高數一第一章函數與極限第1頁，課件共55頁，創作于2023年2月

教師信息岳洪（0）F527Tel:59925831E-mail:ye142@126.com理學院數學系第2頁，課件共55頁，創作于2023年2月

為什么要學習高等數學？（1）學習先進的思想方法（2）訓練自己的思維（3）為后續課程打基礎（4）為進一步深造作準備第3頁，課件共55頁，創作于2023年2月

如何學好高等數學?聽課

—學習的中心環節(1)首先做好中學到大學的過渡（2）抓好四個環節：預習——聽課——復習——作業①做好課堂筆記，記下例題。②緊跟教師思路不懂之處作記號。認識對象－辨識問題，歸納問題。學會類比－解題思路，挑選方案。第4頁，課件共55頁，創作于2023年2月作業

—自我訓練的重要一步要求：清潔工整、抄上題目、寫出步驟。總評成績：期終考試

80%平時測驗、作業

20%第5頁，課件共55頁，創作于2023年2月本學期內容第一章 函數與極限第二章 導數與微分第三章 微分中值定理與導數的應用第6頁，課件共55頁，創作于2023年2月第一章函數與極限第7頁，課件共55頁，創作于2023年2月

數學中的轉折點是笛卡兒的變數，有了變數，運動進入了數學，辯證法進入了數學，微分和積分也就立刻成為必要的了。

第一、二節函數——恩格斯笛卡兒(法)（Descartes）（1596——1650）1637年出版的《方法論》的附錄《幾何》部分是他關于坐標幾何和代數的思想第8頁，課件共55頁，創作于2023年2月

一.區間與鄰域——閉區間；數集(a,b)——開區間；[a,b),(a,b]—半開(半閉)區間有限區間數集[a,b]無限區間區間：第9頁，課件共55頁，創作于2023年2月此區間稱為點a的鄰域,記為稱為點a的去心鄰域,δ

稱為鄰域半徑。a稱為鄰域中心，若此鄰域中不包含點a,即記為或x。。a.鄰域：第10頁，課件共55頁，創作于2023年2月

二、函數函數的定義1：兩變量x,y,當一個變量x

在實數域的某個范圍取一確定值時，另一個變量y

依照一定的法則（f），總有確定的數值與它對應則稱y是x

的函數。x—自變量，y—因變量.（定義域D）（y的取值范圍稱為值域W）,

函數是數學分析這門學科研究的基本對象，是用來表達變量之間完全確定的依賴關系的一個數學概念。1.函數概念第11頁，課件共55頁，創作于2023年2月函數的定義x—自變量，y—因變量.定義域D值域

第12頁，課件共55頁，創作于2023年2月函數的自然定義域：自變量的最大取值范圍例：=D=R=Z0xy-11構成函數的基本要素：定義域及對應法則函數的圖象：所確定的平面點集。(一般為平面曲線)第13頁，課件共55頁，創作于2023年2月函數的自然定義域：自變量的最大取值范圍例：0xy構成函數的基本要素：定義域及對應法則函數的圖象：所確定的平面點集。(一般為平面曲線)第14頁，課件共55頁，創作于2023年2月第15頁，課件共55頁，創作于2023年2月相等函數：判斷下列函數是否為相等函數：必須對應關系與定義域都相等。例：①（常值函數）②③④定義域不同對應關系不同第16頁，課件共55頁，創作于2023年2月單值函數與多值函數：這種對應關系稱為單值對應。當自變量在D內任取一數值時，對應的函數值是唯一的一個，則函數稱為單值函數，否則稱為多值函數。為多值函數，為多值函數，其主值為單值函數，為其單值分支。第17頁，課件共55頁，創作于2023年2月(1)絕對值函數(2)符號函數再介紹幾種函數：0xysgnx=0xy1-1顯然，.。。第18頁，課件共55頁，創作于2023年2月(3)取整函數符號函數與取整函數都是微機中的標準表示不大于x的最大整數。如：[3.14][0.15](圖象見書P.9圖1—5)函數。把3.14159四舍五入取四位小數，可作[3.14159×104+0.5]÷104=3.1416=3,=-4,=0.第19頁，課件共55頁，創作于2023年2月(4)狄里克利函數由此，還可構造出許多奇特的函數，如：它們符合函數的定義，但它們的圖象卻不是曲線段所能表示的。第20頁，課件共55頁，創作于2023年2月函數的（顯式）公式表示法（分段函數）若在自變量的不同范圍內用不同的式子所表示的函數，如符號函數，絕對值函數等，0xy12又如第21頁，課件共55頁，創作于2023年2月函數的隱式表示：——隱函數為函數的顯式表示又如——顯函數若寫成：為函數的隱式表示若其中隱含第22頁，課件共55頁，創作于2023年2月函數的參數表示：表示擺線（旋輪線）的一擺。引入參數來建立x,y

的函數關系：表示：f：X→Y→如：表示上半圓周第23頁，課件共55頁，創作于2023年2月xa圓上任一點所畫出的曲線。關于旋輪線的動畫演示一圓沿直線無滑動地滾動，第24頁，課件共55頁，創作于2023年2月x來看動點的慢動作圓上任一點所畫出的曲線。一圓沿直線無滑動地滾動，關于旋輪線的動畫演示第25頁，課件共55頁，創作于2023年2月2a2a0yxax=a(t–sint)y=a(1–

cost)其幾何意義如圖示ta當

t

從02，x從02a即曲線走了一拱a觀察動點的軌跡:第26頁，課件共55頁，創作于2023年2月x=a(t–sint)y=a(1–

cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板旋輪線也叫擺線單擺第27頁，課件共55頁，創作于2023年2月.將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板

旋輪線也叫擺線單擺x=a(t–sint)y=a(1–

cost)第28頁，課件共55頁，創作于2023年2月.將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板

旋輪線也叫擺線單擺兩個旋輪線形狀的擋板,

使擺動周期與擺幅完全無關。在17世紀，旋輪線即以此性質出名，所以旋輪線又稱擺線。擺的運動軌跡也是一條旋輪線，第29頁，課件共55頁，創作于2023年2月xyoa–a(圓內旋輪線)

一圓沿另一圓內緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。觀察動點的運動星形線第30頁，課件共55頁，創作于2023年2月xyoa–a觀察動點的運動

星形線(圓內旋輪線)第31頁，課件共55頁，創作于2023年2月xyoa–a02或.P

星形線(圓內旋輪線)第32頁，課件共55頁，創作于2023年2月函數的極坐標表示第33頁，課件共55頁，創作于2023年2月xyoaa一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。

心形線(圓外旋輪線)函數的極坐標表示觀察動點的運動第34頁，課件共55頁，創作于2023年2月xyoaa2a觀察動點的運動

心形線(圓外旋輪線)函數的極坐標表示第35頁，課件共55頁，創作于2023年2月xyo2ar=a(1+cos)020r2aPr

心形線(圓外旋輪線)函數的極坐標表示第36頁，課件共55頁，創作于2023年2月2ar=a(1+sin)020r2aPr

心形線(圓外旋輪線)函數的極坐標表示xyoa第37頁，課件共55頁，創作于2023年2月三、具有特殊性質的四類函數(1)奇偶性f(x)的定義域D關于原點對稱，對任一若都有則稱f(x)為偶函數；若都有則稱f(x)為奇函數。偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱。第38頁，課件共55頁，創作于2023年2月例1：解：例2：解：（奇）第39頁，課件共55頁，創作于2023年2月(2)有界性③有界。否則稱f(x)

在D

上無界。設f(x)的定義域為D，若存在正數M，使對任一則稱f(x)

在D

上有界，如：①=M，∴為D上的有界函數。②無界。oxy1第40頁，課件共55頁，創作于2023年2月但不單調。(3)單調性統稱f(x)為I

上的單調函數，I

為單調區間。設f(x)的定義域為D，區間對I

上任二點x1,x2,當x1<x2

時，若都有則稱f(x)在I

上單調增加則稱f(x)在I

上單調減少如：0xy第41頁，課件共55頁，創作于2023年2月(4)周期性且指最小正周期。設f(x)的定義域為D，若存在數l(l≠0),使對任一個都有則f(x)為周期函數，l為f(x)的周期，y=sinx,y=cosx都是以2π為周期的周期函數。（函數的四則運算自復習）第42頁，課件共55頁，創作于2023年2月四、函數的四則運算設f(x),g(x)的定義域為D1，D2,則定義兩個函數的運算如下：第43頁，課件共55頁，創作于2023年2月五、復合函數簡稱復合函數，記作其中u

稱為中間變量。即u=φ(x)

的值域Z(φ)與y=f(u)的定義域D(f)的交集非空時為復合函數。設y

是u

的函數：y=f(u),而u

又是x

的函數：u=φ(x),且φ

(x)

的值域全部或部分包含在f(u)

的定義域內,則y

通過u成為x

的函數：由y=f(u),

u=φ(x)

復合而成，第44頁，課件共55頁，創作于2023年2月例題討論(1)1.討論下列函數的復合情況：全部落入(2)部分落入(3)沒有落入不能復合第45頁，課件共55頁，創作于2023年2月2.把下列復合函數分解成簡單函數：(1)(2)(3)(4)第46頁，課件共55頁，創作于2023年2月課內練習1.下列函數能否復合成一個函數：2.下列函數由哪些較簡單的函數復合而成？第47頁，課件共55頁，創作于2023年2月練習答案1.(1)(2)2.(1)第48頁，課件共55頁，創作于2023年2月六、反函數反函數與直接函數的圖象關于

y=x

對稱。反函數反函數與直接函數是一對一的。第49頁，課件共55頁，創作于2023年2月

七、初等函數基本初等函數：熟練掌握它們的定義域、圖象、性質等性態冪函數指數函數對數函數三角函數反三