等式求解.幾何法根據已知條件畫出圖形,結合圖形,找出臨界位置,數形結合求解.注意

(1)涉及求范圍的問題,一定要弄清已知變量的范圍,利用已知的范圍進行求解,已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉化.(2)注意題目中的隱含條件的應用,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大邊對大角等.數學探索解三角形中的最值(取值范圍)問題14.

變式

(1)[2018江蘇高考]在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c