高中數學必修１3.1.2指數函數（3）情境問題：一般地，函數y=ax(a＞0且a≠1)叫做指數函數．指數函數的定義：某工廠今年的年產值為a萬元，為了增加產值，今年增加了新產品的研發，預計從明年起，年產值遞增15%，則明年的產值為

萬元，后年的產值為

萬元．若設x年后實現產值翻兩番，則得方程

．a(1＋15%)a(1＋15%)2(1＋15%)x＝2數學建構：

在實際問題中，經常會遇到類似的指數函數模型，設原有基數(如今年的產值)為m，平均增長率為p，則對于經過時間x后的數值y要以用y＝m(1＋p)x表示．我們把形如y＝kax(kR，a＞0且a≠1)的函數稱為指數型函數，這是非常有用的函數模型．2．遞增的常見模型為y＝(1＋p%)x(p＞0)；遞減的常見模型則為y＝(1－p%)x(p＞0)．1．指數型函數，常見于工農業生產，環境治理以及投資理財等；數學應用：例1．某種放射性物質不斷變化為其他，每經過一年，這種物質剩留的質量是原來的84%，寫出這種物質的剩留量關于時間的函數關系式．

截止到1999年底我國人口約13億．如果今后能將人口平均增長率控制在1%，那么經過20年后，我國人口約為多少(精確到億)？變式：數學建構：

對于實際應用問題還有兩點必需注意：一是精確度的問題，同學們在解決問題時往往忽視題中的精確度；二是定義域，在實際問題中函數的定義域必需使實際問題有意義．數學應用：

1．一電子元件去年生產某種規格的電子元件a個，計劃從今年開始的m年內，每年生產此種規格電子元件的產量比上一年增長p%，試寫出此種規格電子元件的年產量隨年數變化的函數關系式；

2．一電子元件去年生產某種規格的電子元件的成本是a元/個，計劃從今年開始的m年內，每年生產此種規格電子元件的單件成本比上一年下降p%，試寫出次種規格電子元件的單件成本隨年數變化的函數關系式．練習：數學應用：例2．某醫藥研究所開發一種新藥，據檢測：如果成人按規定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量為y(微克)與服藥后的時間t(小時)之間近似滿足如圖曲線，其中OA是線段，曲線ABC是函數y＝kat的圖象．試根據圖象，求出函數y＝f(t)的解析式．A(1，8)yOxB(7，1)C數學應用：例3．某位公民按定期三年，年利率為2.70%的方式把5000元存入銀行.問三年后這位公民所得利息是多少元？(利息＝本金×存期×利率)變式：某種儲蓄按復利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，設存期是x，本利和(本金加上利息)為y元．(1)寫出本利和y隨存期x變化的函數關系式；(2)如果存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計算5期后的本利和．(復利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再計算下一期利息的一種計算利息方法)數學建構：單利與復利：

銀行存款往往采用單利計算方式，而分期付款、按揭則采用復利計算．這是因為在存款上，為了減少儲戶的重復操作給銀行帶來的工作壓力，同時也是為了提高儲戶的長期存款的積極性，往往定期現年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的過程中，由于每次存入的現金存期不一樣，故需要采用復利計算方式．比如“本金為a元，每期還b元，每期利率為r”，第一期還款時本息和應為a(1＋p%)，還款后余額為a(1＋p%)－b，第二次還款時本息為(a(1＋p%)－b)(1＋p%)，再還款后余額為(a(1＋p%)－b)(1＋p%)－b＝a(1＋p%)2－b(1＋p%)－b，……，第n次還款后余額為a(1＋p%)n－b(1＋p%)n-1－b(1＋p%)n-2－……－b．這就是復利計算依據．數學應用：例4．2000~2002年，我國國內生產總值年平均增長7.8%．按照這個增長速度，畫出從2000年開始我國年國內生產總值隨時間變化的圖象，并通過圖象觀察到2010年我國年國內生產總值約為2000年的多少倍(結果取整數)．數學應用：

3．某種細菌在培養過程中，每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個)，經3小時后，這種細菌可由1個分裂成個

．

4．我國工農業總產值計劃從2000年到2020年翻兩番，設平均每年增長率為x，則得方程

．練習：小結：1．指數模型的建立；2．單利與復利；3．用圖象近似求解．作業：P71習題10，16題．高中數學必修１3.4.2函數模型及其應用（1）情境問題：某城市現有人口總數為100萬，如果人口的年自然增長率為1.2﹪，問:(1)寫出該城市人口數y(萬人)與經歷的年數x之間的函數關系式;(2)計算10年后該城市的人口數；(3)計算大約多少年后，該城市人口將達到120萬?(4)如果20年后該城市人口數不超過120萬，年人口自然增長率應該控制在多少?

函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，是研究變量之間依賴關系的有效工具．利用函數模型可以處理生產、生活中許多實際問題．數學探究：1．等腰三角形頂角y(單位：度)與底角x的函數關系為

．2．某種茶杯，每個0.5元，把買茶杯的錢數y(元)表示為茶杯個數x(個)的函數

，其定義域為

．數學應用：例1某計算機集團公司生產某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元．分別寫出總成本C(萬元)、單位成本P(萬元)、銷售收入R(萬元)以及利潤L(萬元)關于總產量x(臺)的函數關系式．數學應用：1．生產一定數量的商品時的全部支出稱為生產成本，可表示為商品數量的函數，現知道一企業生產某種產品的數量為x件時的成本函數是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件這種商品的收入是200元，那么生產并銷售這種商品的數量是200件時，該企業所得的利潤可達到

元．2．有m部同樣的機器一起工作，需要m小時完成一項任務．設由x部機器（x為不大于m的正整數）完成同一任務，求所需時間y(小時)與機器的部數x的函數關系式．數學建構：函數模型：

函數模型是最常用的數學模型，數學模型就是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題，得出關于實際問題的數學描述．數學應用：例2．大氣溫度y(℃)隨著離開地面的高度x(km)增大而降低，到上空11km為止，大約每上升1km，氣溫降低6℃，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒變(設地面溫度為22℃)．求：(1)y與x的函數關系式；(2)x＝3.5km以及x＝12km處的氣溫．

由于自變量在不同的范圍中函數的表達式不同，因此本例第1小題得到的是關于自變量的分段函數；

在例2的條件下，某人在爬一座山的過程中，分別測得山腳和山頂的溫度為26℃和14.6℃，試求山的高度．數學應用：3．A、B兩地相距150千米，某人以60千米/時的速度開車從A到B，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A，則汽車離開A地的距離x與時間t的函數關系式為

．4．某車站有快、慢兩種車，始發站距終點站7.2km，慢車到達終點需16min，快車不慢車晚發車3min，且行駛10min到達終點站.試分別寫出兩車所行路程關于慢車行駛時間的函數關系式．兩車在何時相遇？相遇時距始發站多遠？

數學應用：5．某產品總成本C(萬元)與產量x(臺)滿足關系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每臺產品售價25萬元，則廠家不虧本的最低產量為

臺．數學建構：數學應用題的一般求解程序：(1)審題：弄清題目意，分清條件和結論，理順數量關系；(2)建模：將題目條件的文字語言轉化成數學語言，用數學知識建立相應的數學模型；(3)解模：求解數學模型，得到數學結論；(4)結論：將用數學方法得到的結論還原為實際問題的意義，并根據題意下結論．小結：建立數學模型解出模型結果解釋實際問題實際問題作業：P100練習1，2，3．

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前言

高考狀元是一個特殊的群體，在許多人的眼中，他們就如浩瀚宇宙里璀璨奪目的星星那樣遙不可及。但實際上他們和我們每一個同學都一樣平凡而普通，但他們有是不平凡不普通的，他們的不平凡之處就是在學習方面有一些獨到的個性，又有著一些共性，而這些對在校的同學尤其是將參加高考的同學都有一定的借鑒意義。青春風采青春風采北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：692分(含20分加分)

語文131分數學145分英語141分文綜255分畢業學校：北京二中

報考高校：北京大學光華管理學院來自北京二中，高考成績672分，還有20分加分。“何旋給人最深的印象就是她的笑聲，遠遠的就能聽見她的笑聲。”班主任吳京梅說，何旋是個陽光女孩。“她是學校的攝影記者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成績應該是692。”吳老師說，何旋考出好成績的秘訣是心態好。“她很自信，也很有愛心。考試結束后，她還問我怎么給邊遠地區的學校捐書”。班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績，我覺得，很重要的是，何旋是土生土長的北京二中的學生，二中的教育理念是綜合培養學生的素質和能力。我覺得何旋，她取得今天這么好的成績，一個來源于她的扎實的學習上的基礎，還有一個非常重要的，我覺得特別想提的，何旋是一個特別充滿自信，充滿陽光的這樣一個女孩子。在我印象當中，何旋是一個最愛笑的，而且她的笑特別感染人的。所以我覺得她很陽光，而且充滿自信，這是她突出的這樣一個特點。所以我覺得，這是她今天取得好成績當中，心理素質非常好，是非常重要的。高考總分:711分

畢業學校:北京八中

語文139分數學140分英語141分理綜291分報考高校：北京大學光華管理學院北京市理科狀元楊蕙心班主任孫燁：楊蕙心是一個目標高遠的學生，而且具有很好的學習品質。學習效率高是楊蕙心的一大特點，一般同學兩三個小時才能完成的作業，她一個小時就能完成。楊蕙心分析問題的能力很強，這一點在平常的考試中可以體現。每當楊蕙心在某科考試中出現了問題，她能很快找到問題的原因，并馬上拿出解決辦法。孫老師說，楊蕙心學習效率很高，認真執行老師的復習要求，往往一個小時能完成別人兩三個小時的作業量，而且計劃性強，善于自我調節。此外，學校還有一群與她實力相當的同學，他們經常在一起切磋、交流，形成一種良性的競爭氛圍。談起自己的高考心得，楊蕙心說出了“聽話”兩個字。她認為在高三沖刺階段一定要跟隨老師的腳步。“老師介紹的都是多年積累的學習方法，肯定是最有益的。”高三緊張的學習中，她常做的事情就是告誡自己要堅持，不能因為一次考試成績就否定自己。高三的幾次模擬考試中，她的成績一直穩定在年級前5名左右。上海2006高考理科狀元--武亦文武亦文格致中學理科班學生班級職務：學習委員高考志愿：復旦經濟高考成績：語文127分數學142分英語144分物理145分綜合27分總分585分

“一分也不能少”

“我堅持做好每天的預習、復習，每天放學回家看半小時報紙，晚上10：30休息，感覺很輕松地度過了三年高中學習。”當得知自己的高考成績后，格致中學的武亦文遺憾地說道，“平時模擬考試時，自己總有一門滿分，這次高考卻沒有出現，有些遺憾。”

堅持做好每個學習步驟

武亦文的高考高分來自于她日常嚴謹的學習態度，堅持認真做好每天的預習、復習。“高中三年，從來沒有熬夜，上課跟著老師走，保證課堂效率。”武亦文介紹，“班主任王老師對我的成長起了很大引導作用，王老師辦事很認真，凡事都會投入自己所有精力，看重做事的過程而不