考點38直接證明與間接證明

1.用反證法證明數學命題時，首先應該做出與命題結論相反的假設，否定“自然數a，b,c中恰有一個偶數”

時正確的反設為（）

A.自然數a，b,c都是奇數B.自然數a，b,c都是偶數

C.自然數b,c至少有兩個偶數或都是奇數D.自然數%b"至少有兩個偶數

C

命題的否定是命題本題反面的所有情況，所以“自然數b，c中恰有一個偶數”的否定是“自然數a，b,c至

少有兩個偶數或都是奇數”，選C.

2.用反證法證明“若整系數一元二次方程。/+及+。=0有有理根，那么a,b,c中至少有一個是偶數”

時，下列假設中正確的是（）.

A.假設。，b,c都是偶數

B.假設a,b,c都不是偶數

C.假設a,b,c至多有一個是偶數

D.假設生b,c至多有兩個是偶數

B

【解析】用反證法證明數學命題時，應先假設要證的命題的否定成立,

“至少有一個”的否定為“都不是"，所以先假設a,b,c都不是偶數.

本題選擇8選項.

3.用反證法證明命題”等腰三角形的底角必是銳角”，下列假設正確的是（）

A.等腰三角形的頂角不是銳角B.等腰三角形的底角為直角

C.等腰三角形的底角為鈍角D.等腰三角形的底角為直角或鈍角

D

分析：反證法的假設需要寫出命題的反面，結合題意寫出所給命題的反面即可.

詳解：反證法的假設需要寫出命題的反面.

“底角必是銳角”的反面是“底角不是銳角”，即底角為直角或鈍角.

本題選擇〃選項.

4.用反證法證明命題”若。，瓦c都是正數，則*+?,+￡三數中至少有一個不小于2”，提出的假設是

Q+—＞bd,C-\

A.a力,c不全是正數B.beQ至少有一個小于2

111

Q+—,fod,CH

C.a，瓦c都是負數D.bea都小于2

D

【解析】試題分析：根據反證法的思路可知，將結論變為否定來加以證明，即“若。也。都是正數，則

a+；,b+：,c+：三數中至少有一個不小于2,提出的假設為a+；,b+；,c+；都小于2,選D.

ocaDca

5.用反證法證明”三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，假設正確的是()

A.假設三內角都不大于60°B.假設三內角都大于60°

C.假設三內角至多有一個大于60°D.假設三內角至多有兩個大于60°

B

根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；即“三內角都

大于60度”.

故選6.

6.①已知。，占是實數，若|a-l|+|b-l|=0,則a=1且6=1,用反證法證明時，可假設且bKl；②

1

設a為實數，fW=x2+ax+a,求證|/(1)|與|/(2)|中至少有一個不小于2,用反證法證明時，可假設

11

2,且八〃2.則

A.①的假設正確，②的假設錯誤B.①的假設錯誤，②的假設正確

C.①與②的假設都錯誤D.①與②的假設都正確

B

【解析】對于①，用反證法證明時，應假設Ab不都等于1,而不是假設ah1目bh1,所以①的假設錯誤.

對于②，用反證法證明時，可假設If⑴|＜：,且|〃2)|＜：.所以②的假設正確.

故選B.

7.用反證法證明"三角形中至少有兩個銳角”，下列假設正確的是()

A.三角形中至多有兩個銳角B.三角形中至多只有一個銳角

C.三角形中三個角都是銳角D.三角形中沒有一個角是銳角

B

用反證法證明“一個三角形中至少有兩個銳角”時，應先假設“一個三角形中最多有一個銳角”.

故選:B.

8.用反證法證明命題“已知。力為整數，若劭不是偶數，則a力都不是偶數”時，下列假設中正確的是（

）

A.假設/b都是偶數B.假設中至多有一個偶數

C.假設a/都不是奇數D.假設。力中至少有一個偶數

D

由于“都不是”的否定是“不都是”，即“至少有一個”，所以應該假設。力中至少有一個偶數，故選D.

9.已知實數a』,c,d滿足a+b=c+d=l,ac+bd>l,用反證法證明：a.b.c.d

中至少有一個小于0.下列假設正確的是（）

A.假設田瓦c,d至多有一個小于o

B.假設瓦c,d中至多有兩個大于o

C.假設a，b,Gd都大于o

D.假設。，瓦c,d都是非負數

I）

由于命題“若a,b,c,d中至少有一個小于0”的反面是“a,b,c,d都是非負數”，故用反證法證明時

假設應為“a,b,c,d都是非負數

故選D.

10.對于"若岫=°9力6/?）則。=°或6=0"，若用反證法證明該命題，下列假設正確的是（）.

A.假設。，b都不為oB.假設4b至少有一個不為。

C.假設a,b都為oD.假設a,b中至多有一個為。

A

【解析】用反證法證明命題"若。匕=0（a.Z?e/?）則a=0或b=（T時，

假設正確的是：假設a,b都不為0.

故選：A.

11.用反證法證明“已知與尸6兄/+/=0,求證％=y=o”時，應假設（）

A.x^y^OB.x=y^0c.%H0且、不0D.或y^O

D

根據反證法證明數學命題的方法，

應先假設要證命題的否定成立,

而x=y=O的否定為“x,y不都為零”，故選D.

12.用反證法證明命題“已知。力，為非零實數，且a+b+c>0,ab+bc+ac>0,求證a,b,c中至少有兩個

為正數”時，要做的假設是()

A.瓦c中至少有兩個為負數B.4瓦c中至多有一個為負數

C.4瓦c中至多有兩個為正數D.。/￡中至多有兩個為負數

A

用反證法證明某命題時，應先假設命題的否定成立,

而：“a,b,c中至少有二個為正數”的否定為：“。，瓦c中至少有二個為負數”.

故選A.

,1

f(x)=axlnx-x+-

13.設函數2,a=0.

(I)討論函數/(*)的單調性；

(H)當a>0時，函數f(x)恰有兩個零點勺片2(/<叼)，證明：+x2>7aX1x2

1-a1-a1-a

(1)當a>。時，/(x)在(0,e°)上單調遞減，在［ea,+8)上單調遞增；當a<0時，f(x)在(0,ea)上單調

1-a

遞增，在［ea,+8)上單調遞減.

(2)證明見解析.

【解析】(I)f'(x)=alnx+a-1.

,「ah0,.,.由(%)=0,得Inx=即x=e丁.

若a>0,當x變化時，f(x),廣(功的變化情況如下表

1-a1-a一一a

X(O.e-)(e-,+co)

m單調遞減極小值里調遞增

若a<0,當%變化時，Ax),f'(x)的變化情況如下表:

1-a1-al-a

X(O.e-)e~(e-,+oo)

f'w+0-

fw里調遞增極大值單調遞減

綜上，當a>0時，/。)在(0.6?)上單調遞減，在［e?.+8)上單調遞增;

當a<0時，f(x)在(O,eT)上單調遞增，在伯十.+8)上單調遞;麻

(Uy..當a>0時，函數f(4)恰有兩個零點%,x2(0<x1<x2),

axjnx—x+-=0alnx.=—5

則(1x工Xl

;，即，1

x-r

一%二十二=2

ax2lnx20alnx^=5

-X2

兩式相;成，得。也￥=三二-三二=才三

X2X?XT-X1X2

*.'0<x<x,.'.0<<1,=:;渣

x22*2**X、

二.要證7%工+x,>7ax,即證74+人>了工，即證21n3<學;之

1XzX27勺+小

、X

即證21nL<-區+i

X27X~+1

令笠=t(0<t<1),則即證21nt<史?

7(1)

設g(t)=21nt-，即證g(t)<疏￡e(0，D恒成立.

7t+l

56_98產--8計二_m；

g'(t)=；(7t+l)2t(7t+l)2t(7t+l)2,

??W(t)>01±te(0,D恒成立「MOlSte(0.1)單調遞培

?「g㈤在te(0.1提連續函數,

...當te(0.1時，5(0<5(1)=0

...當a>0時，^7X1+X2>7ax1x2.

14.若無窮數列｛%｝滿足：%是正實數，當“22時，|an-%-il=max｛ai，a，“,a”_i｝,則稱｛冊｝是“丫-數列”

.已知數列｛吟是“丫-數列”.

(【)若%=1,寫出。4的所有可能值；

(II)證明：｛冊｝是等差數列當且僅當｛冊｝單調遞減；

(III)若存在正整數T,對任意正整數幾都有的+“=%,證明：%是數列｛冊｝的最大項.

(1)-2,0,2,8.(2)見解析(3)見解析

【解析】(I)-2,0,2,8.

(D)證明：因為|出一%|=%,所以g=。或2al.

當｛nJ是等差數列時，假設的=2L，貝風=2a:-di=3a「此時，|g-=%而maxag｝=2av

矛盾！所以a：=0.于是公差d=a2-=-a*<0,所以｛冊｝單調遞減.

當｛冊｝單調遞減時，對任意n\2,maxlara；：,…,冊-1｝=A.又Mn-冊_)|=。"_工一/，所以

fln-?n-l=-01，從而｛a”｝是等差數列.

(m)證明：假設勺不是數列｛冊｝的最大項，設i是使得&>仆的最小正整數，則

16+工一四I=max｛a1g，…,aj=air

因此，％+1是由的倍數.

假設為+2,公+二,…,占+?工都是田的倍數，則

amaxfl,a"a

k+k-t+k-iI=max｛ti1.a:z".at+k-i｝=｛tt-n'"'t+k-i｝>

因此，占+k也是%的倍數.

由第二數學歸納法可知，對任意冊都是占的倍數.

又存在正整數T,對任意正整數%都有ar+n=a?

所以，存在正整數m2i,am=av因而%是火的倍數.

但故A不是見的倍數，矛盾！

所以，叫是數列｛5｝的最大項.

15.已知集合x=｛苞,》2,...,&｝是集合S=｛2001,2002,2003,…,2016,2017｝的一個含有8個元素的

子集.

(I)當丫=｛2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017｝時，

設者,XjeX(1<z,j<8),

(i)寫出方程七一X/=2的解Gi，xJ；

(ii)若方程七-%=無僅＞0)至少有三組不同的解,寫出上的所有可能取值.

(II)證明：對任意一個X,存在正整數人,使得方程玉-X)=-14i,8)至少有三組不同的解.

(I)(z)(2007,2005),(2013,2011),(ii)4,6；(II)證明見解析.

【解析】⑴3)利用列舉法可得方程修一七=2的解有：($丹)=(2007.2005),(2013,2011)；5)列

出集合X的從小到大8個數中相鄰兩數的差，中間隔一數的兩數差，中間相隔二數的兩數差，…中間隔一

數的兩數差，可發現只有4出現3次，6出現4次,其余都不超過2次，從而可得結果；(H)不妨設

2001＜Ai＜與＜毛42017記q=7+1-項(i=L2,=41一項(i=LZ…,6),共13個差數，

假設不存在滿足條件的A?，根據(q+q+…+。)+(%+與+…+4)的取值范圍可推出矛盾，假設不成立,

從而可得結論.

假設不存在滿足條件的無，則這13個數中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6.

(1)(0方程2一號=2的解有：(4.5)=(2007,2005),(2013,2011)

(?)以下規定兩數的差均為正，則：

列出集合X的從小到大8個數中相鄰兩數的差：L女2:4,2,31；

中間隔一數的兩數差(即上一列差數中相鄰兩數和〉：4,5,6,6,5,4；

中間相隔二數的兩數差：6,9,8,9,6;

中間相隔三數的兩數差：21UL10;

中間相隔四數的兩數差：121442;

中間相隔五數的兩數差：15/5;

中間隔一數的兩數差：16.

這28個差數中，只有4出現3次，6出現4次,其余都不超過2次.

所以上的可能取值有46.

＜n)證明:不妨設20014項〈與＜…〈毛42017

記外=N“一項(i=L2,…=x〃i-2(i=12…⑹,共13個差數.

假設不存在滿足條件的h則這13個數中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6,從而

(q+a,+…+%)+(4+a+…+。6)22(l+2+―-+6)+7=49①

又.(q+a+?,，+&)+(b、+by+,?，+”)=(/—X))+(,vs+x--.v,—xj

=2(X8-X:)+(X7-X2)<2x16+14=46

這與①矛盾，所以結論成立.

16.(1)(用綜合法證明)

已知AABC的內角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,且A、B、C成等差數列，a,b,c成等比數列，證明:

△ABC為等邊三角形。

(2)(用分析法證明)

1

設a,b,c為一個三角形的三邊，s=2(a+b+c),且s2=2ab,試證：s<2a.

⑴見解析；(2)見解析.

【解析】試題分析：(D綜合法，由因導果，所以由等差數列2B=A+C及4+8+。=%所以B=f

再由邊為等比數列，及角B余弦定理，可得a=c即證。(2)分析法，執果索因，要證s<2a,由于s2=2ab,

所以只需證s4，即證b<s一再由s=：(a+b+c),所以只需證b4+c即證。

試題證明(D因為A、B、C成等差數列，所以2B=4+C

由4+5+C=JT,所以8=彳

因為a,b,c成等比數列，所以爐=ac

由余弦定理得=a2+c:-2accosB=a:+c:—ac

所以ac=a:+c:-ac即(a—c)2=0所以a=c

所以月=C,又B=p所以A=B=C

所以AABC為等邊三角形。

二

(2)要證s〈2a,由于s2=2ab,所以只需證s〈b,即證b<s.

1

因為s='(a+b+c),所以只需證2b〈a+b+c,即證b<a+c.

由于a,b,c為一個三角形的三條邊，所以上式成立.于是原命題成立.

所謂綜合法，是指“由因導果”的思維方法，即從已知條件出發，不斷地展開思考，去探索結論的方法.

所謂分析法，是指“執果索因”的思維方法，即從結論出發，不斷地去尋找需知，直至達到已知事實為止

的方法.

應用分析法證題時，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A,則先證明B；若要證明B,則先證明

C,……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……

17.已知比1的三邊長為a,b,c,三邊互不相等且滿足b2<ac

（2）求證：8不可能是鈍角.

（1）見解析；（2）見解析.

只需證2<￡,即證區此

【解析】試題分析：（D由分析法，要證

（2）用反證法，結合余弦定理可導出矛盾。

試題解析：⑴大小關系為后

hc

證明如下：要證）只需證一由題意知a,b,c>0,只需證（條件）

故所得大小關系正確.

（2?正明：假設5是鈍角，貝UcosB<0,而cos5=M苓士>”包>咚包>0

laclaclac

這與cosSCO矛盾，故假設不成立.所以5不可能是鈍角.

【點睛】

反證法是間接證明的一種基本方法，是解決某些疑難問題的有力工具.熟練摹振并運用反證法，對提高同

學們的解題能力大有裨益.

一、反證法的基本內容

1.步驟：①假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立（反設）；②從這個假設出發，經過推理論證，

得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設不成立，從而肯定命題的結論成立（結論）.

其中推出矛盾主要有下列情形：①與已知條件矛盾；②與公理、定理、定義及性質矛盾；③與假設矛盾；

④推出自相矛盾的結論.

2.宜用反證法證明的題型：①易導出與已知矛盾的命題；②否定性命題；③惟一性命題；④至少至多型

命題；⑤一些基本定理；⑥必然性命題等.

%+2

18.在各項均為正數的數列｛%｝中，。且"I2%.

(1)當&3=2時，求出的值；

aa

(II)求證：當nN2時，n+l^n

(1)見解析；(H)見解析.

【解析】試題分析：(D根據g=2及冊_廣華+F，可求得a二的值，同理即可求得為的值；(口)利用分析法,

要證冊7Van，只需證爭Ml,即證9<1,然后結合均值不等式即可證明.

an-au~

試題解析：(D因為%=2,

所以g=W+q=2,

-a2

所以da。+4=4a,,

解得a：=2,

同理解得A=2.

fl

(H)證明：要證7122a寸，n+l$。八，

只需證<1,

a”

即￡

~2a12

z.n-+—<1

--12八2一

只需證%%<1,只需證an.

2

只需證％N4,

只需證2,

?n-l2an-l2

an=+---22亍若=2

根據均值定理，/%T

所以原命題成立.

19.(1)證明：當。>2時，yja+2+<2^a.

1+x1+y

(2)已知與yeR+,且％+了>2,求證：〒-與中至少有一個小于2.

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

t解析】分析：(D利用分析法證明，將不等式兩邊平方整理后，可得、，廬三<a,再平方比較a:-4與屐

的大小可得答案；(2)本題證明結論中結構較復雜，而其否定結構簡單，故可用反證法證明，假設平與中

均不小于2,可得％+y=2,與已知％+y>2相矛盾，其否定不成立，以此來證明結論成立.

詳解：證明：(1)要證+2+Va—2<3

只要證(+2+Ja-2廠<(24j),

只要證2"+2j<J-4<4”,只要證小：_4<“，

由于a>2,只要證/-4<M,

最后一個不等式成立，所以+2+y'a-2<2v1a

1+x與1+y1+x1+y

(2)(反證法)假設y丁均不小于2,即y>2,—>2,

.'.l+-x>2y,l+y>2x.將兩式相加得：x+y<2,與已知x+y>2矛盾，

1+x與1+y

故y-x中至少有一個小于2.

20.(I)求證：徒+々>2衣+、石

1+b1+Q

(II)已知。>°力>0,且a+b>2,求證：a和b中至少有一個小于2.

(1)見解析；(II)見解析.

【解析】D證明：因為、另+、萬和2V2+遙都是正整數，所以

只需證（、用+V7）'>（2y/2+v弓），

只需證13+2聞>13+4、，圓，

即證2、，42>4Vl0,

即證v'42>2>/T^,

即證（v亞）,>（2VTo）2,

即證42>40,

因為42>40顯然成立，所以原不等式成立.

5）假設詈22,^>2

則因為a>0,b>0”有1+b22a.1+a224

所以2+a+b>2a+2b,

故a+bW2.這與題設條件a+b>2相矛盾，所以假設錯誤.

因此出和詈中至少有一個小于2.

ao

l7T71

,a=x-2Jy4-—b=y-2Jz+—

21.若a，b,c,%yz均為實數，且x20,yN0,z20,3,6,

「n

b=z-2Jx+-

2,求證：/瓦c中至少有一個大于0.

證明見解析.

證明:設a，4c都不大于0,即aW0,bW0,cW0

二Q+b+cW0

TTTl71

a+b+c=x-2、萬+X+y-2m+-+z-2G+-

又362

=（A/^）2-2G+1+（\5^）2-2亞+1+（&）2-2乖+1-3+7T

=（口-1）2+（拒-1）2+（用-1）2+7T-3

2

,**（出-I）?Z0,（^/y-I）之30,（々一I）>0>yr-3>0

a+b+c=-1)?+(、5-1)^+TT-3>0

與a+b+c40矛盾.

二假設錯誤，原命題正確，即。，瓦c中至少有一個大于0.

22.設實數Km，、成等差數列(相與0),實數KHZ成等比數列，非零實數”是V與z的等差中項.

XZ

—I—=2

求證：m九

見解析

【解析】依題意可得2m=x+y.2n=y+zy2=xz

所以y=2m-x,y=2n-z

由y2=xz

得(2m-xX2n-z)=xz

即4mn-2nx-2mz-*-xz=xz

即2mn=nx-*-mz

所以尹：=2

點睛：所謂綜合法，是指“由因導果”的思維方法，即從已知條件出發，不斷地展開思考，去探索結論的

方法.

所謂分析法，是指“執果索因”的思維方法，即從結論出發，不斷地去尋找需知，直至達到已知事實為止

的方法.

應用分析法證題時，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A,則先證明B：

若要證明B,則先證明C,……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，

必先C成立，……

23.(1)在A4BC中，內角的對邊分別為a,b,c,且sb?(4+C)=&cosB證明：

c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c).

h衛

(2)已知結論：在直角三角形中，若兩直角邊長分別為。力，斜邊長為c,則斜邊上的高一丁.若把

該結論