初中典范幾何模型觀賞

【模型2】遇多個中點，組織中位線

1、開門見山毗連中點；2,連對角線取中點再相連

【例1】在菱形A8CO和正三角形8EF中，NA8C=60。,

G是。尸的中點，毗連GC、GE.

(1)似圖1,當點E在BC邊上時，如果AB=10,BF=4,求GE的長;

(2)似圖2,當點尸在A8的耽擱線上時，線段GC、GE有似何的數量和位置關系，寫

出你的猜想；同時賦予證明；

(3)似圖3,當點尸在的耽擱線上時，(2)問中關系還成立嗎？寫出你的猜想，同

時賦予證明.

AB

圖1圖2圖3

F【例2】似圖，

在菱形ABCD中，點］隊F分不為BC、CD±一點，毗連DE、EF,且AE=AF,

ZDAE=ZBAF.

(1)求證：CE=CF；

(2)如果N/LBC=120°,點G是線段A尸的中點，毗連。G,EG.求證：OG上GE.

二

\

C［例3］似圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分

不為BC、A。中點，BA交EP耽擱線于G,CD交EF于H.求證：NBGE=/CHE.

【模型1】組織軸對稱

【模型2】角平分線遇平行組織等腰三角形

【例4】似圖，平行四邊形ABC。中，4E平分NBA。交BC邊于E,交C。邊于凡

交AD邊于”，耽擱8A到點G,使AG=CF,毗連GF.如果BC=7,DF=3,EH=3AE,那

么GF的長為

前提】

OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD

【結論】AO4C三AOBDNAEB=ZOAB=ZCOZX即都是旋轉角）；QE平分NAED

D

【例5】似圖，正方形ABC。的邊長為6,點。是對角線AC、BO的交點，點E在CD

上，且DE=2CE,過點C作C/，BE,垂足為F,毗連OF,那么OF的長為

【例6】似圖，AABC中，ABAC-90°,AB=AC,ADA.BC

連結BE,AG_L8E于尸，交8c于點G,求NDFG

【例7】似圖，在邊長為6近的正方形ABC。中，E

是AB邊上一點，G是AO耽擱線上一點，BE=DG,毗連EG,CF1.EG于點、H,交AO

于點凡毗連CE、BH。如果8〃=8,那么FG=

--■

Rz

【模型1】

【前提】似圖，四邊形ABC。中，AB=AO,ZBAD+ZBCD-ZABC+ZADC=180°

【結論】AC平分NBCD

【前提】似圖，四邊形A8c。中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=9C)

【結論】?ZACB=ZACD=45°?BC+CD=y/2AC

作3NJ.AM,垂足為N,O是對角線AC、BD的交點，毗蛆ON,那么ON的長久

【例10］似圖，正方形ABC。的面積為64,ABCE是等邊三角形,

NM

似圖，四邊形ABCZ）中，AB=A。，/BAD+/BCD=NABC+ZADC=

ZEAF=|NBA。，點E在直線BC上，點廠在直線。。上

E

BE、DF、ER滿足截長補短關系

C

【模型2】

【前提】在正方形A8CD中，已知E、尸分不為邊BC、C￡＞上的點，且知足NE4F=45。,

AE、AF分不與對角線8。交于點M、N.

【結論】

(1)BE+DF-EF-,(2)SAABE+SAAD產SAAEF;(3)AH=AB；(4)CA￡CF-2AB；

(5)BW+DN^MN1；

(6)bANMsADNFsABEMs/\AEF^/\BNA^^DAM；

(由AO：AH=AO；AB=1：&可得至IJAANM和△4￡：尸的相近比為1：72)；

SAAMN=S怛進形MNFE;(8)/\ADFft^AONs△ABE，、

(9)A4￡N為等腰直角三角形，N4EN=45。；ZkA尸M為等腰直角三角形，ZAFM=45°.

(1,/EAF=45°；2,AE：AN=l：收)；

(10)4、M、F、。四點共圓，A、B、E、N四點共圓，M、N、F、C、E五點共圓.

【模型2變型】

【前提】在正方形A8CD中，已知E、F分不為邊CB、。(：朧嫻線光啼、點，用知足/

EAF=45°

【結論】BE+EF=DF

【模型2變型】

【前提】在正方形ABCD中，己知E、F分不為邊CB、DC耽擱緣上的點，且知足/

EAF=45°

【結論】DF+EF=BE

【例11】似圖，A4BC和AOEF是兩個全等的等腰直角三角形，NBAC=NED尸=90°,

ADEE的極點E與A4BC的歪邊BC的中點重合.將△￡>￡/繞點E扭轉,扭轉環節中，

線段DE與線段AB訂交于點P,射線EF與線段A8訂交于點G,與射線CA訂交于點Q.如

果AQ=12,BP=3,那么PG=.

【例12］似圖，在菱形ABCZ）中，AB=BD,點E、F分下在醫興小，且毗

連昉與。E交于點G,毗連CG與BD交于點H,如果島川哪入如邊.

NEDF=NB=NC,且OE=OE

【結論】ABDE*CFD

【例13］似圖，正方形ABC。中，點E、F、G分不為AB、BC、CO邊上的點，EB=3,

GC=4,毗連ERFG、GE恰好造成一個等邊三角形，那么正方形的邊長為—.

內或外彼此垂直的四條線段

【結論】新造成了同心的正方形

【例14】似圖，點E為正方形ABC。邊AB上一點，點F在DE的耽擱線上，AF=AB,

AC與FN（交于點G,/次8的平分線交尸G于點從過點。作”4的垂線交的耽擱

線于點/.如果A”=34,FH=2五,那么。G=

【例15】似圖，AABC中,ABAC=90°,AB=AC,AD±BC點E是MC重點,

連結BE,作4GJ_BE于凡交8C于點G,毗連EG,求證:Jc+EG與Ec

2,費馬點

【垂線段最短】

【雙

方之差小于第三邊】

【例16】

似圖，矩形4JCD是一個長為1000米，寬為600米的貨場，A、。是入口.現擬在貨

場內建一個收費站P，在鐵路線8c段上建一個發貨站臺”，設鋪設公路"、。戶以

及P”之長度和為/.求/的最小值.

【例17】

似圖，E、F是正方形ABC。的邊AO上兩個動點，知足AE=Z)F,毗連CF交8。于G,

毗連8E交AG于點H,如果正方形的邊長為2,那么線段OH長

度的最小值是—.

【例18】

似圖所示，在矩形ABCC中，AB=4,AO=4&,E是線段A8的中點，尸是線段BC

上的動點，AB所沿直線EF翻折到AB'所，毗連。Q，DB,最短為—.

【例19］似圖1,QA8C￡>中，AEJ_8C于E,AE=AD,EGL4B于G,耽擱GE、DC交

于點兄毗連AF.

⑴如果8E=2EC,AB=413,求AO的長；

⑵求證：EG=BG+FC；

⑶似圖2,如果”=5拉，即=2,點"是線段AG上的一個動點，毗連ME,將AGME

沿ME翻折得\GME,毗連DG,試求當QG'取得最小值時GM的長.

課后鍛煉題

【鍛煉1】似圖，以正方形的邊AB為歪邊在正方形內作直角三角形45E,NAEB=90。,

AC、BD交于O。已知AE、破的長分不為3cm.5cm,

【鍛煉2】

題目1：似圖1,在等腰梯形A8CD中，AD//BC,AB=BC=Of，點M,N分不在AD,ACD

上，摸索討線段MMAM,CN有似何的數量關系？請開門見山寫出

2

你的猜想；

題目2：似圖2,在四邊形ABC￡＞中，AB=BC,/A8C+/AOC=180。，點M,N分不在DA,

8的耽擱線上，如果仍舊成立，請你進一步躺線段MN,AM,CN