4/5一動點到兩定點的距離最值熊明軍在學習三角形時，我們知道了三角形的三邊之間有一個不等關系：“三角形的兩邊之和大于第三邊”；“三角形的兩邊之差小于第三邊”。借助這個三角不等式，再結合典型例題，我們可以得到一個動點到兩個定點距離最值問題的研究方法與相關結論。一、典型例題的回顧【例題】已知有一段河岸相互平行的一條河，在河岸的一側有兩個村莊，如下圖。現在政府為了讓兩個村莊用上自來水，決定出資在河岸邊建一個自來水廠，并在村莊與水廠之間鋪設輸水管道輸水，為了降低成本，就必須使鋪設的管道總長度最短，那么自來水廠應該建在河岸的什么位置，用尺規作圖在圖中標出。【解析】假設靠近村莊的河岸為線段，村莊是兩個固定的點，此題的意思就是問：在線段上有一個動點，求在線段上移動到什么位置才能使最短。結論：①直線上一動點到兩個定點距離之和最小問題，要根據點對稱將兩個定點轉化到直線的兩側；②直線上一動點到兩個定點距離之差最大問題，要根據點對稱將兩個定點轉化到直線的同側。二、研究問題的理論法則一：平面上一動點到兩個定點的距離之和有最小值，當且僅當在線段之間時取最小值。法則二：平面上一動點到兩個定點的距離之差有最大值，當且僅當在線段的延長線上時取最大值。注意①：一動點到兩定點距離最值的取得都是使動點與定點轉化到一條直線上；如若不在一條直線上，就必須借助題中的條件與相關結論轉化之。注意②：平面上一動點到兩個定點的距離之和有最小值；距離之差有最大值。如若出現動點到兩個定點的距離之和有最大值；距離之差有最小值，就必須使之轉化為法則中的情況，即：距離之和最小值；距離之差最大值。【證明】（法則一）已知平面上兩個動點，是平面上任意一個動點，如下圖：①當動點與定點不共線時，根據三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊”可知；②當動點與定點共線，且在線段的延長線上時，顯然有；③當動點與定點共線，且在線段之間時，顯然有；綜上所述，，當且僅當動點在線段之間時取最小值。【證明】（法則二）已知平面上兩個動點，是平面上任意一個動點，如下圖：①當動點與定點不共線時，根據三角形三邊關系“兩邊之差小于第三邊”可知；②當動點與定點共線，且在線段之間時，顯然有；③當動點與定點共線，且在線段的延長線上時，顯然有；綜上所述，，當且僅當動點在線段的延長線上時取最大值。三、典型例題的講解①動點在直線上【例一】已知點，點是直線上的動點，求的最小值及的最大值。題中讓我們求最小值，同例三，只要利用條件把轉化為動點到兩定點的和的形式就能求解。利用雙曲線的定義把求的最小值轉化成了求的最小值，利用法則二可知，當動點在線段上時，如上右圖所示，有最小值。即。【例五】（動點在拋物線上）設是拋物線的焦點，是拋物線上的任一動點，已知點，求的最小值。【解析】為兩定點，為動點，由法則一可知點若能在線段之間，可立即得到的最小值，在平面直角坐標中做出拋物線及相應的點，如上左圖所示。在拋物線中，由定義可得動點到焦點的距離等于動點到準線的距離，即，所以。顯然，當動點運動到如上右圖所示的位置時，點在線段之間，即。【練習】已知為拋物線上任一動點，為圓上任一動點，