拉普拉斯變換及其應(yīng)用1拉普拉斯變換的定義2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)5習(xí)題4拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例3拉普拉斯反變換1

1拉普拉斯變換的定義Laplace變換是求解線性常微分方程常用的一種數(shù)學(xué)工具。與線性常微分方程的經(jīng)典求解方法相比，Laplace變換有如下兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：●只需一步運(yùn)算就可以得到微分方程的通解和特解。●微分方程通過(guò)Laplace變換轉(zhuǎn)化成含有s的代數(shù)方程，然后運(yùn)用簡(jiǎn)單的代數(shù)法則就可以得到代數(shù)方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反變換就可以得到最終我們所需的時(shí)域上的解。31拉普拉斯變換的定義一個(gè)定義在［0,∞)區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)的定義為在實(shí)際工程中，以時(shí)間t為自變量的函數(shù)f(t)通常都可以進(jìn)行拉氏變換。拉氏變換將原來(lái)的實(shí)變量函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)變量函數(shù)。拉氏變換是一種單值變換。和之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。通常稱為原函數(shù)，為象函數(shù)。1拉普拉斯變換的定義5常用函數(shù)的拉氏變換1拉普拉斯變換的定義單位階躍函數(shù)的拉氏變換解即根據(jù)定義常用函數(shù)的拉氏變換（1）單位階躍函數(shù)圖1單位階躍函數(shù)在自動(dòng)控制原理中，單位階躍函數(shù)是一個(gè)突加作用信號(hào)，相當(dāng)一個(gè)開(kāi)關(guān)的閉合(或斷開(kāi))。(2)求指數(shù)函數(shù)的拉氏變換解：根據(jù)定義即常用函數(shù)的拉氏變換8常用函數(shù)的拉氏變換由數(shù)學(xué)歸納法，得9(4)單位脈沖函數(shù)d(t)的拉氏變換常用函數(shù)的拉氏變換圖2單位脈沖函數(shù)即(5)正弦函數(shù)

解

?

常用函數(shù)的拉氏變換即同理可得如?

?

常用函數(shù)的拉氏變換12原函數(shù)f(t)象函數(shù)F(s)

d(t)

t

常用函數(shù)的拉氏變換拉普拉斯變換及其應(yīng)用1拉普拉斯變換的定義2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)5習(xí)題4拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例3拉普拉斯反變換131.線性性質(zhì)

齊次性：設(shè)則拉氏變換也遵從線性函數(shù)的齊次性和疊加性疊加性：設(shè)則2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)2.微分性質(zhì)設(shè)可得各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)16證：2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)特別地,當(dāng)時(shí),2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)3.積分性質(zhì)設(shè)原函數(shù)積分的拉氏變換為:2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)192拉普拉斯變換的基本性質(zhì)4.位移性質(zhì)設(shè)205.延遲性質(zhì)2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)設(shè)式中:為任意實(shí)數(shù)。的函數(shù)圖形如圖3所示。圖3212拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6.初值定理若且存在則222拉普拉斯變換的基本性質(zhì)7.終值定理若且存在則終值定理的應(yīng)用條件為：（1）當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)有意義（有極限）。例如

無(wú)極限，那么就不能應(yīng)用終值定理。（2）若已知F(s)時(shí)，當(dāng)sF(s)的分母多項(xiàng)式的根處在虛軸左半s平面（原點(diǎn)除外）時(shí)，定理可用。例如，

，分母多項(xiàng)式的根在虛軸上，定理不可用；，分母多項(xiàng)式的根在原點(diǎn)，可以用該定理。終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能時(shí)(例如分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等)有著很多的應(yīng)用。因此終值定理也是一個(gè)經(jīng)常用到的運(yùn)算定理。2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換及其應(yīng)用1拉普拉斯變換的定義2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)5習(xí)題4拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例3拉普拉斯反變換24253拉普拉斯反變換由象函數(shù)F(s)求取原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換，它和拉氏變換是一一對(duì)應(yīng)的。這里介紹利用部分分式展開(kāi)，然后用查表的方法進(jìn)行拉氏反變換，求取原函數(shù)。一一對(duì)應(yīng)f(t)

F(s)3拉普拉斯反變換控制系統(tǒng)中的象函數(shù)是s的有理分式，可寫(xiě)成下列形式：式中:系數(shù)和

都是實(shí)常數(shù)，n和m是正整數(shù)，通常m<n。這里利用部分分式分解法求解，先將B(s)/A(s)化為一些簡(jiǎn)單分式之和，再查表得到。為了將F(s)寫(xiě)為部分分式之和的形式，首先把F(s)的分母因式分解，即式中:為A(s)=0的根，稱為F(s)的極點(diǎn)。27根據(jù)極點(diǎn)的不同特點(diǎn)，部分分式分解法有以下兩種情況：（1）A(s)=0且無(wú)重根若A(s)=0且無(wú)重根，則F(s)可展開(kāi)成n個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和，即系數(shù)可由右式求出：按上式將各待定系數(shù)全部求出后，再查表求出原函數(shù)。3拉普拉斯反變換283拉普拉斯反變換例8求的原函數(shù)將F(s)的分母因式分解為查表可求得原函數(shù)為習(xí)題：求的原函數(shù)將F(s)的分母因式分解為

五、拉氏反變換303拉普拉斯反變換例9求的原函數(shù)將F(s)的分母因式分解為查表可求得原函數(shù)為31（2）A(s)=0且有重根設(shè)A(s)=0有r個(gè)重根p1，則F(s)可寫(xiě)為3拉普拉斯反變換將上式展開(kāi)成部分分式式中:

為F(s)的重極點(diǎn);，…，

為F(s)的(n-r)個(gè)非重極點(diǎn)；，…，

，

，…，

為待定系數(shù)323拉普拉斯反變換式中:

為F(s)的重極點(diǎn);，…，

為F(s)的(n-r)個(gè)非重極點(diǎn)；，…，

，

，…，

為待定系數(shù)33例

求的原函數(shù)3拉普拉斯反變換將上式展開(kāi)成部分分式其中所以習(xí)題：求的原函數(shù)

五、拉氏反變換拉普拉斯變換及其應(yīng)用1拉普拉斯變換的定義2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)5習(xí)題4拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例3拉普拉斯反變換35364拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例用拉氏變換求解線性常系數(shù)微分方程是一種工程上行之有效的簡(jiǎn)便方法，因?yàn)榭蓪⑽⒎址匠剔D(zhuǎn)化為代數(shù)方程，簡(jiǎn)化計(jì)算。用拉氏變換法求解線性微分方程的一般步驟如下：（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程。（2）求出系統(tǒng)輸出量的s域表達(dá)式。（3）將輸出量的表達(dá)式展開(kāi)成部分分式。（4）對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換（可查表），即可得微分方程的解。例求微分方程滿足初始條件的解

解

設(shè)?對(duì)方程兩邊取Laplace變換,

得解得所以384拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例【例】電路如圖所示，已知解電路的微分方程為對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得代入?yún)?shù)得又394拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例所以,輸出響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換式為將上式展開(kāi)成部分分式之和，得由拉氏反變換求得系統(tǒng)響應(yīng)為40【例12】圖6所示電路，當(dāng)t<0時(shí)，開(kāi)關(guān)位于“1”端，電路已經(jīng)穩(wěn)定;當(dāng)t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)從“1”端打到“2”端，試用拉氏變換法求解換路后的電壓。4拉普拉斯變換應(yīng)用實(shí)例解由題意求得電容電壓初始值為列寫(xiě)出換路后電路微分方程為41