第31講補(bǔ)體立足展拓空間，分割在于化繁為

簡(jiǎn)

一、攻關(guān)方略

割補(bǔ)法是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，是割法與補(bǔ)法的總稱.割法是把復(fù)雜的幾何體切割

成簡(jiǎn)單的幾何體，把復(fù)雜的幾何圖形切割成規(guī)范的幾何圖形.補(bǔ)法是把不熟悉的(或復(fù)雜的)幾何體

延伸或補(bǔ)加成熟悉的(或簡(jiǎn)單的)幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形.割與補(bǔ)是對(duì)立統(tǒng)一的，

是一個(gè)問題的兩個(gè)相反方向.“割”就是“分解”“補(bǔ)”就是“合成”.從哲學(xué)的角度分析，分與

合是矛盾對(duì)立的雙方，完整地說,割補(bǔ)法的實(shí)質(zhì)是分解O合成、分割o拼補(bǔ)的辯證思考，屬

于整體與局部的數(shù)學(xué)思想范疇.

有些立體幾何問題和平面圖形問題，根據(jù)已知圖形直接求解較為困難，若將圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹案睢?/p>

或“補(bǔ)”后，則可轉(zhuǎn)化為熟悉的容易求解的問題，即變整體為局部，把局部擴(kuò)展為整體，化不規(guī)則為

規(guī)則，化抽象為直觀，為順利運(yùn)用公式、定理解題鋪平道路、排除障礙.

高中階段，割補(bǔ)法解題用得較多的是某些空間圖形的研究，常見的如下.

(1)斜棱柱割補(bǔ)成直棱柱.

(2)棱錐補(bǔ)成棱柱;棱柱割成棱錐.

(3)四面體、三棱柱補(bǔ)成平行六面體.

(4)某些特殊的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.

(5)將某些不規(guī)則幾何體補(bǔ)形為簡(jiǎn)單而規(guī)則的幾何體.

(6)補(bǔ)臺(tái)成錐,割錐成臺(tái)與小錐體.

真可謂：

補(bǔ)體立足展拓空間，

便于整體宏觀把控.

分割在于化繁為簡(jiǎn),

局部也能刻畫整體.

二、例題展示

例1設(shè)正四棱錐P-ABCD的體積為l,E,F,G、H分別是線段AB,CD,PB、PC的中

點(diǎn)，則多面體BEG-CFH的體積為.

解題策略正四棱錐P-ABCD當(dāng)然是一個(gè)規(guī)則圖形，但只知其體積為1,沒有其他條件，取其部

分為多面體BEG-CFH,則是一個(gè)不規(guī)則圖形.無法用公式求其體積，只能從整體與局部的關(guān)系

求解，即研究多面體體積占其整體即正四棱錐體積的比例，只能運(yùn)用等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法,所胄等

體積轉(zhuǎn)換法是將底面積或高轉(zhuǎn)化為可求的幾何量，所喟割補(bǔ)法，即利用幾何體的和、差、倍、分關(guān)

系求解，如何割又如何補(bǔ)大有講究.

策略一：等體積法與割補(bǔ)法兩者并舉求解：

策略二：合理添加輔助線進(jìn)行補(bǔ)體,再用等體積法求解.

策略三：利用分割法求解

解法一：如圖31-1所示，?:GH11EF,:.IIG-BEF=%-BCF、

又SBEF=S.BCF,-VG-BEF=VH-BCF?

GH=—EF,SEFG=2sGHF

?^B-EFG="BGGF…VB—EFG=X^BGHF-

即％-BEF%-BCF=2%CHF?%—BEF=W5—ABCD'

1I15

VBBGCFH----1------1------

881616

解法二如圖31-2所示，延長(zhǎng)EG、FH相交于點(diǎn)M,

P_M

：.PMH平面ABCD,連接MB、MC.

〃尸-BCHG-〃M-BCHG，…VF-BCHG=Vw-BCHG.

'VG-BEF=\ncr)'

AEB

圖31-2

11

25

?'"BBGCFHABCD+ARCD?6

—

解法二（j—rFnHCC~—2VDR-rFnHLC~—gV?o-DDtPC=-j-----Aftre-rA）oC（見D圖311）,n

又VG-EBCF=2Vp-EBCF=4^P-ABCD'

?'?KJEGCFH=%-FHC+%-EBCF=T7匕）-ABCD=7T

1010

例2:如圖31-3所示，在多面體ABCDEF中,

已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，

3

EF//AB,EF=-,EF與面AC的距離為

2

2,則該多面體的體積為（）.

915

A.—B.5C.6D.—

22

解題策略本例是求解非典型多面體，主要考查對(duì)圖形的分割、組合、補(bǔ)體的能力，是一道考查創(chuàng)新意

識(shí)的有效題型，且分割求和的方法也不唯一.補(bǔ)體的方法很巧妙，所以此題極有探討的價(jià)值.當(dāng)然此題

也可運(yùn)用估算法和特殊化法求解.

策略一把非典型多面體分割成一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐，分別求體積再求和：

策略二：把非典型多面體分割成一個(gè)四棱錐和笨個(gè)棱柱,分別求體積再求和：

策略三根據(jù)局部小于整體的原則運(yùn)用估算法和特殊化法求解

策略四補(bǔ)上一個(gè)三棱錐使非典型多面體拓展為斜三棱柱，由斜三棱柱體積減去補(bǔ)上的三棱錐體積

即得所求多面體的體積

解法一如圖31-4所示，連接EB、EC

2

則四棱錐E-ABCD的體積VA_AfiCD=-x3x2=6,

---AB=2EF,EF/1AB,：.S必“=2SRFF.

VF-EBC~^C-EFB~~^C-ABE~~^E-ABC

圖31-4

j_j__3

'X/VE-ABCD=5

315

*0-V=VE_ABCD+VF_EBC+—=—,故選D

解法二：如圖31-5所示，設(shè)G、H分別為AB.DC的中點(diǎn)，連接EG、GH、EH,則

EG//FB.EHIIFC.GH//BC,得棱柱EGH-FBC.

由題意得^E-ACHD~2^AGHDx2=—x3x3x—x2=3.

=

VECH-FBC=WR-EGH=3VE-BGH3X—VE_QBCH

339

——VEAGHD=-x3=—

915

V—VLF-AAUCnHLnf+匕?D仁ijn4—rFDRCC=3d—?——2,故選D.

解法三由解法一知VE_ABCD=6,故多面體的體積大于6,￡I心-火T八rLJ心口，因此選

D.

解法四如圖31-6所示，延長(zhǎng)EE至G,設(shè)/G=AB=3,連接AG、DG,EB,則多面體

BCF-ADG為斜三棱柱，其直截面面積S=-x2x3=3.

2

貝IJVBCF-ADG=S-AB=9?

又面BCFII面ADG,E為FG中點(diǎn)，「?/一人/=V%的，

*e*^E-ADG+^E-ABCD~^BCF-ADC即^E-ADG=9-§x3x3x2=3

3315

=9一一=一，故選

/.KADG=2-.'^V=VoBCrF—AUDGG-VtE.-AAUDUG??~、會(huì)D

例3:已知一個(gè)四面體的每個(gè)面都是以3、3、2為邊長(zhǎng)的銳角三角形，試求這個(gè)四面體的體積V.

解題策略求四面體的體積的最常用的方法是運(yùn)用公式V=gs〃，那么這個(gè)四面體以什么作

為底面？高是哪一條線段？如何把高找出來？在作出高后如何求出高來？垂足會(huì)落到底面的何處?

對(duì)于非正四面體或非正三棱錐，這樣求是有困難的，分析本題，每個(gè)面都是等腰三角形,就可考慮是否

可以將該三棱錐適當(dāng)分割成兩個(gè)容易求出體積的三棱錐，以及該如何分割,如何作出該三棱錐的直

截面使一條副棱被分割的兩段分別是分割后兩個(gè)錐體的高？能不能通過補(bǔ)體法把該三棱錐補(bǔ)成一

個(gè)長(zhǎng)方體，采用丫=丫長(zhǎng)方體-4%棱柱的求法，這是一道很見功力的問題，如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹胺指睢?/p>

與“補(bǔ)體”可以培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的能力.

策略一確定以BCD為底面，由等面積法求該底面上的高〃，代人公式，V=~SHCI）-h

策略二作出與BD垂直的截面，將原三棱錐分割成以BD為高的兩個(gè)三棱錐分別.求體積再合

成

策略三采用補(bǔ)體法,將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，由V=V長(zhǎng)方體-4V工棱柱而得，從而引伸出一般的補(bǔ)

體解法

解法一：（直接法）如圖31-7所示，不仿設(shè)AC=BD=2,其余4條邊長(zhǎng)都為3,E為BD

中點(diǎn)，則AE±BD,CE±BD,AO1.平面DBC.

在Z.AEC中，過點(diǎn)E作EMA.AC,垂足為M,EC=后-1=2垃,EM=

J（2揚(yáng)2_i=J

J14

則由等面積法得EM?AC=EC?AO,:,h=AO=--.

2

故v=Lsh=>x>乂2義2也義叵=^~.

33223

契法二（分割法）參見圖31-7可知，AE工DB,CE工DB,

A01.平面DBC,于是截面AEC將原三棱錐分割成三棱錐D-AEC與三棱錐B-AEC,

且DBL平面AEC,容易算出Sw=gx2xJ7=g.

故

V=VD_ABC+VB_AECAEC\ED+EB)

_1cnn_1Fio_?不<

x

一§SAEC-DB--v7x2—3..

許法三（補(bǔ)體法）如圖31-8所示,將三棱錐補(bǔ)體為一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為

x,y,z,則

x=近,

X*23+/=32,

/+z2-32,<--xyz--xy/2xy/lx^2-.

333

z2+x2=22,

z=V2

引申:已知一個(gè)四面體的每個(gè)面都是為a,b,c為邊長(zhǎng)的銳角三角形，試求這個(gè)四面體的體積，可以

運(yùn)用補(bǔ)體法，解法如下：

BB

圖31-8圖31-9

x2+/=cr,

如圖31-9所示，由《y+z2=c2,解得

z2+x2=b2,

41

???所求的體積V=乙方體一4匕棱錐xyz--^xyz--xyz

^(a2+b2-c2)(a2+c2-b2)(c2+b2-a2)